Algèbre Spé

Question 1

Espace convexe

Answer 1

le segment entre n’importe quel point de l’ensemble est contenu dans l’ensemble

Question 2

décompositions des permutations

Answer 2

toute permutation peut être décomposer en un produit de transposition

Question 3

forme n linéaire

Answer 3

f : (x1,…,xn) -> f(x1,…,xn) forme n linéaire <=>

les applications partielles de f (réstreint a un vecteur) est une forme linéaire

si un vecteur est nul alors l’application n linéaire sera nulle en ce point

Question 4

f symétrique

Answer 4

f symétrique <=> pour tout P permutation pour tout (x1,…,xn) de Eⁿ

f(xp(1),…,xp(n)) = f(x1,…,xn)

Question 5

f antisymétrique

Answer 5

f antisymétrique <=> pour tout (x1,…,xn) de Eⁿ et pour tout P permutation f(xp(1),…,xp(n)) = E(p) f(x1,…,xn)

Question 6

f alternée

Answer 6

f alternée <=> si il existe i<>j et xi=xj alors

f(x1,…,xi,…,xj,…xn) = 0

<=> f antisymétrique

Question 7

expression des formes n linéaire alternées

Answer 7

si xi = Σai,kek

alors f(x1,…,xn) = Σ_k1Σ_k2….Σ_kna1,k1…….an,kn x f(ek1,…,ekn)

= f(e1,…,en) x Σ_pE(p)Π(ai,p(i))

Question 8

Determinant

Answer 8

det_b = Σ_pE(p)Π(ai,p(i))

Question 9

déterminant dans la base B de la base B

Answer 9

det_B(B) = 1

Question 10

déterminant de la transposée

Answer 10

det(^tM) = det(M)

Question 11

déterminant par bloc

Answer 11

det(M) = det(A) x det(B)

M = A C

   0   B

généralisable au matrices triangulaires par blocs

Question 12

inversibilité par le determinant

Answer 12

M^-1 = ^t(com(M))/det(M)

Question 13

det(AxB)

Answer 13

det(AxB) = det(A) x det(B)

Question 14

M diagonalisable

Answer 14

M diagonalisable

<=> Il existe B base E (formée de vecteurs propres)/ mat_B(M) diagonale

<=> il existe n droites supplémentaires dans E stables par M

<=> les sous espazces propres sont en somme directe égale a E

<= X(M) est scindé et toutes ses valeurs propres sont simples

<=> dim(E_y) = n_y pour tout y de Sp(M)

<=> M admet un polynôme annulateur scindé à racines simples

Question 15

expression du polynôme caractèristique

Answer 15

X(M) = (-1)ⁿXⁿ + (-1)ⁿ⁺¹tr(M) + ….. + det(M)

Question 16

Théorème de Caley-Hamilton

Answer 16

le polynôme charactèristique est un polynôme annulateur de la matrice ou de l’application

Question 17

M trigonalisable

Question 18

espace pré-hilbertien

Answer 18

(E,P) E Rev, P produit scalaire sur E

Question 19

norme associée a un produit scalaire

Answer 19

n(x) = (P(x,x))^1/2

Question 20

identité de la médianne

Answer 20

IIx+yII²+IIx-yII² = 2(IIxII²+IIyII²)

Question 21

Produit scalaire complexe

Answer 21

linéaire à droite et semi linéaire à gauche

Question 22

Espaces Euclidiens

Answer 22

pré - hilbertien réel de dimension finie

Question 23

représentation matricielle du produit scalaire

Answer 23

P(x,y) = ^tX M Y

M = <e1> ........<e1></e1></e1>

      <en> .......<en></en></en>

Question 24

espaces Hermitiens

Answer 24

pré-hilbertiens complexes de dim finie

Question 25

adjoint d’un endomorphisme

Answer 25

u* / = <x></x>

Question 26

automorphismes autoadjoints

Answer 26

u automorphisme auto-adjoint

<=> u diagonalisable dans une base orthonormale

Question 27

Réduction de coniques

Question 28

norme

Answer 28

N(ax) = IaI N(x)

N(x) > 0

N(x) = 0 => x = 0

N(x+y) <= N(x) + N(y)

Question 29

distance

Answer 29

d(x,y) => 0

d(x,y) = 0 => x=y

pour tout (x,y,z)

d(x,y) <= d(x,z) + d(z,y)

Question 30

partie bornée

Answer 30

A bornée <=> il existe a dans E et r dans R / A C B_F(a,r)

Question 31

suite bornée

Answer 31

il existe A / pour tout n IIxnII < A

Question 32

normes equivalentes

Answer 32

N plus fine que N’ <=> il existe a / N’ <= a N

Question 33

Relation d’ordre

Answer 33

reflexivité : N equivalent à N

symétrie : N equivalent a N’ => N’ equivalent a N

transitivité : N equivalent a N’ et N’ equivalent à N’’ => N equivalent à N’’

Question 34

normes équivalentes

Answer 34

N et N’ equivalentes <=> N plus fine que N’ et N’ plus fine que N

<=> il existe a et b tel que aN

< p=””>en dimension finie toute les normes sont equivalentes<>

Question 35

suites de Cauchy

Answer 35

(xn) suite de Cauchy <=> pour tout E de R^+* ,il existe n tl que pour tout p de N

IIx_n+p-x_nII < E

si une suite de cauchy admet une sous suite convergente alors elle converge

en dimension finie toute suite de Cauchy est convergente

Question 36

espace complet

Answer 36

E espace complet <=> toute suite de cauchy converge dans E

c’est le cas de tous les ev normées

Question 37

Ouvert

Answer 37

A ouvert <=> pour tout a de A il existe r de R /

B_o(a,r) C A

ensemble des ouverst stable par réunion quelquonque et par intersecion finie

Question 38

Fermé

Answer 38

A partie fermée de E <=> le complémentaire de A dans E est un ouvert

ensemble des fermés stable par intersection quelquonques et par réunions finis

Question 39

Partie adhérente

Answer 39

a point adhérent de A <=> si pour tout r de R^+*B_o(a,r) inter A <> vide

A inclus dans son adhérence

A = adhérence => A partie fermée

Question 40

partie interieur

Answer 40

a point interieur de A <=> il existe r / B_o(a,r) C A

Question 41

propriétés adhérence et interieur

Answer 41

A C B => A^- C B^- et A° C B°

A° C A C A^-

(AnB)° = A°nB°

A°uB° C (AuB)°

(AuB)^- C A^-uB^-

(AnB)^- = A^-nB^-

Question 42

caractérisation séquentielle de la continuité

Answer 42

f cont en a <=> pour toute suite (xn) / limxn = a on a lim(f(xn) = f(a)

Question 43

continuité et espaces ouverts et fermés

Answer 43

f continue <=> l’image reciproque de tout ouvert de F est un ouvert de E

<=> l’image reciproque de tout fermé de F est un ouvert de E

Question 44

partie compacte

Answer 44

A compacte de E <=> A partie fermée bornée de E

Question 45

Théorème de Bolzano-Wierstrass