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Matemática > Algebra Linear > Flashcards

Algebra Linear Flashcards

1
Q

O que é uma matriz quadrada?

A

possui o mesmo número de colunas e linhas

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Q

O que é uma matriz identidade?

A

1 0

0 1

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3
Q

O que é uma matriz simétrica?

A

Os valores de aij são iguais aos de aji

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4
Q

O que é uma matriz diagonal?

A

valores de aij = 0

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5
Q

O que é uma matriz triangular superior?

A

aij = 0 p/ i > j

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6
Q

Como encontrar uma matriz transposta?

A

O que é linha vira coluna, o que era coluna vira linha?

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7
Q

Qual a ´propriedade de uma matriz simétrica

A

Ela é igual a sua transposta

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8
Q

O que é uma matriz nula?

A

todos os valore são zero

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9
Q

O que é uma matriz inversa?

A

Aquela que multiplicada pela sua original dá a origem

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10
Q

Como encontrar a matriz inversa?

A

A^(-1) = (AdjA)/detA

AdjA = (cofA)^t

cofA = uma matriz onde caa elemento é dado por (-1)^(i+j)*det(da matriz sem as linhas i e j)

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11
Q

Como encontrar a matriz inversa de uma 2x2?

A

d/det -b/det

-c/det a/det

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12
Q

Se uma matriz não tem inversa, qual o valor do seu determinante?

A

igual a zero

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13
Q

O que é uma matriz idempotente?

A

A*A = A

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14
Q

O que é uma matriz singular?

A

Não tem inversa

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15
Q

Se a matriz é singular, seu determinante é igual a zero

A

Verdadeiro

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16
Q

O que é uma matriz nilpontente de classe 3?

A

AAA = 0

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17
Q

Se A uma matriz nilpontente de classe 3 então A*A= 0?

A

Falso

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18
Q

Se A uma matriz nilpontente de classe 3 então AAA*A= 0?

A

Verdadeiro

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19
Q

O que acontece com o determinante quando se troca duas linhas ou colunas de lugar?

A

o determinante troca de sinal

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20
Q

det A = det A^t

A

Verdadeiro

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21
Q

Qual o valor do determinante quando duas linhas ou colunas são iguais?

A

igual a 0

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22
Q

Qual o valor do determinante quando duas linhas ou colunas são multiplas uma da outra?

A

Igual a 0

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23
Q

Qual o valor do determinante quando uma linha é nula?

A

Igual a 0

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24
Q

O que ocorre com o determinante quando multiplica-se uma linha por um valor α

A

O determinante é multiplicado por α

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25
Q

O que ocorre com o determinante quando multiplica-se uma matriz de ordem n por um valor α

A

O determinante é multiplicado por α^n

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26
Q

O que afirma o teorema de Binet?

A

det(A*B) = det A * det B

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27
Q

O que é o posto de uma matriz?

A

Quantas liunhas não nulas restam após o processo de escalonamento da matriz

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28
Q

O que ocorre se o posto de uma matriz for igual ao posto das icógnitas e ao posto de soluções?

A

O sistema de equações é possível e determinado com uma única solução

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29
Q

O que ocorre se o posto de uma matriz for inferior ao posto das icógnitas mas igual ao posto de soluções?

A

Sistema possível mas indeterminado

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30
Q

O que ocorre se o posto de uma matriz for inferior ao posto das icógnitas e diferente do posto de soluções?

A

Não existe solução

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31
Q

O que é um sistema homogêneo

A

Aquele que o valor dos resultados são todos iguais a zero

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32
Q

Em um sistema homogêneo, se o posto de uma matriz for igual ao posto das icógnitas e ao posto de soluções oque ocorre?

A

A única solução é o vator de zeros

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33
Q

Em um sistema homogêneo, se o posto de uma matriz for inferior ao posto das icógnitas mas igual ao posto de soluções oque ocorre?

A

Infiniitas soluções, incluindo (0,0)

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34
Q

O sistema homogêneo sempre apresente solução

A

Verdadeiro

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35
Q

Como resolver um sistema pelo método de Cramer?

A

x = (det da matriz A)/(det da matriz A susbstituindo a coluna de x pela coluna de resultados)

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36
Q

Se (XA)^t = B, qual o valor de X?

A

X = B^t *A^(-1)

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37
Q

Se (XA)^(-1) = B, qual o valor de X?

A

X = (AB)^(-1)

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38
Q

A^(-1)B^(-1) = (AB)^(-1)

A

Falso, é igual a (AB)^(-1)

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39
Q

Se A(XA^(-1))^t = B, qual o valor de X?

A

X = [A^(-1)*B]^t * A

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40
Q

Se [A(XB)^t]^(-1) = B, qual o valor de X?

A

X = [A^(-1)*B^(-1)]^t * B^(-1)

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41
Q

Se AX = BX + A, qual o valor de X?

A

X = (A-B)^(-1) * A

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42
Q

Qual o valor do determinante quando uma matriz é trinagular superior?

A

Produto ods valores da diagonal principal

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43
Q

det (A^(-1) = 1/det(A)

A

Verdadeiro

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44
Q

A multiplicação da matriz A pela sua matriz transposta sempre vai dar uma matriz quadrada simétrica

A

Verdadeiro

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45
Q

O que é o traço de uma matriz?

A

soma dos valores da diagonal prinicipal

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46
Q

tr(A+B) = ?

A

tr(A) + tr(B)

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47
Q

tr(A*B) = ?

A

tr(B*A)

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48
Q

O que é a propriedade circular do traço?

A

tr(ABC) = tr (CAB) = tr(BCA)

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49
Q

tr(A*A^t) = ?

A

∑aij²

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50
Q

Se uma amtriz é idempotente, quais são os possíveis valores do seu determinante?

A

0 ou 1

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51
Q

Como se calcula o produto interno de dois vetores?

v = (1, 2) w = (3,4)

A

= 13 +24 = 11

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52
Q

Como se calcula a norma de um vetor?

v = (1,2)

A

Ou ||v|| = (1² + 2²)^(1/2) = 5^1/2

Ou ^(1/2)

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53
Q

Como encontrar o produto interno de dois vetores a partir de suas normas?

A

= ||v||||w||cosθ

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54
Q

Como encontrar a distância entre dois pontos de modo vetorial?

A

d = ||A - B||

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55
Q

O que afirma a desiguladade de Cauchy-Schwarz?

A

< vw> ≤ ||v||||w||

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56
Q

O que afirma a desiguladade triangular?

A

||v + w || ≤ ||v||+||w||

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57
Q

Como é calculado o coreficinte de Fourier?

A

α = < y * x > /

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58
Q

Como encontra a eq da reta que passa por um ponto e é paralela a outro vetor?

A

1) (X - P) = αv
2) deposi de substituir os valores chegará a um sistema de equações
3) basta resolver o sistema com o objetivo de achar x e y

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59
Q

Se v e w ∈ V, então v + w ∈ V

A

Verdadeiro

60
Q

Se v e w ∈ V, então < v * w > ∈ V

A

Falso, apenas se V é um espaço euclidiano

61
Q

Como fazer para determinar se um vetor forma um sub-espaço vetorial?

A

1) fazer v1 + v2 e verificar s efica no mesm formato de v

2) fazer αv1 e verificar s efica no mesm formato de v

62
Q

Retas formam sub-espaço vetorial apenas se passarem pela origem

A

Verdadeiro

63
Q

O vetor {(1,1), (0,1), (1,0)} é capaz de gerar R2

A

Verdadeiro

64
Q

O vetor {(0,1), (0,2)} é capaz de gerar R2

A

Falso

65
Q

O que é a base de um espaço vetorial?

A

O menor conjunto capz de gerar o espaço vetorial

66
Q

Um espaço vetorial tem apenas uma base

A

Falso, infinitas bases

67
Q

Vetores Linearmente dependentes podem ser base para um espaço vetorial?

A

Não

68
Q

Quaisquer duas bases de V tem o mesmo número de vetores

A

Verdadeiro

69
Q

Qualquer conjunto LI pode ser parte de uma base

A

Verdadeiro

70
Q

Como fazer para encontrar a base de um espaço vetorial?

A

1) Escalonar a matriz

2) Os vetores não nulos resultantes são uma base desde que sejam linearmente independentes

71
Q

O que é a dimensão de espaço vetorial?

A

Quantos vetores tem na sua base

72
Q

Como observar se vetores são Linearmente independnentes

A

1) multiplicar por um parâmetro cada um deles e igualar a zero, após isso resolver o sistema, caso os dois parâmetros apresentem valor zero então será LI
OU
2) Colocar os vetores em uma matriz e fazer o escalonamento, caso não apresente linhas nulas, será LI
OU
3) colocar os vetores em uma matriz e calcular o determinante. Caso seja diferente de zero, será LI

73
Q

Como podemos calcular a dimensão do espaço U+W?

A

Dim (U+W) = Dim (U) + Dim (W) + Dim (U∩W)

74
Q

Para encontrar uma base para U+W, ´podemos escalonar a matriz dada pelas bases de U e W

A

Verdadeiro

75
Q

Como realizar a mudança de base de um vetor?

A

velha base * velho vetor = nova base*novo vetor

76
Q

Como testar para saber se é uma transformação linear?

A

T(v+w) = T(v) + T(w) e T(αv) = αT(v)

77
Q

T(x) = Ax + B é uma tranformação linear

A

Falso

78
Q

Qual é a dimensão do domínio no caso de uma transformação linear?

A

Número de colunas

79
Q

Qual é a dimensão do contra-domínio no caso de uma transformação linear?

A

Número de linhas

80
Q

O que é o núcleo de uma transformação linear?

A

Conjunto de vetores que ligam ao vetor nulo no Contra-domínio

81
Q

Como é calculada a dimensão do núcleo em uma transformação linear?

A

Dim do domínio - posto da matriz

82
Q

O que significa a nulidade em uma transformação linear?

A

Dimensão do núcleo

83
Q

Como encontrar os Autovalores?

A

Encontrar os valores de λ para que det |A - λI | = 0

84
Q

Como encontrar os Autovetores?

A

Após encontrar os auto valores, basta resolver o sistema homgêneo substituindo cada um dos λ

85
Q

Como são os autovalores quando a matriz é simétrica?

A

Os λ são reais e sempre geram autovetores ortogonais

86
Q

Como são os autovalores quando a matriz é diagonal?

A

Iguais aos elementos da diagonal

87
Q

Quando a matriz é simétrica, mas os λ são iguais, como será os autovetores?

A

Ortogonais

88
Q

Quando a matriz não é simétrica mas os λ são diferentes, como serão os autovetores?

A

Lineramente independnetes

89
Q

O que é um autoepaço

A

Um espaço vetorial gerado pelo autovetor

90
Q

O que é a multiplicaidade algébrica?

A

A quantidade de autovalores

91
Q

O que é multiplicade geométrica?

A

Quantidade de autovetores que podemos escrever como (X,a,b) + (a, Y,b) +(a, b, Z) para cada autovetor

92
Q

Qual é o polinômio característico da transformação linear?

A

|A - λI |

93
Q

Qual é a equação caracterísitica da transformação linear?

A

|A - λI | = 0

94
Q

No caso de uma matriz 2x2, qual será sua equação característica?

A

λ² - (tr A)*λ + |A| = 0

95
Q

O somatório dos autovalores é igual a…

A

Ao traço da matriz

96
Q

O produtório dos autovalores é igual a…

A

Determinante da matriz A

97
Q

Para que seja uma transformação linear injetora, o que é necessário?

A

O núcleo deve ser o vetor 0

98
Q

Para que seja uma transformação linear sobrejetora, o que é necessário?

A

Dimensão do contra-domínio = posto da matriz

Ademais, os vetores coluna da Matriz L devem gerar uma base

99
Q

O que é um operador linear?

A

Transformaçõa de um espaço que cai no mesmo espaço

100
Q

O que é um operador linear autoadjunto?

A

A matriz é simétrica

101
Q

O que é um operador linear ortogonal?

A

A matriz é ortogonal

102
Q

O que significa a matriz ser ortogonal?

A

A^t = A^(-1)
Ou
A * A’ = I

103
Q

Como normalizar os autovetores?

A

Chuta um valor para o autovetor, calcula a norma desse e divide todos pela norma

104
Q

Caso o S = (X, Y, X + Y) seja um subespcaçõ vetorial de R³, então a dimensão desse subespaço é 2.

A

Verdadeiro, o ultimo elemento é uma combinação linear dos outros dois

105
Q

Se u, v e w são linearmente indepentendentes, então u+v, v + w, u+w são linearmente independentes

A

Verdadeiro

106
Q

Como saber se uma matriz é diagonalizável?

A

Escrever o polinômio característico, encontrar os valores de λ, para que seja diagonalizável, é necessário ou que seja simétrica ou que apresente autovalores distintos ou apresente n autovetores linearmente independentes

107
Q

Se o vetor de soluções pode ser escrito como uma combinação linear das colunas da matriz A, então o sistema admite solução

A

Verdadeiro

108
Q

Se A é uma matriz quadrada, então M = A + A^(t), então M é uma matriz simétrica

A

Verdadeiro

109
Q

Se u e v são vetores de solução de Ax = b, então u+v também será solução

A

Falso
Au = b, Av = b
A(u+v)= Au + Av = 2b

110
Q

Se todos os elementos da diagonal principal de A são nulos, o seu determinante é nulo

A

Falso

111
Q

Se B={v1, …, vm} em Rn, então se m>n os vetores são linearmente dependentes

A

Verdadeiro

112
Q

Se B={v1, …, vm} em Rn, então se m

A

Falso

113
Q

Se B={v1, …, vm} em Rn, então se m=n então a matriz cujas colunas são elementos de B, é não singular

A

Falso

114
Q

Se B={v1, …, vm} em Rn, Se todos os vetores de B forem linearmente independentes, então o núcleo da matriz, cujas coluunas são os elementos de B é um subespaço nulo

A

Verdadeiro

115
Q

Se B={v1, …, vm} em Rn, Se todos os vetores de B forem linearmente independentes, então o posto da matriz, cujas coluunas são os elementos de B é “m”

A

Verdadeiro

116
Q

Seja V um espaço vetorial de dimensão n, com n inteiro positivo. Então, um conjunto de n+1 vetores é mais doque suficiente para gerar todo o subespaço V

A

Falso, é necessário que sejam linearmente independentes

117
Q

Se uma matriz apresenta autovalores iguais, ela não é diagonalizável

A

Falso, depende da quantidade de autovetores que ela gera

118
Q

Como determinar se dois vetores são ortogonais?

A

O produto interno desses é igual a zero

119
Q

Se A tiver posto máximo, então o sistema apresenta solução única

A

Falso

120
Q

Se o vetor b for combinação linear das colunas da matriz A, então o sistema tem pelo menos uma solução

A

Verdadeiro

121
Q

O determinante de uma matriz nilpotente é sempre igual a zero

A

Verdadeiro

122
Q

Se M é nilpotente de grau R, então: (I - M)^(-1) = ( I + M + … + M^R)

A

Verdadeiro

123
Q

A matriz M é idempotente se e somente se (I - M) também for idempotente

A

Verdadeiro

124
Q

Se uma transformação linear de Rn em Rn é injetora, então ela também será sobrejetora

A

Verdadeiro

125
Q

Seja uma transformação linear de Rn em Rm tal que os vetores das colunas são lineramente independentes, então o posto da matriz será m

A

Falso

126
Q

Seja uma transformação linear de Rn em Rm tal que os vetores das colunas são lineramente independentes, podemos afirmar que existe um vetor tal que Tv = 0, com v diferente do vetor nulo

A

Falso, pensar no operador de identidade

127
Q

Sejam T: Rn em Rn e G: Rn em Rn, duas transformações lineares. Então todo autovalor de GT será de TG, em que GT e TG são são as duas compostas de T e G

A

Verdadeiro

128
Q

Se T é um operador linear auto adjunto, então T(x) * y = T(y) * x

A

Verdadeiro

129
Q

Se T: R³ em R³, então o p0olinômio caracterísitico é de grau 2

A

Falso, contra exemplo T = (x, y, z)

130
Q

Se os vetores v1, v2, v3 geram V e se T: V -> V é um operador linear, então a imagem de T é gerada por T(v1), T(v2), T(v3)

A

Verdadeiro

131
Q

Se T: V-> Vé um operador linear autoadjunto, então seus autovetores associados são ortogonais

A

Verdadeiro

132
Q

é possível encontrar 4 vetores em R³, diferentes do vetor nulo e que sejam ortogonais entre si

A

Falso, a dimensão é 3

133
Q

Se uma matriz 2 X 2 possui determinante igual a um e traço igual a zero, então seus autovalores são números complexos conjugados.

A

Verdadeiro

134
Q

Transformações lineares dadas por matrizes ortogonais preservam a norma de vetores, mas não necessariamente ângulos entre vetores

A

Falso, preservam a norma e o ângulo

135
Q

Se uma matriz é simétrica e não singular, então autovetores associados a autovalores distintos são colineares

A

Falso, os autovetores de uma matriz simétrica são sempre ortogonais

136
Q

O que é uma matriz antissimétrica?

A

A = -A’

137
Q

Qual é matriz que seja idempotente, simétrica e não singular

A

Apenas a Identidade

138
Q

Oque é o teorema Espectral da matriz?

A

A matriz A pode ser escrita como
CΛC’
Onde Λ é uma matriz diagonal, com os autovalores na diagonal principal
C é a matriz coluna dos autovetores normalizados

139
Q

Seja A uma matriz n×n que tem n autovalores reais diferentes. Se todos os autovalores
de A são menores do que 1 (em módulo) então At -> 0 com t -> ∞

A

Verdadeiro
CΛC’
C0C’
0

140
Q

Se uma matriz simétrica nxn A é idempotente, v’Av ≥ 0.

A

Verdadeiro

141
Q

Se uma matriz nxn A é idempotente, então tr(A) ≥ n.

A

Falso, pensar na matriz nula

142
Q

Como encontrar a imagem de uma transformação linear?

A

Igualar o sistema a d1, d2 e d3 e tentar escrever um desses em função dos outros

143
Q

Como saber se um determinado vetor é normal à imagem de uma transformação linear?

A

A partir do vetor da imagem, fazer o produto interno com o vetor, se esse for igual a zero, é um vetor normal

144
Q

O que é uma matriz de rotação?

A

O operador linear atribuido a ela é ortogonal

145
Q

O que é necessário para verificar se um operador é ortogonal?

A

|| Tv || = || v ||

146
Q

Oque é uma matriz Jacobiana?

A 
dF1/dx1  ... dF1/dxn
.
.
.
dFn/dxn  ... dFn/xn

Matemática (8 decks)

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