Séries

Question 1

Σ et ^

Answer 1

^oΣ = Σo^ = Id

Question 2

Limite d’une suite de série convergente

Answer 2

ΣUn cv => lim (Un) = 0

contre exemple de reciproque Un = (n+1)^1/2 - n^1/2

si lim Un <> 0 alors ΣUn diverge grossièrement

Question 3

Critère de Cauchy

Answer 3

pour tout E positif de R il existe N / n>N et P dans N =>

II Σ_n^n+pUn II < E

Un verifie le critère de Cauchy => ΣUn convergente

Question 4

Théorème de regroupement des termes d’une série

Answer 4

on peut réarrager les termes comme on le veut dans une série ca ne change rien à la convergence

Question 5

Séries dans des espaces de dimension n

Answer 5

ΣUn cv <=> les séries des coordonées de Un convergent toutes

Question 6

Séries alternées

Answer 6

(-1)ⁿUn est de signe constant

Question 7

critère de convergence des séries alternées

critère spéciale des séries alternées

Answer 7

si : ΣUn séries convergente, (IUnI) décroissante, lim Un = 0

alors : ΣUn convergente et toute série reste de ΣUn est majorée par son premier terme

Question 8

Séries a termes positifs

Answer 8

si : pour tout n, Un > 0

alors : ΣUn croissante

et toute les relations au niveaux de des suites se transposent aux séries

Question 9

Théorème de comparaison des séries a termes positifs

Answer 9

si : pour tout n, Un < Vn

alors : ΣUn < ΣVn

Question 10

Comparaison avec une intégrale

Answer 10

si : f est décroissante et Un = f(a+n)

alors : ΣUn cv <=> int (a->infini,f(t)dt) converge

Question 11

Comparaison logarithmique

Answer 11

si : il existe N a partir duquel U_n+1/U_n< V_n+1/V_n

alors : si ΣVn cv alors ΣUn cv

si ΣUn dv alors ΣVn dv

Question 12

critère de d’Alembert

Answer 12

série a termes strictement positifs

si lim U_n+1/Un < 1 alors ΣUn cv

si lim Un+1/Un > 1 alors ΣUn dv

si lim Un+1/Un = 1 alors on ne sait pas

Question 13

séries absoluments convergentes

Answer 13

abs cv <=> ΣIIUnII cv => ΣUn cv

Question 14

Transformation d’Abel + Théorème d’Abel

Answer 14

An = Σak

ΣakUk = Σ Ak(U_k-U_k+1) + AnUn

si : An bornée, Σ(Uk-Uk+1) abs cv, lim Un =0

alors ΣakUk cv

Question 15

Série Produit

Answer 15

Wn = ΣU_kV_n-k

ΣWn = (ΣUn)x(ΣVn)

Question 16

convergence simple

Answer 16

Σfn cv simplement en t <=> Σfn(t)

Question 17

convergence uniforme

Answer 17

Σfn cv uniforme <=> lim II Σfn -Σⁿfn II = 0

Question 18

Théorème de continuité de séries de fonctions

Answer 18

si : pour tout n fn continue en a et Σfn converge uniformément vers g

alors : g est continue en a

Question 19

convergence normale

Answer 19

Σun cn normalement <=> ΣIIfnIIinfini converge

Question 20

relation entre les différentes convergences

Answer 20

normale => uniforme => simple

Question 21

théorème d’approximation continue

Answer 21

toute fonction continue est limite uniforme d’une suite de fonctions en escaliers

Question 22

Théorème de Stone Wierstrass I

Answer 22

toute fonction continue sur un segment a valeur complexe ou réelle est limite uniforme d’une suite de fonctions ploynomiunales

Question 23

Théorèmle de Stone Wierstrass II

Answer 23

toute fonction 2π periodique continue à valeurs complexe est limite uniforme d’une de polynome trigonométrique

Question 24

Permutation somme intégrale

Answer 24

si : Σfn cv uniformemément

alors : on peut permuter somme et intégrale

et la primitive de la somme est la somme des primitives

Question 25

théorème de relèvement

Answer 25

si : f C^k a valeurs dans le cercle unité complexe alors : il existe O a valeurs dans R / f(t) = exp(iO(t))

Question 26

convergence des séries entières

Answer 26

si IzI \< R alors la serie entière converge uniformément

Question 27

séries de termes paires

Answer 27

R' = (R)^1/2

Question 28

Rayon de convergences des somme de séries entières

Answer 28

R \> min(R₁,R₂)

Question 29

Produit de Cauchy de séries entières

Answer 29

Rtot \> min(R₁,R₂)

Question 30

Continuité des series entières

Answer 30

une série entière est continue sur son disque ouvert de convergence

Question 31

Derivation des séries entières

Answer 31

(Σanzⁿ)' = Σnanz^n-1 avec le même rayon de convergence

Question 32

fonctions developpables en séries entières en 0

Answer 32

il existe p et (an) / pour tout t dans ]-p,p[ f(t) = Σantⁿ et f est C^infini au voisinage de 0

Question 33

intégration d'une DSE

Answer 33

toute primitive d'une fonction DSE en o EST dse en O

Question 34

DSE exp(t)

Answer 34

Σ1/n! tⁿ

Question 35

DSE ch(t)

Answer 35

Σ1/(2n)! t²ⁿ

Question 36

DSE sh(t)

Answer 36

Σ1/(2n+1)! t²ⁿ⁺¹

Question 37

DSE cos(t)

Answer 37

Σ(-1)ⁿ t²ⁿ/(2n)!

Question 38

DSE sin(t)

Answer 38

Σ(-1)ⁿ/(2n+1)! t²ⁿ⁺¹

Question 39

DSE 1/(1-t)

Answer 39

Σtⁿ

Question 40

DSE -ln(1-t)

Answer 40

Σtⁿ/n

Question 41

DSE Arctan(t)

Answer 41

Σ(-1)ⁿt²ⁿ⁺¹/2n+1

Question 42

DSE argth(t)

Answer 42

Σt²ⁿ⁺¹/2n+1

Question 43

DSE (1+t)^a

Answer 43

Σ(a(a-1)......(a-n+1))tⁿ/n!