P1 Dérivation

Question 1

Dérivabilité d’une fonction

Answer 1

Soit f une fonction définie sur un intervalle I
(Soit a € I)

-f est dérivable en a ssi lim qd x->a
f(x)-f(a)
————
x-a

-On pose f’(a)=cette lim

-lim qd h->0 f(a+h)-f(a) existe et finie
—————-
h

Question 2

Dérivablilité à gauche et à droite

Answer 2

Soit f une fonction définie sur I

-f est dérivable à gauche en a ssi
lim qd x->a^- f(x)-f(a)  existe et finie
                       ————
                          x-a
f’_g(a)=cette lim

Pareil pour droite

Question 3

Proposition sur derivabilité gauche et droite

Answer 3

-Si f est dérivable en a alors f est dérivable à gauche et à droite en a

Et f’(a)=f’_g(a)=f’_d(a)

-Si f est dérivable à gauche et à droite en a mais les f’ sont non égaux alors on a un point anguleux

Question 4

Opérations usuelles

Answer 4

• f et g dérivables alors (f+g) dérivable en a
• f derivable en a _\f est dérivable
• f et g dérivables en a fg dérivable

-Si g dérivable et g(a) différent de 0
alors 1/g dérivable en a

-Si f et g sont dérivables en a et g(a) différent de 0 f/g est dérivable en a

Question 5

Derivabilité-Continuité

Answer 5

Soit f définie sur I

1) f est dérivable en a alors f est continue en a
2) f est dérivable sur I alors f est continue sur I

Question 6

Classe C^1

Answer 6

-f est de classe C^1 ssi f est dérivable sur I et f’ est continue

Question 7

Dérivabilité de la bijection réciproque

Answer 7

Soit I un intervalle, soit f € D^1(I)
On suppose que f est strictement monotone sur I
f réalise une bijection de I sur f(I)

Pour tout t€f(I), f^-1 est dérivable en t ssi f’(f^(-1)(t)) différent de 0
Et dans ce cas (f^(-1))’(t)= 1/f’(f^(-1)(t))

Question 8

Arctan x les limites en pi/2

Answer 8

• Lim qd x->-pi/2+ sin x=-1
• en pi/2- c’est 1

-En -pi/2+ pour cos x c’est 0+
En pi/2- c’est 0+

-En -pi/2+ tan x c’est -oo
En pi/2- c’est +oo

Question 9

La fonction arctan (propriétés)

Answer 9

• Arctan est définie continue et dérivable sur R
• tan (arctan(x))=x et pour tout x de ]-pi/2,+pi/2[ arctan (tan(x))=x
• La fonction arctan est impaire (stricte croissante)

Question 10

DL1

Answer 10

Def:Soit f une fonction définie sur un intervalle I (a€I)

f admet un développement limité à l’ordre 1 en a ssi il existe un réel k et une fonction E tels que

f(x)=f(a)+k(x-a)+(x-a)E(x) avec lim qd x->a E(x)=0

f est dérivable en a

Question 11

Extrema locaux

Answer 11

Soit I un intervalle, soit à un élément de I qui n’est pas une borne de I
Soit f définie sur I

1)f(a) est un maximum local de f en a ssi: il existe B>0 tq [a-B,a+B]c I
Et Pour tout x appartenant à cet intervalle, f(x)