Arcs paramètres et intégrales doubles

Question 1

f differentiable

Answer 1

f differentiable en a <=> il existe une application linéaire l / lim 1/(IIhII) (IIf(a+h) - f(a) - l(h)II) = 0

l est la différentiel en a

Question 2

distance curviligne

Answer 2

l(AB) = int (A-> B,IIf’(t)IIdt)

Question 3

Repère de Frenet

Answer 3

T(t) = f’(t)/IIf(‘(t)II

N(t) = r_π/2(T(t))

Question 4

fonction a

Answer 4

T(t) = cos(a)i + sin(a)j

Question 5

courbure

Answer 5

dT/ds = y(s)N

y courbure “gamma”

rayon de courbure R = 1/y

Question 6

formule de frénet

Answer 6

y = da/ds

dN/ds = -y(s)T(s) = -T(s)/R(s)

Question 7

Rayon de courbure

Answer 7

R(s) = IIf’II³/det(f’,f’’)

Question 8

developée

Answer 8

C = M + RN

Question 9

acroissement fini pour fonction de plusieurs variables

Answer 9

si f est C1 sur U alors il existe t dans ]0,1[ /

f(b) = f(a) + <b-a>
</b-a>

Question 10

Taylor à l’ordre 1

Answer 10

si f est C1 sur U alors

pour tout a,b f(b) = f(a) + <b-a> + o(IIb-aII)</b-a>

Question 11

Taylor à l’ordre 2

Answer 11

si f est C2 sur U

f(b) = f(a) + <b-a> + 1/2 ( h²d²f(a)/dx²+ k²d²f(a)/dy²+ 2hkd²f(a)/dxdy )</b-a>

+o(IIb-aII²)

avec b-a = hx + by

Question 12

Théorème de schwartz

Answer 12

si f est C2 sur U

d²f(a)/dxdy = d²f(a)/dydx

Question 13

Théorème de fubini

Answer 13

B = (x,y) : a<x></x>

<p>alors int(B,f) = int(a-&gt;b,int(f(x)-&gt;g(x),f(x,y)dy)dx)</p>

</x>

Question 14

Théorème de green-reimann

Answer 14

champ de vecteurs X = (P,Q) et domaine D entouré par arc L on a

int(L,Pdx + Qdy) = intdouble(D,(dQ/dx-dP/dy)dxdy)

Question 15

allure local d’un arc paramétré

Answer 15

p = min( k / f^(k)<>0 )

q = min (k > p / f^(k) non colinéaire à f^(p))

on prend l’axe des abscisse dirigé par f^(p) et l’ordonnée dirigé par f^(q)

si impair alors positif et négatif

si pair alors seulement positif