Eksistences pierādījums

Question 1

Kāda ir pierādījuma struktūra, ja jāpierāda teorēmas formā
∃𝑥, 𝑅(𝑥) ?
(Eksitences pierādījums)

Answer 1

• tiek apgalvots, ka pastāv specifisks objekts 𝑥, kuram predikāts 𝑅(𝑥) ir patiess.
• lai pierādītu, ka apgalvojums formā ∃𝑥, 𝑅(𝑥) ir patiess,
  pietiek ar to, ka mēs parādām piemēru specifiskam 𝑥, kuram 𝑅(𝑥) ir patiess.
• Dažos gadījumos ir diezgan vienkārši atrast piemēru,
  dažreiz tas ir pat neiespējami, kaut arī izteikums ir patiess.

Question 2

Eksitences pierādījuma 1. piemērs:

Answer 2

Dots apgalvojums:
Eksistē tāds skaitlis, kura kvadrāts nav lielāks kā pats skaitlis.

Pierādījums:
Piemēram, skaitlis 0, jo 0^2 ≯ 0.
(Piemērs apstiprina, ka eksistē dotais apgalvojums) ■

Question 3

Kā pierādīt nosacījuma tipa izteikumu,
kura sastāvā parādās eksistences izteikums?

Answer 3

1) vispirms ar tiešo pierādījumu,
2) un tad jāpierāda eksistenciālais izteikums. ■

Question 4

Nosacījuma tipa izteikums ar eksistences izteikumu - piemērs:

Answer 4

Piem.:
* Jebkuru pirmskaitli, kas lielāks nekā 2, var izteikt kā divu N skaitļu kvadrātu
starpību
* Jeb: ∀𝑝 ∈ ℙ ⟹ ∃𝑚, 𝑛 ∈ ℕ, 𝑚2 − 𝑛2 = 𝑝
1) pieņem, ka 𝑝 = pirmskaitlis un 𝑝 > 2
2) jāpierāda eksistenciālais izteikums:
∃𝑚, 𝑛 ∈ ℕ, 𝑚2 − 𝑛2 = 𝑝
* Tātad būtu jāparāda tādi 𝑚, 𝑛 ∈ ℕ ,
lai izpildītos: 𝑚2 − 𝑛2 = 𝑝 ■

Question 5

Kas ir Unitāte?

Answer 5

Eksistences izteikums,
kas apgalvo, ka eksistē (unikāls) viens vienīgs x (objekts) …

Question 6

Kā matemātiski pieraksta unitāti?

Answer 6

∃!𝑥, 𝑃(𝑥)

pievienojot izsaukuma zīmi eksistences kvantoram, norāda, ka ir runa
par unikālu piemēru.

Question 7

Ka pierādīt Unitāti?

Answer 7

1) vispirms jāatrod piemērs (𝑥) būtu patiess,
2) un jāparāda, ka citu piemēru nav.

Question 8

Kādās kategorijās iedalās Eksistences pierādījumi?

Answer 8

• konstruktīvi pierādījumi
• nekonstruktīvi pierādījumi

Question 9

Kas ir Konstruktīvie eksistences pierādījumi?

Answer 9

parāda konkrētu piemēru, kas pierāda teorēmu,

Question 10

Kas ir Nekonstruktīvie eksistences pierādījumi?

Answer 10

teorēma tiek pamatota ar to, ka piemērs eksistē, neparādot šo piemēru.

Question 11

Nekonstruktīvie eksistences pierādījuma piemērs:

Answer 11

Piem.: Eksistē iracionāli skaitļi 𝑥 un 𝑦, lai 𝑥𝑦 būtu racionāls
1) apskata iespējamos gadījumus:
ja sqrt(2)^sqrt(2) - iracionāls sk.,
tad 𝑥 = sqrt(2)^sqrt(2) un 𝑦 = sqrt(2) un
𝑥^𝑦 = (sqrt(2)^sqrt(2))^sqrt(2)=
=sqrt(2)^(sqrt(2)*sqrt(2))=
=sqrt(2)^2=
=2 - kas ir racionāls sk.
2) Iracionālu sk., kāpinajām iracionālā pakāpe, un ieguvām racionālu rezultātu ■