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Se um plano é dado por ax + by + cz + d = 0, qual será um vetor ortogonal a esse?
(a, b, c)
Se dois planos são pareleos, como são seus gradientes?
paralelos u = k*v
Se dois planos são ortogonais, como são seus gradientes?
ortogonais, produto interno igual a zero
Como encontrar a equação de umplano que contém um ponto e é perpedincular a dois planos
1) fazer o produto interno de um vetor (a,b, c) com os vetores gradientes dos planos e igualar a zero
2) resolver o sitema em função de um parâmetro
3) substituir o valor dos parâmetros no formato de ax + by + cz = d
4) susbtituir o valor dos pontos para obter o valor de D
5) Normalizar o valo de um dos parâmetros
Como encontrar o ângulo entre dois planos?
1) calcular o vetor gradiente desses
2) igualar o produto interno desses planos pela multiplicação da norma desses e o cosseno
3) obter o valor do cosseno e em seguida do ângulo
Como encontrar a distância entre um ponto e um plano?
1) Chutar um vetor no plano
2) Subtrair os vetores
3) fazer o produto interno entre o vetor formado pela subtração e o gradiente do plano
4) Igulara a multiplicação das normas e cosseno ao produto interno, onde o vetor subtraído* cosseno é a distância)
5) encontrar o valor da distância
Como encontrar a equaçã da reta que passa no ponto P (x0, y0, z0) com a direção de um vetor
1) Definir c*V = Q ´- P
Q - ponto qualquer(x, y, z)
Como são as equações simétricas da reta?
(x-x0)/Vx = (y-y0)/Vy = (z-z0)/Vz
Como encontrar a queação simétrica da reta que passa por por 2 pontos P e Q
X-Q = c * (Q - P)
X - (x, y, z)
Como encontrar as derivadas direcionais em gama?
1) f’γ = fxcosγ + fysenγ
2) f’γ = < (fx, fy) (cosγ, senγ) >
3) f’γ = < gradiente de f, vetor unitário >
Uma reta L, com vetor direção v, é paralela ao plano P, com vetor normal n, se, e somente se, o produto vetorial v e n é zero
Falso, no caso os vetores são perpendiculare e portanto não paralelos
Uma reta L, com vetor direção v, é perperndicular ao plano P, com vetor normal n, se, e somente se, o produto de v e n é zero
Falso, como a reta L é perpendicular ao plano, o vetor v é paralelo ao vetor normal n. Logo o produto interno é não nulo
Apresente a formula do plano tangente a superfície
z = z0 + fx*(x-x0) +fy*(y-y0) z = f(x,y)
O que é o vetor normal?
Vetor ortogonal
Apresente a formula de distância de dois pontos
d(P0, P1) = [(x-x0)² + (y-y0)² + (z-z0)²] ^ (1/2)
Apresente a formula de distancia de um plano e um ponto
(|ax0 + by0 + cz0 - d|) / |n|
|n| norma do gradiente do plano
O produto vetorial entre dois vetores linerarmente indepenendentes de um plano gera um vetor ortogonal a estes vetores, e portanto ao plano.
Verdadeiro, essa é a dfinição de um vetor normal ao plano
Como escrever a equação da reta em formato vetorial?
P = P0 + t*v
v - direção da reta
Quando a taxa de variação de uma função é máxima?
Quando sua derivada direcional tem a direção do seu gradiente
O que é a curva de nível um de g(x,y)
1 = g(x, y)
reta definida por 𝑥(𝑡)=𝑡𝑣 e o plano 𝑥⃗(𝑠,𝑡) = 𝑠𝑣 + 𝑡𝑤 nunca se encontram
Falso, ambas passam pela origem
Como montar um plano a partir de duas retas?
1) Encontrar o vetor direção dessas retas
2) criar as retas p(s) = v1 e q(t) = v2
3) o plano = αp(s) + βq(t) = αv1s + βv2*t
Como saber se duas retas apresentam ponto em comum?
1) Pegar as retas e igualar as duas
2) após isso isolar as partes do ponto e da direção
3) encontrar os valores de s e t e ver se é possível resolver o sistema
Como calcular o vetor que passa por dois pontos?
P - Q
Oque é um vetor unitário?
Apresenta norma igual a 1
Apresenta o plano paralelo a 6x + 2y + 3z + 20 = 0
6x + 2y + 3z + k = 0
Se uma reta P é perpendicular ao plano Q, como são seus vetores direção?
Paralelos
Como calcular o produto vetorial de V e W
V X W = N * |V| * |W| * sen θ
Sendo N um vetor normal ao plano definido por V e W
|| u - v || = ?
||u|| ² - 2(uv) + ||v|| ²
Se o grandiente de f no poto x é diferente de zero, o vetor gradiente de x indica a direção de maior crescimento da f a partir do ponto x
Falso
Se z(t) = (z1(t), z2(t)) a função de classe c1 e f(z(t)) = c, então todos os vetores do gradiente de f em z(t) e (z1’(t) , z2’(t) são ortogonais entre si
Verdadeiro
Quais são as propriedades de produto interno?
1) < v , w > = < w , v>
2) < v + z, w > = < v, w> + < z, w >
3) < a*v , w > = a * < v , w >
4) < v, v > maior ou igual a zero
Se W1 e W2 são espaços vetoriais, W1 ∩ W2 é espaço vetorial
Verdadeiro
Se W1 e W2 são espaços vetoriais, W1 ∪ W2 é espaço vetorial
Falso, não necessariamente
