DHW Flashcards
Zufallsversuch
- Ausgang ist nicht vorhersagbar Bsp. Münzenwerfen; ziehen von Lottozahlen
Zufallsexperiment
= häufige Wiederholung eines Zufallsversuchs unter immer gleichen Bedingungen
Zufallsergebnis
= Möglichkeiten die es für den Versuchsausgang gibt z.B. Beim Würfeln mit 2 Würfeln gibt es 36 mögliche Zufallsergebnisse
Zufallsereignis
Bsp. Würfeln - mögliche Zufallsereignisse beim Zufallsversuch sind die Zahlen 2-12 => Zufallsereignis alle Möglichkeiten die eintreten können ( bei Münzwurf z.B. Kopf und Zahl)
Laplace-Experiment
= Zufallsexperimente, bei denen die Wahrscheinlichkeit für alle Versuchsausgänge gleich hoch ist Bsp. Beim Würfeln mit einem Würfel beträgt die Wahrscheinlichkeit das eine der 6 Möglichen Zahlen auftritt 1/6
Wahrscheinlichkeit
= Quotient aus Anzahl der günstigen Versuchsausgänge und Anzahl der möglichen Versuchsausgänge
Bsp. Würfeln mit 2 Würfeln - Wahrscheinlichkeit eine 2 zu Würfeln ist 1/36 da es nur 1 Möglichkeit gibt - Wahrscheinlichkeit eine 7 zu würfeln ist 6/36, da es 6 Möglichkeiten gibt eine 7 zu würfeln
Absolute Häufigkeit/ Wahrscheinlichkeit
= Häufigkeit des Auftretens eines Ereignisses
relative Häufigkeit/ Wahrscheinlichkeit
= Quotient aus absoluter Wahrscheinlichkeit und der Anzahl der durchgeführten Zufallsversuche
Achtung: bei Zufallsexperimenten mit wenigen Versuchen kann es durchaus vorkommen, dass die relative Häufigkeit stark von der theoretischen Häufigkeit abweicht! Bsp. Würfeln mit 2 Würfeln - es wird 36 mal mit 2 Würfeln gewürfelt - nach Regel der Wahrscheinlichkeit dürfte nur 1 mald die Augensumme 2 fallen, da sie eine Wahrscheinlichkeit von 1/36 hat - es kann aber trotzdem vorkommen, dass die 2 dreimal gewürfelt wird, dies entspricht der relativen Häufigkeit von 3/36
Gesetz der großen Zahlen
Nur wenn die Anzahl der Zufallsversuche sehr hoch ist kann davon ausgegangen werden, dass sich relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit (absolute Häufigkeit hier) annähren.
Allgemeines Zählprinzip der Kombinatorik bzw. Fundamentalprinzip des Zählens
= Produktregel Beispiel: Clown Henry hat 3 Hüte, 2 Hemden und 3 Hosen. Wie viele Kostüme kann er zusammenstellen? 2*2*3= 12
Es gilt: wird ein k-stufiger Entscheindungsprozess durchlaufen, in dem es für die 1. Entscheidungsstufe n1 , für die 2. Entscheidungsstufe n2, …für die k. Entscheidungsstufe nk Entscheidungsmöglichkeiten gibt, existieren insgesamt n1*n2*…*nk Möglichkeiten.
geordnete Stichproben ohne Zurücklegen (Variationen ohne Wiederholung)
- Reihenfolge ist entscheidend
-
Bsp. 5 Kinder wollen Gruppenbilder mit jeweils 3 Personen machen. Wie viele Möglichkeiten gibt es, sich aufzustellen? Da es jedes Kind nur einmal gibt, ist die Möglichkeit der Wiederholung nicht gegeben. Auf jedem weiteren Platz entfällt also jeweil eine Auswahlmöglichkeit.
- Entscheidung: Für den linken Platz gibt es 5 Möglichkeiten
- Entscheidung: Für den mittleren Platz gibt es 4 Möglichkeiten
- Entscheidung: für den rechten Platz gibt es 3 Möglichkeiten
=> Insgesamt gibt es 5*4*3= 60 Möglichkeiten
Sonderfall: GIbt es gleichvile Stufen im Entscheidungsprozess, wie Objekte vorhanden sind ( 5 Kinder wollen ein Gruppenbild machen & alle 5 sollen drauf sein). Hier gibt es nach den obigen Überlegungen 5*4*3*2*1 Möglichkeiten sich aufzustellen = 5!
Allgemein - Es gilt: bei n Objekten und k Entscheidungsstufen
geordnete Stichprobe mit Zurücklegen (Variation mit Wiederholung)
Beispiel:
Es gibt Steckwürfe in 3 Farebn. Es sollen 3er-Türme gebaut werden. Der Turm Rot-Gelb-Blau gilt als verschieden zu dem Turm Blau-Rot-Gelb. Es können auch Steckwürfel der gleichen Farbe in einem Turm vorkommen. Wie viele verschiedene Türme sind möglich?
- Entscheidung: für den unteren Steckwürfel gibt es 3 Möglichkeiten
- Entscheidung: für den mittleren Steckwürfel gibt es 3 Möglichkeiten
- Entscheidung: für den obersten Steckwürfel gibt es 3 Möglichkeiten
=> Insgesamt gilt also 3*3*3=33= 27 Möglichkeiten
Allgemein:
Es gilt: Bei jeweils n Möglichkeiten und k Entscheidungsstufen gibt es nk Möglichkeiten!
ungeordnete Stichprobe ohne Zurücklegen (Kombinationen ohnen Wiederholung)
Bsp. Mini-Lotto
Aus den Zahlen 1 bis 6 sollen 3 ausgewählt werden. Wie viele Möglichkeiten gibt es?
Beim Lottospiel ist keine Wiederholung, kein “Zurücklegen” möglich, die Reihenfolge der Ziehung ist ohne Bedeutung.
Lösung via systematisches Auflisten möglich.
Produktregen führt nicht zur Lösung, da bspweise die Auswahl 2-4-6,2-6-4,4-2-6,4-6-2,6-4-2 als verschiedene Möglichkeiten 6fach gezählt werden müssen. Die nach der Produktregel 6*5*4= 120 Möglichkeiten müssen also durch 6 geteilt werden!
Allgemein:
Berechnung der Anzahl der Möglichkeiten, k Elemente aus n Objekten auszuwählen mit Binomialkoeffizient möglich.
Binomialkoeffizient
Der Binomialkoeffizient gibt an, auf wie viele verschiedene Arten man k Objekte aus einer Menge von n verschiedenen Objekten auswählen kann. Der Versuch wird dabei ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge durchgeführt.
Erklärung: Auf der linken Seite findet ihr die Kurzschreibweise für den Binomialkoeffizient, gesprochen “n über k”. Auf der rechten Seite seht ihr den Bruch, wie er berechnet wird. Die folgenden Beispiele dürften dies noch verdeutlichen.
Beispiel 1:
Fakultät
Die Fakultät ist in der Mathematik eine Funktion, die einer natürlichen Zahl das Produkt aller natürlichen Zahlen kleiner oder gleich dieser Zahl zuordnet. Das Zeichen für die Fakultät ist ein Ausrufezeichen (!).
Ungeordnete Stichprobe mit Zurücklegen
(Kombination mit Wiederholung)
Bsp: aus 4 Bonbonsorten sollen 3 ausgewählt werden. Es dürfen mehrere Bonbons von der gleichen Sorte gewählt werden. Wie viele Möglichkeiten gibt es? Wiederholung( Zurücklegen) ist erlaubt, die Reihenfolge der Wahl ist ohne Bedeutung. Kann systematisch via Auflisten gelöst werden.
Allgemein: Die Produktregel führt bei dieser Aufgabe nicht zur Lösung, da die Auswahl Fruchtbonbon-Karamellbonbon-Minzbonbon und die Auswahl Minzb.-Fruchtb-Karamellb. als verschiedene Möglichkeiten gezählt werden.
Berechnung der Anzahl der Möglichkeiten, k Elemente aus n Objekten auszuwählen wiederum mit dem Binomiakoeffizienten:
