Séries Flashcards
Σ et ^
^oΣ = Σo^ = Id
Limite d’une suite de série convergente
ΣUn cv => lim (Un) = 0
contre exemple de reciproque Un = (n+1)1/2 - n1/2
si lim Un <> 0 alors ΣUn diverge grossièrement
Critère de Cauchy
pour tout E positif de R il existe N / n>N et P dans N =>
II Σnn+pUn II < E
Un verifie le critère de Cauchy => ΣUn convergente
Théorème de regroupement des termes d’une série
on peut réarrager les termes comme on le veut dans une série ca ne change rien à la convergence
Séries dans des espaces de dimension n
ΣUn cv <=> les séries des coordonées de Un convergent toutes
Séries alternées
(-1)nUn est de signe constant
critère de convergence des séries alternées
critère spéciale des séries alternées
si : ΣUn séries convergente, (IUnI) décroissante, lim Un = 0
alors : ΣUn convergente et toute série reste de ΣUn est majorée par son premier terme
Séries a termes positifs
si : pour tout n, Un > 0
alors : ΣUn croissante
et toute les relations au niveaux de des suites se transposent aux séries
Théorème de comparaison des séries a termes positifs
si : pour tout n, Un < Vn
alors : ΣUn < ΣVn
Comparaison avec une intégrale
si : f est décroissante et Un = f(a+n)
alors : ΣUn cv <=> int (a->infini,f(t)dt) converge
Comparaison logarithmique
si : il existe N a partir duquel Un+1/Un< Vn+1/Vn
alors : si ΣVn cv alors ΣUn cv
si ΣUn dv alors ΣVn dv
critère de d’Alembert
série a termes strictement positifs
si lim Un+1/Un < 1 alors ΣUn cv
si lim Un+1/Un > 1 alors ΣUn dv
si lim Un+1/Un = 1 alors on ne sait pas
séries absoluments convergentes
abs cv <=> ΣIIUnII cv => ΣUn cv
Transformation d’Abel + Théorème d’Abel
An = Σak
ΣakUk = Σ Ak(Uk-Uk+1) + AnUn
si : An bornée, Σ(Uk-Uk+1) abs cv, lim Un =0
alors ΣakUk cv
Série Produit
Wn = ΣUkVn-k
ΣWn = (ΣUn)x(ΣVn)
convergence simple
Σfn cv simplement en t <=> Σfn(t)
convergence uniforme
Σfn cv uniforme <=> lim II Σfn -Σnfn II = 0
Théorème de continuité de séries de fonctions
si : pour tout n fn continue en a et Σfn converge uniformément vers g
alors : g est continue en a
convergence normale
Σun cn normalement <=> ΣIIfnIIinfini converge
relation entre les différentes convergences
normale => uniforme => simple
théorème d’approximation continue
toute fonction continue est limite uniforme d’une suite de fonctions en escaliers
Théorème de Stone Wierstrass I
toute fonction continue sur un segment a valeur complexe ou réelle est limite uniforme d’une suite de fonctions ploynomiunales
Théorèmle de Stone Wierstrass II
toute fonction 2π periodique continue à valeurs complexe est limite uniforme d’une de polynome trigonométrique
Permutation somme intégrale
si : Σfn cv uniformemément
alors : on peut permuter somme et intégrale
et la primitive de la somme est la somme des primitives
théorème de relèvement
si : f Ck a valeurs dans le cercle unité complexe
alors : il existe O a valeurs dans R / f(t) = exp(iO(t))
convergence des séries entières
si IzI < R alors la serie entière converge uniformément
séries de termes paires
R’ = (R)1/2
Rayon de convergences des somme de séries entières
R > min(R1,R2)
Produit de Cauchy de séries entières
Rtot > min(R1,R2)
Continuité des series entières
une série entière est continue sur son disque ouvert de convergence
Derivation des séries entières
(Σanzn)’ = Σnanzn-1
avec le même rayon de convergence
fonctions developpables en séries entières en 0
il existe p et (an) / pour tout t dans ]-p,p[ f(t) = Σantn
et f est Cinfini au voisinage de 0
intégration d’une DSE
toute primitive d’une fonction DSE en o EST dse en O
DSE exp(t)
Σ1/n! tn
DSE ch(t)
Σ1/(2n)! t2n
DSE sh(t)
Σ1/(2n+1)! t2n+1
DSE cos(t)
Σ(-1)n t2n/(2n)!
DSE sin(t)
Σ(-1)n/(2n+1)! t2n+1
DSE 1/(1-t)
Σtn
DSE -ln(1-t)
Σtn/n
DSE Arctan(t)
Σ(-1)nt2n+1/2n+1
DSE argth(t)
Σt2n+1/2n+1
DSE (1+t)a
Σ(a(a-1)……(a-n+1))tn/n!
