Opérateurs vectoriels

Question 1

Quelle est la formule de la divergence : div(->f) pour une fonction donnée : f(x,y,z) = (axyz, bxyz, cxyz)

Answer 1

C’est la somme des dérivés partielles : ∂P/∂x + ∂Q/∂y + ∂R/∂z

Question 2

Calculer la divergence de cette fonction :
f(x,y,z) = (2x^2y, 2xy^2, xy)

Answer 2

div(->f) = 8xy

Question 3

Soit nabla : (∇ →) un vecteur, quel est sa formule ?

Answer 3

( ∂/∂x )
→∇ = ( ∂/∂y )
( ∂/∂z )

Question 4

Dans quelles coordonnées uniquement, on peut utiliser l’opérateur nabla ?

Answer 4

Dans des coordonnées cartésiennes

Question 5

Avec quoi utiliser l’opérateur nabla ?

Answer 5

Avec des champs (càd la représentation d’une grandeur physique en tout point)

Question 6

Qu’est ce qu’un champ scalaire ?

Answer 6

Chaque point a une valeur numérique (ex : carte de température)

Question 7

Qu’est ce qu’un champ vectoriel ?

Answer 7

Chaque point a un vecteur associé (ex : champ magnétique/carte des vents)

Question 8

Qu’est ce qu’un champ tensoriel ?

Answer 8

Chaque point a un tenseur associé (ex : courbure de l’espace temps)

Question 9

Qu’est ce qu’une ligne de champ et ou peut on la trouver ?

Answer 9

On la trouve dans un champ vectoriel et ce sont des représentations visuelles des trajectoires/directions suivie par la grandeur étudiée

Question 10

Comment note-on le gradient et ou s’applique t-il ?

Answer 10

→grad f = →∇f, le gradient s’applique uniquement pour un champ scalaire.
On utilise donc le gradient (vecteur) sur un scalaire (un nombre) pour obtenir un vecteur

Question 11

Comment note-on la divergence et ou s’applique t-elle ?

Answer 11

div→f = →∇→f, la divergence s’applique uniquement sur un champ vectoriel
Comme l’opération est un produit scalaire entre 2 vecteurs, on obtient donc un scalaire

Question 12

Comment note-on le rotationnel et ou s’applique t-il ?

Answer 12

→rot →f =→∇ ∧ →f, le rotationnel s’applique sur un champ vectoriel. L’opération est un produit vectoriel, on obtient donc un vecteur

Question 13

Quelle est la formule du gradient ?

Answer 13

( ∂f/∂x )
→∇ = ( ∂f/∂y )
( ∂f/∂z )

Question 14

Quelle est la formule de la divergence ?

Answer 14

——–( fx )
→f = ( fy )
——–( fz )
donc, **
————-( ∂fx/∂x )
→∇ . →f= ( ∂fy/∂y )
————( ∂fz/∂z )

On obtient :
div →f = ∂fx/∂x + ∂fy/∂y + ∂fz/∂z

Question 15

Quelle est la formule du rotationnel ?

Answer 15

————-( ∂/∂x ) ——-(fx)
→∇ ∧→f =( ∂/∂y ) ∧ (fy)
———–( ∂/∂z )—– (fz)

Question 16

Quelle est la formule finale du rotationnel ?

Answer 16

————-( ∂fz/∂y - ∂fy/∂z)
→∇ ∧→f =( ∂fx/∂z - ∂fz/∂x )
———–( ∂fy/∂x - ∂fx/∂y )

Question 17

→V dérive d’un potentiel si …

Answer 17

→rot(→V) = →0

Question 18

Quelle est la formule du potentiel?

Answer 18

On procède par identification :
∂f/∂x
∂f/∂y
∂f/∂z

Question 19

Quelle est la formule du laplacien dans un repère cartésien (3D) ?

Answer 19

C’est la divergence du gradient de f, autrement dit c’est la somme des dérivées partielles seconde.
Δf = div(→grad f)
Δf = ∂^2f/∂x^2 + ∂^2f/∂y^2 + ∂^2f/∂z^2
dans le cas ou nous sommes en 2D, on retire simplement la dérivée seconde de l’axe qui n’est pas présent

Question 20

Quel est la formule du laplacien pour des coordonnées cylindriques (r, θ, z) ?

Answer 20

Δf = (1/r) * (r* ∂/∂r) + (1/r^2 * ∂^2f/∂θ^2) + (∂^2f/∂z^2)

Question 21

Qu’est ce que le laplacien ?

Answer 21

C’est la divergence du gradient

Question 22

Quel est la formule du laplacien pour des coordonnées sphériques (r, θ, ϕ) ?

Answer 22

Δf = (1/r∂r/∂)(r^2∂f/∂r) +
(1/r^2sin(θ) * ∂/θ∂ * (sin(θ)∂f/∂θ)+
(1/r^2sin^2(θ) ) (∂^2f/∂ϕ^2)

Question 23

Quelle est la formule de r ?

Answer 23

r = sqrt(x^2+y^2+z^2)