Rechentypen Flashcards
Schriftliches Rechnen
- wird nicht mehr dem Zahlenrechnen zugeordnet
- Folgt einem eindeutig beschriebenen Verfahren (algorithmus)
- Voraussetzung ist die Automatisierung des Einspluseins und Einmaleins
Merkmale schriftlicher Verfahren (Normalverfahren)
- standardisiert
- verkürzt und effizient
- mechanisch auszuführen
- allgemein
- analytisch
- nicht leicht zu verinnerlichen
- verleiten zur kognitiven Passivität
Runden
= Technik, die nach genauen Regen abläuft
( bis 4 wird aufgerundet - ab 5 wird abgerundet)
Überschlagen
- folgt keinen Regeln oder Shemata
- zum Überschlagen muss man erkennen, wie sich die Veränderung der einzelnen Zahlen bei den verschiedenen Rechenoperationen auf das Ergebnis auswirkt => Überschlagsergebnis dann näher an wirklichem Ergebnis
- Überschlagsrechnen eng mit Zahlensinn(= Wissen über Beziehungen zw. Zahlen und den kritischen Umgang mit Zahlenangaben) verbunden
Definition Lorenz:
Beim Überschlagen geht es darum “das Ergebnis einer arithmetishen Operation ungefähr, das heißt mit einer gewissen Näherung, aber damit durchaus auch mit einem einkalkulierten Fehler zu bestimmen”
direkte Überschlagsfragen
Bsp. Wie viel ist das ungefähr?
-> es wird nur eine Zahl als Ergebnis verlangt
indirekte Überschlagsfragen
Bsp. Reicht das Geld?/ Kann das stimmen?
die Ergebniszahl muss bei indirekten Überschlagsfragen interpretiert werden, damit die Ausgangsfrage beantwortet werden kann.
Warum ist das Überschlagsrechnen wichtig und sollte mehr in der Schule betont werden?
- Einsatz v. PCs und Taschenrechnern - da die Ergebnisse auf Plausibilität überprüft werden sollten
- es ist im Alltag praktisch, da es häufig nicht notwendig oder sinnvoll ist etwas genau auszurechnen
Aufgabenformate zum Überschlag
- Überschlagrechnen sollte nicht nur im Kontext zu überprüfender genau gerechneter Ergebnisse von Aufgaben gefordert werden -> stattdessen als eigenständiger Inhalt Raum im Unterricht findetn
Aufgabenbeispiele:
- Einforderung verschiedener möglicher Überschläge, die bezügl. der Genauigkeit verglichen werden sollen => Schärfung des Bewusstseins, dass es verschiedene Möglichkeiten des Überschlags gibt, die sich in ihrere Genauigkeit beträchtlich unterscheiden
Formelle Überschlagsstrategien
- Regelkonformes Runden ( auf Einer, Zehner…)
- Geschicktes Runden (Bsp: 16,49+15,49 - 16+16=32)
- Abbruchverfahren <- d.h. es wird nur mit den führenden Ziffern gerechnet (Bsp. 16,49+ 15,49 - 16+15=31)
- Umstrukturieren der Aufgabe (z.B. aus “plus wird mal” 15,49+16,49 - 2*16= 32 - 239+219+224 -> 3*230 oder 3*200)
- Auf bekannte einfache Aufgaben zurückgreifen - ( Bsp. 16+16 <- bewusstes zurückgreifen auf Verdopplungsaufgabe)
- Kompensation - Überschlag mit Ausgleichrechnung
( 16 + 15= 31 - es wurde 2x abgerundet=> Ergebnis muss bei 32 liegen)
Achtung: Welche Strategien im Sinne des geschickten Rechnens jeweilgs angemessen sind, ist aufgaben- und personenabhängig.
Informelle Überschlagsstrategien
- werden durch indirekte Überschlagsfahren z.B. des Typs “Reicht das Geld?” hervorgerufen?
- entstehen u.a. durch Rückgriff auf Vorwissen uns ermöglichen damit ein Überschlagen auf anderen Wegen
- stellen individuelle Zugängen zum Überschlagsrechnen dar
- spiegeln ein Verständnis des “Ungenauen” und können daher für einen verständnisvollen, differenzierten Zugang zum Überschlagsrechnen aufgegriffen werden.
- => Aufgaben diese Typs scheinen als Einstieg ins Überschlagsrechnen besonders sinnvoll, weil in diesen Zusammenhänge über die eigenen Wege der Kinder das Ungenaue thematisiert werde kann!*
Wie sind schriftliche Verfahren im Unterricht zu behandeln?
- Entwicklung der Verfahren darstellen und nachvollziehen lassen; evtl. “anderes Verfahren” entdecken -> Bild der Mathematik als sich entwickelnde Wissenschaft, nicht als Regelspiel
- Verstärktes Bemühen um Verständnis der Algorithmen
- Verfahren anschaulich erarbeiten
- Auch in der Automatisierungsphase: Einsicht durch entsprechende Aufgabenstellungen bewusst lebendig halten; Verfahren immer wieder erläutern lassen.
- Immer wieder Bedeutung des Zahlenrechnens hervorheben; Strategiekonferenzen
- Stärkere Betonung der Überschlags- und Kontrollrechnung
- Mögliche Schwierigkeiten früh berücksichtigen: Fehleranalyse
Wie kann die Überschlags- und Kontrollrechnung mehr betont werden?
- Einbezug in die Leistungsbewertung
- Aufgabe: Zwei Ergebnisse müssen falsch sein. Das kannst du durch Überschlagen herausfinden.
385+247=632
385+247= 532
385+247= 592
- Welche Ergebnisse liegen zwischen 500 und 700? Überschlage!
357+365
178+387
772-116
- Stelle dir selbst Aufgaben zusammen. Das Ergebnis soll zwischen 500 und 700 liegen.
Wie kann die Bedeutung es Zahlenrechnens hervorgehoben werden?
- Aufforderung, verschiedene Lösungswege zu dokumentieren
- Aufgaben, die mit anderen Strategie schneller/ leichter zu rechnen sind…
1001-998
226+345+174+155
387+198+302-385
- Austausch und Reflexion über die gewählten Lösungswege (Rechenkonferenz)
- Finde selbst Aufgaben, bei denen es einfacher ist halbschriftlich/ im Kopf zu rechnen
Kopfrechnen
- Ergebnisse werden im Kopf ermittelt
- Kleiner Zahlenraum und bestimmte Aufgaben des erweiterten Zahlenraums
- Lösungen durch Zerlegung der Zahlen oder Ableitungen von Hilfsaufgaben
Merkmale von Kopfrechenmethoden
- flexibel
- ganzheitlich
- an Verständnis gebunden
- an bewussten oder unbewussten Lösungsweg gebunden; kein Automatismus
- an Zahlvorstellungen gebunden
- begrenzt
- kognitive Aktivität erforderlich
Halbschriftliches Rechnen - gestütztes Kopfrechnen
- Schrittweise Ermittlung des Ergebnisses
- Nutzung von Zahlzerlegung und Rechengesetzen
- Notation der Rechenschritte oder der Zwischenergebnisse
Merkmale halbschriftlicher Methoden
- flexibel
- ganzheitlich
- an Verständnis gebunden (?)
- an Zahlvorstellung gebunden
- kognitive Aktivität erforderlich
- begrenzt (?)
Aufgabentypen
Addition und Subtraktion
- Unterschiedliche Aufgabentypen werden
- nach ihrer Syntax (Aufbau) -> Gleichungen zu verschiedenen Aufgaben
- und nach ihrer Semanktik (Inhalt) -> sprachliche Einbettung der Aufgaben
unterschieden
Aufgabentypen Addition / Subtraktion
Syntax
- 6 Grundaufgaben
- 3 für Addition
a+b= x <- Ergebnis der Operation wird gesucht
a+x = b <- Veränderung wird gesucht
x + a= b <- Ausgangszustand wird gesucht
- 3 für Subtraktion
a - b = x <- Ergebnis wird gesucht
a - x = b <- Veränderung wird gesucht
x - a = b <- Ausgangszustand wird gesucht
Aufgabentypen Addition/ Subtraktion
Semantik
= Inhaltliche Ebene
unterschiedliche Situationstypen (bei Rechengeschichten)
- Situation des Veränderns
- d.h. bei den Aufgaben geht es um Mengen und ihre Veränderung
- im einfachsten Fall ist eine Menge mit einer bestimmten Anzahl vorgegeben und es kommt etwas hinzu oder wird abgetrennt
- Situation des Verbindens
- zwei zunächst verschiedene Mengen, die miteinander verbunden werden
- Situation des Vergleichens
- zwei unterschiedliche Mengen werden hinsichtlich der Anzahl ihrer Objekte miteinander verglichen
- Bsp. “ Fritz hat fünf Murmeln. Luise hat drei Murmeln. Wie viele Murmeln hat Fritz mehr als Luise?”
- Situation des Aus- bzw. Abgleichens
- zwei verschiedene Mengen, die durch Hinzufügen oder Wegnehmen von Objekten aus einer Menge so verändert werden sollen, dass beide Mengen eine gleiche Anzahl von Objekten haben.
Kombination dieser vier verschiedenen Situationstypen mit den drei Variationen auf der syntaktischen Ebene führt zu vielen verschiedenen Rechengeschichten.
Rechenstrategien Addition und Subtraktion
es gibt 3 Grundstrategien:
- Zählen => Zählstrategien
- Rechnen => Rechenstrategie = Heuristische Strategien
- Wissen => (operatives) Üben => Ausw_endig wissen von Aufgaben_
+ Mischformen
Wichtig:
- die 3 Grundstrategien sind nicht als eine Abfolges ich ablösender Aufgaben zu verstehen!
- zum gleichen Zeitpunkt können die gleichen Kinder einige Aufgaben schon auswendig, lösen andere mit heuristischen Strategien und bei wieder anderen greifen sie auf Zählstrategien zurück.
Zählstrategien
Addition
- Vollständiges Auszählen (mit und ohne Material)
- Weiterzählen
- Weiterzählen vom ersten Summanden
- Weiterzählen vom größeren Summanden
- Weiterzählen vom größeren Summanden in größeren Schritten
Subtraktion
- Zählstrategien mit Materialeinsatz
- Wegnehmen
- Ergänzen
- reine Zählstrategien
- Rückwärtszählen (um eine gegebene Zahl)
- Rückwärtszählen (bis zu einer gegebenen Zahl)
- Vorwärtszählen (enger Zusammenhang mit Ergänzen)
Heuristische Strategien (im 1. Schuljahr)
- setzen neben ersten Einsichten in Eigenschaften der Addition und Subtraktion (z.B. Assoziativgesetz) das Auswendigwissen von Grundaufgaben voraus, aus denen dann die Lösungen der anderen Aufgaben dann abgeleitet wird.
- Sie nutzen Zusammenhang zwischen Aufgaben und ermöglich flexibles Rechnen
Verdoppeln bzw. Halbieren
- Verdoppel bzw. Fast Verdoppeln
3+3=6 ist bekannt daraus abgeleitet wird die Aufgabe 3+4 als 3+3+1 gelöst
- Halbieren
14-6 wird über die Aufgabe 14-7 +1 gelöst
Achtung Gefahr des Rechenrichtungsfehlers statt 14-7+1 wird häufig 14-7-1 gerechnet
Schrittweise Rechnen
- Zerlegung eines Summanden mit 10 als Zwischenergebnis
Bsp:
6+5 wird gelöst indem erst bis 10 und dann weiter gerechnet wird
ebenso 12-4
- Zerlegungen eines Summanden Stellungsgerecht
Bsp: 13+4 = 3 +4 (+10)
17-3 = 2-3 (+10)
- Voraussetzung: Kennen aller Zahlzerlegungen
Ausgleichen (Gegens- bzw. gleichsinniges Verändern)
- Gegensinnig bei Addition
9+5 =10+4
- Gleichsinnig bei Subtraktion
11-7=10-6
Ergänzen
- nur bei Subtraktion anwendbar
Heuristische Strategien im ZR 100 und weiter
Schrittweise Rechnen - Zerlegen einer Zahl in ihre Stellen:
ZE +/-Z, dann +/- E oder ZE +/- E und dann ZE+7- Z
Stellenweise Rechnen - Zerlegen beider Zahlen in ihre Stellen:
Z +/- Z und E+/-E
Mischformen - Beide Zahlen zerlegen, zuerst eine Stelle getrennt rechnen, dann schrittweise weiter: Zuerst Z+/-Z, dann schrittweise +/- E1, +/- E2
Verdoppeln/ Fast-Verdoppeln
Ergänzen (Subtraktion)
Gegen- bzw. Gleichsinniges Verändern
Hilfsaufgaben
Bsp. 36+8 =36+40-2 / 58-39=58-40+1
Operative Grundaufgaben
Beispielaufgabe: 8+5
Umkehraufgaben / Probeaufgaben
13-5=_
13-8=_
Tauschaufgaben (Kommutativgesetz)
5+8=_
Nachbaraufgaben
7+5=_
9+5=_
8+4=_
8+6=_
Zerlegungsaufgaben
8+2+3=_
8+8-3=_
5+5+3=_
Analogieaufgaben
8+5=13
18+5=_
Invarianzaufgaben
Gegenseitiges Verändern (Addition)
10+3=_
8+5=_
6+7=_
Gleichsinnig bei Subtraktion 8-5
9-6=_
7-4=_
autmatisierendes Üben
= Einüben von Fertigkeiten spielt eine entscheidende Rolle
- hat zum Zoel, z.B. die Ergebnisse von Operationen, aber auch Abläufe, Schreibweisen und Strategien automatisch abrufen zu können
- Ziel wird erreicht einerseits durch Arbeit mit Materialien und Veranschaulichungen, andererseits formal z.B. mit operativ strukturierten Päckchen (diese Aufgaben hängen zusammen und ihr Ergebnis kann voneinander abgeleitet werden!)
operatives Üben
Ziel des operativen Übens ist eine Förderung des flexibelen Denkens
- operative Übungen zielen auf die Vernetzung von Wissen ab
- und auf die Flexibilität des Denkens, das durch die Anwendung von Gesetzmäßigkeiten bewirkt werden soll
- operatives und produktives Üben unterscheidet sich von anderen Übungsformen durch den “Überschuss” an Erkenntnismöglichkeiten, ohne dabei auf die Festigung von Rechenfertigkeiten zu verzichten.
- Aufaufgaben ebene geht es ums HErstellen, Erkennen und Anwenden vielfältigeser Beziehungen, Abhängigkeiten und Zusammenhänge
- Verschiedene Übungsformen:
- Zahlenmauer
- Rechenkette
- Zahlentreppe
- Verschiedene Aufgabenformate (Tauschaufgaben, Analogieaufgaben, Nachbaraufgaben, gegen- bzw. gleichsinniges verändern…
- Würfeltreppen
Teilschrittverfahren
- Ablauf an Material Bsp. 20er-Feld:
- erste Summand belegt obere Reihe
- Summand füllt oberer Reihe auf (bis zur 10) Rest des 2. Summanden kommt in untere Reihe
Teilschrittverfahren ist diskussionswürdig, da es ausgesprochen anspruchsvoll ist, da es eine Vielzahl von Überlegeungegn fordert:
- die Ergänzung zum nächsten Zehner als sinnvolle Strategie erkennen (dies ist nicht automatisch immer der Fall, sondern aufgabenunabhängig);
- die passende Ergänzung zum nächsten Zehner finden;
- den 2. Summanden demgemäß richtig zerlegen;
- die Ergänzung ausführen
- wissen, zu welchem Zehner man dann gelangt;
- den Rest des zerlegten 2. Summanden richtig behalten haben;
- diesen Rest richtig zum neu erzielten Zehner addieren
Warum kritisch zu sehen?
- sehr anspruchsvoll
- viele Überlegungen und Teilleistungen von nöten
- Subjektive, informelle Strategien der Kinder werden ignoriert
- Zielsetzung “flexible und geschickte Rechenfähigkeit wird negiert
- bei nur wenigen Aufgaben eine sinnvolle Strategie
Fehler Addition und Subtraktion
(1) Zählfehler
enstehen bei zählenden Rechnern durch:
- fälschliches mitzählen des 1. Summanden bzw. des Minuenden
82+7=88 über 82,83,84,85,86,87,88
96-8=89 über 96,95,94,93,92,91,90,89
=> Fehler um plus Eins ( Ergebnis um 1 zu groß)
- falsche Anwendung der Idee “die nächste Zahl ist es”
38+5 = 44 über (38),39,40,411,42,43 also 44
32-5= 26 über (32),31,30,29,28,27, also 26
=> bei Addition Fehler um plus eins, bei Subtraktionfehler um minus 1
- beide Fehler können auch beim Rechnen mit Zehnern auftreten oder sowohl beim Rechnen mit Zehnern und Einern
- es ist auch möglich, dass Kinder die Fehler mischen
(2) Fehler im Zusammenhang mit einer Links- Rechts - Problematik
