Kontrapozitivais pieradijums

Question 1

Kas ir kontrapozitīvais pierādījums?

Answer 1

Kontrapozitīvais pierādījums izmanto loģisko ekvivalenci starp
“Ja P, tad Q” ≅ “Ja ne Q, tad ne P”
(P⟹Q) ≅ (¬Q⟹¬P)

Question 2

Kāda ir kontrapozitīvo pierādījumu patiesuma tabula?

Answer 2

Question 3

Kāda ir kontrapozitīvā pierādījuma struktūra?

Answer 3

Dots apgalvojums:
Ja 𝑃, tad 𝑄 (𝑃 ⇒ 𝑄)
Pierādījums:
1) Pieņem, ka ¬Q ir patiess
2) Pamato, ka ¬P ir patiess
3) Secina, ka ¬𝑄 ⇒ ¬𝑃 ir patiess
4) Tad arī 𝑃 ⇒ 𝑄 ir patiess ■

Question 4

Kāda ir kontrapozitīvā pierādījuma piemērs?

Answer 4

Dots pgalvojums:
Dots, ka 𝑥 ∈ ℤ. Ja 7𝑥 + 9 ir pāra, tad 𝑥 ir nepāra.
Pierādījums:
1) Pieņemsim, ka 𝑥 nav nepāra skaitlis: ¬(𝑥 ir nepāra)
2) Tātad 𝑥 ir pāra jeb 𝑥 = 2𝑎 kādam 𝑎 ∈ ℤ.
3) Tādā gadījumā 7𝑥 + 9 = 7(2𝑎) + 9 =
= 14𝑎 + 8 + 1 =
= 2(7𝑎 + 4) + 1
4) Tātad 7𝑥 + 9 = 2𝑏 + 1, kur 𝑏 ir vesels skaitlis 7𝑎 + 4.
5) Secinām, ka 7𝑥 + 9 ir nepāra skaitlis jeb tas nav pāra skaitlis: ¬(7𝑥 + 9 ir pāra)
6) (¬(𝑥 ir nepāra)⟹¬(7𝑥 + 9 ir pāra)) ≅ ((7𝑥 + 9 ir pāra)⟹(𝑥 ir nepāra)) ■

Question 5

Kā darbojas de Morgana likumi negācijām?

Answer 5

1) ¬(P ∧ Q) ≅ ¬P ∨ ¬Q

nav tiesa, ka abi (no 𝑃 un 𝑄 ir patiesi).
Ja (abi reizē no 𝑃 un 𝑄) nav patiesi, tad vismaz viens no 𝑃 vai 𝑄 ir aplams,
tādā gadījumā izteiksme (¬𝑃 ∨ ¬𝑄) ir patiesa.

2) ¬(P ∨ Q) ≅ ¬P ∧ ¬Q

Tāpēc ¬(𝑃 ∧ 𝑄) nozīmē to pašu, ko ¬ 𝑃 ∨ ¬ 𝑄.

Question 6

Kas ir Tiešais pierādījums?

Answer 6

Tiešais pierādījums pieņem, ka sākotnējais nosacījums P ir patiess, un pamato, ka arī secinājums Q ir patiess.

Question 7

Kas ir Kontrapozitīvais pierādījums?

Answer 7

Kontrapozitīvais pierādījums pieņem, ka secinājums Q nav patiess un pamato, ka arī sākotnējais nosacījums P nav patiess.
Kas ir loģiski ekvivalents: ja patiess nosacījums P, tad patiess secinājums Q