Pierādījums no pretējā

Question 1

Kas ir pierādījums no pretējā?

Answer 1

Tā ir metode:
kur pieņem ka apgalvojums ir aplams,
un cenšas nonākt līdz pretrunai. (piem, 1 ir pāra skaitlis)

Iegūtā pretruna pierāda:
ka sākotnējais pieņēmums bija aplams,
un tāpēc dotais apgalvojums ir patiess.

Question 2

Kāda ir pierādījuma no pretējā struktūra - Apgalvojumiem?

Answer 2

Apgalvojums: 𝑃
1) Pieņemt, ka ¬P (apgalvojuma noliegums) ir patiess.
2) Loģiski secināt, līdz nonāk pie pretrunas (C∧¬C).
3) Secināt, ka sākotnējais pieņēmums ir aplams, tāpēc apgalvojums P ir patiess. ■

Question 3

Pierādījuma no pretējā struktūra - nosacījuma tipa apgalvojumiem?

Answer 3

Apgalvojums: Ja 𝑃 patiess , tad 𝑄 patiess
1) Pieņemt, ka 𝑃 patiess un ¬𝑄 aplams
2) Loģiski secināt, līdz nonāk pie pretrunas (C∧¬C).
3) Secināt, ka sākotnējais pieņēmums ir aplams, tāpēc apgalvojums P ir patiess. ■

Question 4

Kādos gadījumos var izmantot metodi - Pierādījumu no pretējā

Answer 4

Apgalvojumiem:
* ja P ir pozitīvs, tad Q ir pozitīvs: 𝑄 ⇒ 𝑃
* kas nav nosacījuma formā

Question 5

Pierādījums no pretējā piemērs:

Answer 5

Apgalvojums:
Ja 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ, tad 𝑎^2 − 4𝑏 ≠ 2

Pierādījums:
Pieņemsim, ka šis apgalvojums ir aplams:
𝑎^2 − 4𝑏 = 2
𝑎^2 = 4𝑏 + 2 = 2 (2𝑏 + 1)
Tātad 𝑎^2 ir pāraskaitlis.
Tad arī 𝑎 ir pāra skaitlis.
𝑎 = 2𝑐 Ievietojot šo sākotnējā vienādojumā 𝑎^2 − 4𝑏 = 2
iegūst 4𝑐^2 − 4𝑏 = 2 |:2
2c^2-2b=1
1=2(c^2-b) - tas nozīmē, ka:
1 ir pāra skaitlis,
bet mums zināms, ka 1 nav pāra skaitlis.
Ieguvām pretrunu, tāpēc secinām,
ka sākotnējais pieņēmums (𝑎^2 − 4𝑏 = 2) bija aplams.
Tad tas nozīmē, ka uzd. apgalvojums ir patiess. ■

Question 6

Kāds ir izteikums: 𝐶 ∧ ￢𝐶 ?
(1 ir nepāra) ∧ ￢(1 ir nepāra)

Answer 6

• Vispāraplams
• nekad nav patiess

Question 7

Pierādījums no pretējā - patiesuma tabula:

Answer 7