decomposizioni

Question 1

decomposizione spettrale

Answer 1

A == E%%V%%t(E)

E == [e1,…,ep] matrice ortogonale con colonne autovettori di A
V == diag(λi) matrice diagonale degli autovettori di A

se A definita positia > λi

Question 2

risoluzione trasformazioni decomposizione spettrale

Answer 2

A^n == E%%V(^n)%%t(E)
con V(^n) = diag(λj*(^n))

Question 3

matrice “radice quadrata”

Answer 3

A(1/2)
A(1/2)%%A(1/2) == A
t(A(1/2)) == A(1/2)

Question 4

Decomposizione a valori singolari

Answer 4

Mnp=U%%D%*%t(V)

con U - mat ortonormale nn (autovettori di MM’)
V - mat ortonormale pp (autovettori di M’M)
D - mat rettangolare diagonale

svdV<-eigen(t(M)%%M)
svdU<- eigen(M%%t(M))

U <- svdU$vectors
V <- svdV$vectors
D <- diag(svdV$values)

V<-svd(M)$v
U<-svd(M)$u
D<-diag(svd(M)$d)
U%%D%%t(V)

Question 5

relazione tra deco spettrale e SVD

Answer 5

• stessi risultati se M quadrata, simmetrica, semidef positiva
• SDV aplicata a M
  deco spettrale applicata a A == t(M)%%M == V%%D%%t(V)
  con t(D)%%D == V