Analyse sup Flashcards

1
Q

décomposition pair impair

A

p(x) = (f(x)+f(-x))/2

i(x) = (f(x)-f(-x))/2

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2
Q

f-1’(x)

A

1/f’(f-1(x))

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3
Q

Formules de Liebnitz

A

(fg)(n) = Σ(nk)f(k)g(n-k)

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4
Q

Théorème de Rolle

A

si : a

alors : il existe c dans ]a,b[ tel que f’(c) = 0

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5
Q

Acroissements Fini

A

si : f continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[

alors : il existe c dans ]a,b[ tel que

(f(b) - f(a))/(b-a) = f’(c)

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6
Q

Taylor Lagrange

A

si : f est Cn([a,b]) et Dn+1(]a,b[)

alors : il existe c dans ]a,b[tel que pour tout x dans ]a,b[

f(x) = Σ(x-a)k f(k)(a)/k! + (x-a)n+1 x f(n+1)(c)/(n+1)!

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7
Q

Suite de Reiman

A

Un = (b-a)/n x Σf(a+i (b-a)/(n+1) )

et lim Un = int(a->b, f)

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8
Q

Calcule d’intégral cos sin

A

linéarisation

IPP et récurence

changement de varaible u = sin(t)

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9
Q

Calcule d’intégrale fractions rationelles

A

décomposition en éléments simples

factorisation du dénominateur

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10
Q

Règle de Bioche

A

quotients de fonctions trigonométriques

si t -> -t donne dt =dt alors u = cos(t)

si t -> π -t donne dt=dt alors u = sin(t)

si t-> t + π donne dt=dt alors u =tan(t)

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11
Q

Calculme d’intégral de racines de polynomes

A

(1+ u2)1/2 -> u = tan(x) ou u = sh(x)

(1-u2)1/2 -> u = cos(x)

(u2-1)1/2 -> u = sh(x)

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12
Q

stricte positivité de l’intégrale

A

si : f est superieur ou égale a 0, continue, et f est non nulle

alors : int(f) strictement superieur à 0

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13
Q

Taylor reste intégrale

A

si : f est Cn+1([a,b])

alors : pour tout x dans [a,b] on a

f(b) = Σ(x-a)k f(k)(a)/k! + int(a->x, (x-t)nf(n+1)(t) dt )

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14
Q

Convexité

A

pour tout x,y et t dans [0,1] et f(tx + (1-t)y) =< tf(x) + (1-t)f(y)

x < y < z (f(y)-f(x))/(y-x) =< (f(z) - f(x))/(z-x) =< (f(z) - f(y))/(z-y)

inégalité de Jansen Σai = 1

et f(Σaixi) =< Σaif(xi)

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15
Q

Etude d’une suite récurente

A

etude des valeurs permises pour Uo

points fixes = limites ssi f est continue

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