Normale multivariata

Question 1

funz di densità caso univariato

Answer 1

f(x) pag. 38 I

Question 2

funz di densità del vettore casuale x distr Np(µ, Σ)

Answer 2

f(x) pag.38 II
con Sigma def positiva
non applicabile se Sigma non invertibile

Question 3

contorni di equidensità

Answer 3

(caso normale bivariata)
ellissoide in p-dimensioni (luogo geometrico dell’equazione k* nel dominio della f(x)) al variare di k*
pag. 42
- forma di ellissoidi
- lunghezze semiassi
- direzioni assi

Question 4

molteplici combo lineari

Answer 4

x distr Np(µ, Σ)
A matr qualsiasi fissata qxp
c vettore qualsiasi di costanti qx1

y qx1 = Ax+c distr Nq(Aµ +c, AΣA’)

Question 5

Proprietà normale multivariata - sottoinsieme

Answer 5

1. ogni sottoinsieme di elementi di x segue distribuz normale multivariata
   ogni elemento (marginale univariata) è una normale univariata

Question 6

Proprietà normale multivariata - standard

Answer 6

se Sigma >0
y <- solve(Sigma^0.5)*(x-mu)
y distrib Np(0,Ip)

!! qalsiasi vettore casuale normale può essere convertito in forma standard mediante la trasformazione di ortogonalizzazione

Question 7

Proprietà normale multivariata - invarianza sotto trasfo ortogonali

Answer 7

Se
x distrib Np(mu,Sigma x Ip)
L matr qualsiasi ortogonale

y = Lx distrib Np(Lmu, Sigma x Ip)

Se x distrib Np(0, Ip)
allora y distrib Np(0, Ip)
-> la normale multivariata standard è invariante sotto trasformaz ortogonali (= sotto rotazioni rigide del sistema di coordinate)

Question 8

normale multivariata condizionata

Answer 8

vettore x distrib Np(mu, Sigma)
partizionabile in 2 sottovettori di dim q e p-q
x1 distrib Nq(mu1, Sigma11)
x2 distrib Np-q(mu2, Sigma22)

Question 9

normale multivariata condizionata
- relazione tra indipendenza e incorrelazione

Answer 9

x1 indip x2 se e solo se Sigma12=0

!! contrario valido solo se sono normali

dim: vake oer generici vettori casuali pag.31
sufficienza Sigma12=0 -> f(x1, x2) = f1(x1)f2(x2)

Question 10

distrib di forme quadratiche di un vettore casuale normale

Answer 10

x distrib Np(µ, Σ) e Σ > 0
k* distrib Chiq^2
k* = somma (di p quantità indip e normali standard)^2

dim pag. 58

Question 11

Combinazioni lineari di normali multivariate

Answer 11

x1,…xn indip
xi distrib Np(mu,Sigma)
stessa matr di covar

V1 = c1x1 + … + cnxn distrib Np(summ(ci x mui), summ(ci^2) x Sigma))
V2 = b1x1 + … + bnxn
distrib congiunta di V1 e V2: normale multivariata con cov pg.59

Question 12

funz di densità in R

Answer 12

1. library(mvtnorm)
   dmvnorm(xo,mu, Sigma)

2.
fdensita <- function(x,p,mu,Sigma){
fxpdim <- (1/((2pi)^(p/2)%%det(Sigma)^(1/2)))*
exp((-1/2)t(x-mu)%%solve(Sigma)%*%(x-mu))
return(fxpdim)
}
xo <- c(2,4,6)
fdensita(xo, 3, mu, Sigma)

Question 13

rappresentazione grafica della funz di densit di Y

Answer 13

library(mvtnorm)
tab1 <- seq(-5, 2, length=50)
tab2 <- seq(-5, 1, length=50)
griglia <- expand.grid(tab1, tab2)

f <- dmvnorm(griglia, mean=mu, sigma=Sigma)
f <- matrix(f, nrow=50, byrow=F)

persp(tab1, tab2, f, theta=50, phi=30,
xlab=”x1”, ylab=”x2”, zlab=”f(x1,x2)”,
col=”green”, shade=0.5)

Question 14

rappresentazione grafica dei contorni di equidensità di Y

Answer 14

tab1 <- seq(-5, 2, length=50)
tab2 <- seq(-5, 1, length=50)

f <- dmvnorm(griglia, mean=mu, sigma=Sigma)
f <- matrix(f, nrow=50, byrow=F)

1. contour(tab1, tab2, f, xlab=”x1”, ylab=”x2”, nlevels=5)
2. image(tab1, tab2, f, xlab=”x1”, ylab=”x2”)
3. filled.contour(tab1, tab2, f)