Réduction Flashcards
Propositions Page 1
- E¥(u)=Ker(u-£Ide)
- E¥(u) est Stable par u
-¥ vp de u E¥(u) diff de {0}
u-¥Ide non injectif
-0 vp de u u non injectif
Valeurs propres d’une matrice triangulaire
Sont ses coefficients diagnonaux
Éléments propres de Q(u) lorsque Q est un polynôme et u un endomorphisme
1) u^k(x)=¥^kx
2) Soit Q un polynôme Q(u(x))=Q(¥)x
Polynôme annulateur avec un endomorphisme
Soit E un espace vectoriel et u un endomorphisme de E et P un polynôme
P est annulateur de u ssi P(u)=0
Proposition polynôme annulateur
Dans un espace de dimension finie, tout endomorphisme possède au pins un polynôme annulateur non nul
Recherche des valeurs propres avec polynôme annulateur
Soit P un polynôme annulateur de l’endomorphisme u alors les valeurs propres possibles de u sont racines de P
2 Proposition sur Réduction endo
1) Soit u un endomorphisme de E, des vecteurs propres associées à des valeurs propres 2 à 2 distinctes sont libres
2) Soit E un espace de dimension n, appli E->E ¥1,¥2…¥k des valeurs propres distinctes de u, les espaces propres associés sont en somme directe
Corollaire (3 points)
Soit u un endomorphisme d’un espace de dimension n:
1) La somme des dimensions des sous espaces propres de u est inférieure ou égale à n
2) u possède au plus n valeurs propres
3) S’il possède n valeurs propres distinctes alors les espaces propres sont de dimension 1
Endomorphisme diagonalisable
1) Il existe une base formée de vecteurs propres de u
2) E=Somme directe des Espaces propres
3) n=Sum dimension des espaces propres
Endomorphisme diagonalisable corolaire
Si Dim(E)=n et u possede n valeurs propres distinctes alors u est diagonalisable et tous ses espaces propres de dimension 1
Projecteur
Tout projecteur p est diagonalisable et
Sp(p)={0,1}
Matrice diagonalisable et trace
Si A est une matrice diagonalisable alors la trace de A est la somme des valeurs propres de À
Gros théorème 3 Matrice diagonalisable
Soit E un espace vectoriel de dimension finie et B une base de E, Soit A une matrice carrée associée à un endo u de E, Équivalence propositions:
1) P^(-1)AP=D (diag:vps)
2) A est semblable à une matrice diagonale
3) il existe base formée de vecteurs propres de A
4) Mn,1(K)=Somme directes e-p
5) n=Sum dim e-p
6) tout endo u associé à A est diagonalisable
