Algebra Linear Flashcards
O que é uma matriz quadrada?
possui o mesmo número de colunas e linhas
O que é uma matriz identidade?
1 0
0 1
O que é uma matriz simétrica?
Os valores de aij são iguais aos de aji
O que é uma matriz diagonal?
valores de aij = 0
O que é uma matriz triangular superior?
aij = 0 p/ i > j
Como encontrar uma matriz transposta?
O que é linha vira coluna, o que era coluna vira linha?
Qual a ´propriedade de uma matriz simétrica
Ela é igual a sua transposta
O que é uma matriz nula?
todos os valore são zero
O que é uma matriz inversa?
Aquela que multiplicada pela sua original dá a origem
Como encontrar a matriz inversa?
A^(-1) = (AdjA)/detA
AdjA = (cofA)^t
cofA = uma matriz onde caa elemento é dado por (-1)^(i+j)*det(da matriz sem as linhas i e j)
Como encontrar a matriz inversa de uma 2x2?
d/det -b/det
-c/det a/det
Se uma matriz não tem inversa, qual o valor do seu determinante?
igual a zero
O que é uma matriz idempotente?
A*A = A
O que é uma matriz singular?
Não tem inversa
Se a matriz é singular, seu determinante é igual a zero
Verdadeiro
O que é uma matriz nilpontente de classe 3?
AAA = 0
Se A uma matriz nilpontente de classe 3 então A*A= 0?
Falso
Se A uma matriz nilpontente de classe 3 então AAA*A= 0?
Verdadeiro
O que acontece com o determinante quando se troca duas linhas ou colunas de lugar?
o determinante troca de sinal
det A = det A^t
Verdadeiro
Qual o valor do determinante quando duas linhas ou colunas são iguais?
igual a 0
Qual o valor do determinante quando duas linhas ou colunas são multiplas uma da outra?
Igual a 0
Qual o valor do determinante quando uma linha é nula?
Igual a 0
O que ocorre com o determinante quando multiplica-se uma linha por um valor α
O determinante é multiplicado por α
O que ocorre com o determinante quando multiplica-se uma matriz de ordem n por um valor α
O determinante é multiplicado por α^n
O que afirma o teorema de Binet?
det(A*B) = det A * det B
O que é o posto de uma matriz?
Quantas liunhas não nulas restam após o processo de escalonamento da matriz
O que ocorre se o posto de uma matriz for igual ao posto das icógnitas e ao posto de soluções?
O sistema de equações é possível e determinado com uma única solução
O que ocorre se o posto de uma matriz for inferior ao posto das icógnitas mas igual ao posto de soluções?
Sistema possível mas indeterminado
O que ocorre se o posto de uma matriz for inferior ao posto das icógnitas e diferente do posto de soluções?
Não existe solução
O que é um sistema homogêneo
Aquele que o valor dos resultados são todos iguais a zero
Em um sistema homogêneo, se o posto de uma matriz for igual ao posto das icógnitas e ao posto de soluções oque ocorre?
A única solução é o vator de zeros
Em um sistema homogêneo, se o posto de uma matriz for inferior ao posto das icógnitas mas igual ao posto de soluções oque ocorre?
Infiniitas soluções, incluindo (0,0)
O sistema homogêneo sempre apresente solução
Verdadeiro
Como resolver um sistema pelo método de Cramer?
x = (det da matriz A)/(det da matriz A susbstituindo a coluna de x pela coluna de resultados)
Se (XA)^t = B, qual o valor de X?
X = B^t *A^(-1)
Se (XA)^(-1) = B, qual o valor de X?
X = (AB)^(-1)
A^(-1)B^(-1) = (AB)^(-1)
Falso, é igual a (AB)^(-1)
Se A(XA^(-1))^t = B, qual o valor de X?
X = [A^(-1)*B]^t * A
Se [A(XB)^t]^(-1) = B, qual o valor de X?
X = [A^(-1)*B^(-1)]^t * B^(-1)
Se AX = BX + A, qual o valor de X?
X = (A-B)^(-1) * A
Qual o valor do determinante quando uma matriz é trinagular superior?
Produto ods valores da diagonal principal
det (A^(-1) = 1/det(A)
Verdadeiro
A multiplicação da matriz A pela sua matriz transposta sempre vai dar uma matriz quadrada simétrica
Verdadeiro
O que é o traço de uma matriz?
soma dos valores da diagonal prinicipal
tr(A+B) = ?
tr(A) + tr(B)
tr(A*B) = ?
tr(B*A)
O que é a propriedade circular do traço?
tr(ABC) = tr (CAB) = tr(BCA)
tr(A*A^t) = ?
∑aij²
Se uma amtriz é idempotente, quais são os possíveis valores do seu determinante?
0 ou 1
Como se calcula o produto interno de dois vetores?
v = (1, 2) w = (3,4)
= 13 +24 = 11
Como se calcula a norma de um vetor?
v = (1,2)
Ou ||v|| = (1² + 2²)^(1/2) = 5^1/2
Ou ^(1/2)
Como encontrar o produto interno de dois vetores a partir de suas normas?
= ||v||||w||cosθ
Como encontrar a distância entre dois pontos de modo vetorial?
d = ||A - B||
O que afirma a desiguladade de Cauchy-Schwarz?
< vw> ≤ ||v||||w||
O que afirma a desiguladade triangular?
||v + w || ≤ ||v||+||w||
Como é calculado o coreficinte de Fourier?
α = < y * x > /
Como encontra a eq da reta que passa por um ponto e é paralela a outro vetor?
1) (X - P) = αv
2) deposi de substituir os valores chegará a um sistema de equações
3) basta resolver o sistema com o objetivo de achar x e y
Se v e w ∈ V, então v + w ∈ V
Verdadeiro
Se v e w ∈ V, então < v * w > ∈ V
Falso, apenas se V é um espaço euclidiano
Como fazer para determinar se um vetor forma um sub-espaço vetorial?
1) fazer v1 + v2 e verificar s efica no mesm formato de v
2) fazer αv1 e verificar s efica no mesm formato de v
Retas formam sub-espaço vetorial apenas se passarem pela origem
Verdadeiro
O vetor {(1,1), (0,1), (1,0)} é capaz de gerar R2
Verdadeiro
O vetor {(0,1), (0,2)} é capaz de gerar R2
Falso
O que é a base de um espaço vetorial?
O menor conjunto capz de gerar o espaço vetorial
Um espaço vetorial tem apenas uma base
Falso, infinitas bases
Vetores Linearmente dependentes podem ser base para um espaço vetorial?
Não
Quaisquer duas bases de V tem o mesmo número de vetores
Verdadeiro
Qualquer conjunto LI pode ser parte de uma base
Verdadeiro
Como fazer para encontrar a base de um espaço vetorial?
1) Escalonar a matriz
2) Os vetores não nulos resultantes são uma base desde que sejam linearmente independentes
O que é a dimensão de espaço vetorial?
Quantos vetores tem na sua base
Como observar se vetores são Linearmente independnentes
1) multiplicar por um parâmetro cada um deles e igualar a zero, após isso resolver o sistema, caso os dois parâmetros apresentem valor zero então será LI
OU
2) Colocar os vetores em uma matriz e fazer o escalonamento, caso não apresente linhas nulas, será LI
OU
3) colocar os vetores em uma matriz e calcular o determinante. Caso seja diferente de zero, será LI
Como podemos calcular a dimensão do espaço U+W?
Dim (U+W) = Dim (U) + Dim (W) + Dim (U∩W)
Para encontrar uma base para U+W, ´podemos escalonar a matriz dada pelas bases de U e W
Verdadeiro
Como realizar a mudança de base de um vetor?
velha base * velho vetor = nova base*novo vetor
Como testar para saber se é uma transformação linear?
T(v+w) = T(v) + T(w) e T(αv) = αT(v)
T(x) = Ax + B é uma tranformação linear
Falso
Qual é a dimensão do domínio no caso de uma transformação linear?
Número de colunas
Qual é a dimensão do contra-domínio no caso de uma transformação linear?
Número de linhas
O que é o núcleo de uma transformação linear?
Conjunto de vetores que ligam ao vetor nulo no Contra-domínio
Como é calculada a dimensão do núcleo em uma transformação linear?
Dim do domínio - posto da matriz
O que significa a nulidade em uma transformação linear?
Dimensão do núcleo
Como encontrar os Autovalores?
Encontrar os valores de λ para que det |A - λI | = 0
Como encontrar os Autovetores?
Após encontrar os auto valores, basta resolver o sistema homgêneo substituindo cada um dos λ
Como são os autovalores quando a matriz é simétrica?
Os λ são reais e sempre geram autovetores ortogonais
Como são os autovalores quando a matriz é diagonal?
Iguais aos elementos da diagonal
Quando a matriz é simétrica, mas os λ são iguais, como será os autovetores?
Ortogonais
Quando a matriz não é simétrica mas os λ são diferentes, como serão os autovetores?
Lineramente independnetes
O que é um autoepaço
Um espaço vetorial gerado pelo autovetor
O que é a multiplicaidade algébrica?
A quantidade de autovalores
O que é multiplicade geométrica?
Quantidade de autovetores que podemos escrever como (X,a,b) + (a, Y,b) +(a, b, Z) para cada autovetor
Qual é o polinômio característico da transformação linear?
|A - λI |
Qual é a equação caracterísitica da transformação linear?
|A - λI | = 0
No caso de uma matriz 2x2, qual será sua equação característica?
λ² - (tr A)*λ + |A| = 0
O somatório dos autovalores é igual a…
Ao traço da matriz
O produtório dos autovalores é igual a…
Determinante da matriz A
Para que seja uma transformação linear injetora, o que é necessário?
O núcleo deve ser o vetor 0
Para que seja uma transformação linear sobrejetora, o que é necessário?
Dimensão do contra-domínio = posto da matriz
Ademais, os vetores coluna da Matriz L devem gerar uma base
O que é um operador linear?
Transformaçõa de um espaço que cai no mesmo espaço
O que é um operador linear autoadjunto?
A matriz é simétrica
O que é um operador linear ortogonal?
A matriz é ortogonal
O que significa a matriz ser ortogonal?
A^t = A^(-1)
Ou
A * A’ = I
Como normalizar os autovetores?
Chuta um valor para o autovetor, calcula a norma desse e divide todos pela norma
Caso o S = (X, Y, X + Y) seja um subespcaçõ vetorial de R³, então a dimensão desse subespaço é 2.
Verdadeiro, o ultimo elemento é uma combinação linear dos outros dois
Se u, v e w são linearmente indepentendentes, então u+v, v + w, u+w são linearmente independentes
Verdadeiro
Como saber se uma matriz é diagonalizável?
Escrever o polinômio característico, encontrar os valores de λ, para que seja diagonalizável, é necessário ou que seja simétrica ou que apresente autovalores distintos ou apresente n autovetores linearmente independentes
Se o vetor de soluções pode ser escrito como uma combinação linear das colunas da matriz A, então o sistema admite solução
Verdadeiro
Se A é uma matriz quadrada, então M = A + A^(t), então M é uma matriz simétrica
Verdadeiro
Se u e v são vetores de solução de Ax = b, então u+v também será solução
Falso
Au = b, Av = b
A(u+v)= Au + Av = 2b
Se todos os elementos da diagonal principal de A são nulos, o seu determinante é nulo
Falso
Se B={v1, …, vm} em Rn, então se m>n os vetores são linearmente dependentes
Verdadeiro
Se B={v1, …, vm} em Rn, então se m
Falso
Se B={v1, …, vm} em Rn, então se m=n então a matriz cujas colunas são elementos de B, é não singular
Falso
Se B={v1, …, vm} em Rn, Se todos os vetores de B forem linearmente independentes, então o núcleo da matriz, cujas coluunas são os elementos de B é um subespaço nulo
Verdadeiro
Se B={v1, …, vm} em Rn, Se todos os vetores de B forem linearmente independentes, então o posto da matriz, cujas coluunas são os elementos de B é “m”
Verdadeiro
Seja V um espaço vetorial de dimensão n, com n inteiro positivo. Então, um conjunto de n+1 vetores é mais doque suficiente para gerar todo o subespaço V
Falso, é necessário que sejam linearmente independentes
Se uma matriz apresenta autovalores iguais, ela não é diagonalizável
Falso, depende da quantidade de autovetores que ela gera
Como determinar se dois vetores são ortogonais?
O produto interno desses é igual a zero
Se A tiver posto máximo, então o sistema apresenta solução única
Falso
Se o vetor b for combinação linear das colunas da matriz A, então o sistema tem pelo menos uma solução
Verdadeiro
O determinante de uma matriz nilpotente é sempre igual a zero
Verdadeiro
Se M é nilpotente de grau R, então: (I - M)^(-1) = ( I + M + … + M^R)
Verdadeiro
A matriz M é idempotente se e somente se (I - M) também for idempotente
Verdadeiro
Se uma transformação linear de Rn em Rn é injetora, então ela também será sobrejetora
Verdadeiro
Seja uma transformação linear de Rn em Rm tal que os vetores das colunas são lineramente independentes, então o posto da matriz será m
Falso
Seja uma transformação linear de Rn em Rm tal que os vetores das colunas são lineramente independentes, podemos afirmar que existe um vetor tal que Tv = 0, com v diferente do vetor nulo
Falso, pensar no operador de identidade
Sejam T: Rn em Rn e G: Rn em Rn, duas transformações lineares. Então todo autovalor de GT será de TG, em que GT e TG são são as duas compostas de T e G
Verdadeiro
Se T é um operador linear auto adjunto, então T(x) * y = T(y) * x
Verdadeiro
Se T: R³ em R³, então o p0olinômio caracterísitico é de grau 2
Falso, contra exemplo T = (x, y, z)
Se os vetores v1, v2, v3 geram V e se T: V -> V é um operador linear, então a imagem de T é gerada por T(v1), T(v2), T(v3)
Verdadeiro
Se T: V-> Vé um operador linear autoadjunto, então seus autovetores associados são ortogonais
Verdadeiro
é possível encontrar 4 vetores em R³, diferentes do vetor nulo e que sejam ortogonais entre si
Falso, a dimensão é 3
Se uma matriz 2 X 2 possui determinante igual a um e traço igual a zero, então seus autovalores são números complexos conjugados.
Verdadeiro
Transformações lineares dadas por matrizes ortogonais preservam a norma de vetores, mas não necessariamente ângulos entre vetores
Falso, preservam a norma e o ângulo
Se uma matriz é simétrica e não singular, então autovetores associados a autovalores distintos são colineares
Falso, os autovetores de uma matriz simétrica são sempre ortogonais
O que é uma matriz antissimétrica?
A = -A’
Qual é matriz que seja idempotente, simétrica e não singular
Apenas a Identidade
Oque é o teorema Espectral da matriz?
A matriz A pode ser escrita como
CΛC’
Onde Λ é uma matriz diagonal, com os autovalores na diagonal principal
C é a matriz coluna dos autovetores normalizados
Seja A uma matriz n×n que tem n autovalores reais diferentes. Se todos os autovalores
de A são menores do que 1 (em módulo) então At -> 0 com t -> ∞
Verdadeiro
CΛC’
C0C’
0
Se uma matriz simétrica nxn A é idempotente, v’Av ≥ 0.
Verdadeiro
Se uma matriz nxn A é idempotente, então tr(A) ≥ n.
Falso, pensar na matriz nula
Como encontrar a imagem de uma transformação linear?
Igualar o sistema a d1, d2 e d3 e tentar escrever um desses em função dos outros
Como saber se um determinado vetor é normal à imagem de uma transformação linear?
A partir do vetor da imagem, fazer o produto interno com o vetor, se esse for igual a zero, é um vetor normal
O que é uma matriz de rotação?
O operador linear atribuido a ela é ortogonal
O que é necessário para verificar se um operador é ortogonal?
|| Tv || = || v ||
Oque é uma matriz Jacobiana?
dF1/dx1 ... dF1/dxn . . . dFn/dxn ... dFn/xn
