Intégrales Impropres Flashcards
Intégrale convergente
L’intégrale impropre a{b f(t)dt converge si:
- f est continue sur [a,b[
- La primitive a{x f(t)dt a une limite finie quand x tend vers b
Intégrale divergente
Si la primitive a:
-Une limite infinie
Ou
-Pas de limite
Reste d’une intégrale convergente
Reste de l’intégrale: x{b f(t)dt
-Lim x—b x{b f(t)dt=0
Intégrales de référence
- Pour tout réel a>0, 0{plus infini e^(-at)dt converge et vaut 1/a
- 0{1 ln(t)dt converge
- 0{1 1/t^a dt converge ssi a<1
- Soit b un réel non nul, 0{b 1/(b-t)^a dt converge ssi a<1
Soit une fonction continue, positive et non constante nulle sur [a,b[ alors
Alors:
a{b f>0
Soit une fonction continue et positive sur [a,b[
Alors:
a{b f=0 -> f=0
Théorème fondamentale pour la convergence des intégrales de fonctions positives
Soit f une fonction continue sur [a,b[ et F sa primitive:
F(x)=a{x f(t)dt
- a{b f converge si F est majorée
- a{b f diverge si lim qd x—b F(x)=+infini
f et g sont deux fonctions continues et positives sur [a,b[
Règle du t^a f(t) avec f positive sur [a,+inf] ou ]0,a]
-S’il existe a>1 tel que lim qd t->+oo t^a f(t)=0
Alors f(t)=o(1/t^a) et a{+oo f(t)dt converge
-S’il existe a
Changement de variable
On appelle changement de variables entre les intervalles ]c,d[ et ]a,b[
toute fonction f
- f est de classe C^1 sur ]c,d[
- f est strictement monotone sur ]c,d[
- lim qd x->c f(x)=a et
lim qd x->d f(x)=b
-f réalise une bijection de ]c,d[ sur ]a,b[
Utilisation des changement de variable avec une fonction f
- On pose x=f(t)
- On vérifie que f est bien de classe C^1, monotone, réalise une bijection de ]c,d[ sur ]a,b[
- On remplace x par f(t) et le dx par f’(t)dt
- On remplace les bornes de l’intégrale a et b par les limites de t
Changement de variable nature
Soit f un changement de variable licite de ]c,d[ sur ]a,b[ alors les intégrales:
a{b g(x)dx et c{d g(f(t))f’(t)dt ont la même nature et le cas échéant la même valeur
Intégrales des fonctions paires et impaires
Si 0{+oo f(t)dt converge avec f paire ou impaire alors -oo{+oo f(t)dt converge
- Si f est paire alors -oo{+oo f(t)dt=2x 0{+oo f(t)dt
- Si f est impaire alors -oo{+oo f(t)dt=0
Liens entre séries et intégrales
Lorsque f une fonction continue, positivé et décroissante (Cpd) sur [1,+oo[
-La série E de 1 à infini de f(n) et l’intégrale de 1{+oo f(t) dt ont la même nature
La fonction Gamma d’Euler
T(x)=0{+oo t^x-1 e^-t dt
Propriétés de cette fonction:
1) domaine de définition: ]0,+oo[
2) équation fonctionnelle: Pour tout x€R+* T(x+1)=xT(x)
3) lien avec la factorielle: Pour tout n€N* T(n)=(n-1)!
