Algèbre Sup Flashcards

0
Q

(G,*) groupe

A

1 : * est associative : a*(b*c) = (a*b)*c 2 : il existe un unique élément neutre e tel que e*a = a*e = a 3 : il existe un unique symétrique a’ pour tout element a de G tel que a*a’ = a’*a = e

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
1
Q

Ensemble

A

A une loi

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
2
Q

(G,*) groupe abélien

A

* est commutatif (a*b) = (b*a)

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
3
Q

Caractérisation d’un sous groupe

A

H sous groupe de F ssi H inclue dans F H <>vide H stable par la loi du groupe H stable par symetrie Toute intersection de sous groupes est un sous groupe

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
4
Q

Morphismes de groupes

A

f appli de (G,*) dans (F,^) morphismes de groupe ssi f(a*b) = f(a)^f(b)

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
5
Q

F injective

A

Ker(f) = element neutre

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
6
Q

(A,+,x) anneau

A

1 : (A,+) commutatif 2 : x associative et distributive par rapport a + 3 : les elements neutres des deux lois sont différents Intègre si axb= 0 => a= 0 ou b= 0

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
7
Q

Groupe unité d’un anneau

A

Ensemble des éléments inversibles par la multiplication

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
8
Q

(K,+,x) corps

A

(K,+,x) anneau (K privé de son élément neutre, x) groupe

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
9
Q

Espace vectoriel

A

(E,+) groupe commutatif et . Loi externe tel que a.(x+y) = a.x+a.y (a+b).x = a.x + b.y 1.x = x (axb).x = a.(b.x)

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
10
Q

Isomorphisme Endomorphisme Automorphisme

A

Appli linéaire de E dans F Appli linéaire de E dans E Appli linéaire bijective de E dans dans E

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
11
Q

Carractérisation d’un sous espace vectoriel

A

F inclu dans E ssev de E ssi F non nul F stable par scalaire F stable par addition Intersection de ssev est un ssev

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
12
Q

Dim (ExF)

A

= dim(E) + dim(F)

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
13
Q

Dim(E+F) (grossman)

A

= dim(E) + dim(F) -dim(E inter F)

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
14
Q

dim(F^n)

A

= n x dim(F)

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
15
Q

Théorème du rang

A

si : f est linéaire de E dans F, 2 evdim finies alors : dim(Ker(f)) + dim(Im(f)) = dim(E)

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
16
Q

Théorème de la base incomplète

A

En dimension finie toute famille libre d’un ev peut être complétée par une autre famille telle que la réunion de ces deux familles soit une base de l’ev

17
Q

Méthode de Gauss pour le rang d’une famille

A

Rg de l’application est le nombre de pivots non nuls

18
Q

Division Euclidienne

A

Pour tout polynomes A,B il existe un unique couple de polynomes Q,R tel que A=BQ+R avec deg(R)<deg></deg>

19
Q

Formule de Taylor pour les Polynomes

A

P(x) = Σ0n(x-a)^k x Dk(P)(a) / k!)

20
Q

Théorème de D’alembert Gauss

A

Tout polynome de degré n admet exactement n racines dans C[X]

21
Q

Determinant d’une matrice carré

A

σ E(s) π a(σ(j),j)

22
Q

Matrice inverse

A

A^(-1) = tA*/det(A) Avec A* = ((-1)^(i+j) x det(A(i,j)))

système A.B=I

Gausse Jordan

23
Q

Résolution des systèmes de Cramer

A

Xj = det(C1, … , B , … , Cn) / det(C1 , … , Cj , … , Cn)

24
Produit scalaire
Forme bilinéaire symetrique definie positive
25
Ev pré hilbertien Euclidien
Pré Hilbertien = dim finie muni d'un produit scalaire Euclidie = pré hilbertien réel
26
Formules de Polarité
= (||u+v ||^2 - ||u ||^2 - ||v ||^2)/2 = (||u + v ||^2 - || u - v||^2)/4
27
Théorème de Pythagore
Si (ui) famille orthognale de vecteurs alors ||Σ(ui)||^2 = Σ(||ui||^2)
28
Bases orthonormées en ev euclidien
tout espace vectoriel euclidien admet des bases orthonormées
29
Distance à un sous espace vectoriel
d(u,F) = Inf (d(v,u), v dans F ) = II u - pF(u) II uniquement dans un espace vectoriel euclidien
30
Endomorphisme orthogonal
definition : conserve la norme et le produit scalaire matriciellement tA.A = AtA = I
31
Matrice de rotation dans le plan
cos (a) - sin(a) sin(a) cos(a)
32
Matrice de symétrie par rapport à une droite dans le plan
cos(a) sin(a) sin(a) -cos(a)
33
Etude d'une rotation dans l'espace
1 : verification que A orthogonale tA.A = I ou conservation de la norme et du produit scalaire 2 : verification que c'est une rotation det(A) = 1 3 : tr(f) = 2cos(a) + 1 4 : det(u,f(u),n) est de même signe que sin(a) expression générale d'une rotation dans l'espace r(u) = .x + cos(a)((u^x)^x) + sin(a)(u^x)
34
Matrices de passages
A matrice de f dans E B matrice de f dans E' P matrice de passage de E vers F B = P-1AP pour une forme bilinéaire B = tPAP
35
similitudes
f similitude\<=\> pour tout a,b de E IIf(a)-f(b)II = k IIa-bII les similitudes se décomposent en une rotation et une homothétie
36
A matrice inversible
\<=\> f automorphisme \<=\> rg(f) = rg(A) =dim E \<=\> polynome annulateur minimale de U a une valuation non nulle \<=\> det(A) = det(f) \<\> 0
37
calcul de An
Binôme de Newton si ca commute division euclidienne de Xn par un polynome annulateur de A
38
Transposée
tot=I t(AB) = tAtB
39
trace
tr(AB) = tr(BA) tr(tA) = tr(A)
40
décomposition de matrices en matrices symétriques et en matrices antisymétriques
symétrique tA=A antisymétrique tA=-A A = (tA+A)/2 + (A-tA)/2 symétrique antisymétrique