metodi a un passo e +

Question 1

Definizione di metodo ad un passo

Answer 1

Un metodo ad un passo è un algoritmo in cui il valore della soluzione in xn+1 dipende solo dal valore della soluzione in xn.

Question 2

Metodo di Eulero in avanti

Answer 2

È un metodo esplicito ad un passo. La formula ricorsiva è: yn+1 = yn + h * f(yn, xn), dove h è il passo di integrazione e f è la funzione che descrive l’ODE.

Question 3

Caratteristiche del metodo di Eulero in avanti

Answer 3

Esplicito, dipende solo dal valore della soluzione al nodo precedente, errore locale di O(h^2) e errore globale di O(h).

Question 4

Esempio del metodo di Eulero in avanti

Answer 4

Per l’ODE y’ = y con condizione iniziale y(0) = 1, la soluzione approssimata sarà: y1 = (1 + h) * y0, y2 = (1 + h)^2 * y0.

Question 5

Errore globale nel metodo di Eulero

Answer 5

L’errore globale diminuisce linearmente con il passo h.

Question 6

Definizione di metodo multi-step

Answer 6

In un metodo multi-step, la soluzione in xn+1 dipende da più valori della soluzione in nodi precedenti.

Question 7

Motivazione dell’uso dei metodi multi-step

Answer 7

L’uso di più punti consente di ottenere una maggiore precisione, migliorando l’errore di troncamento locale.

Question 8

Interazione tra ODE e metodi numerici

Answer 8

La soluzione numerica di un’ODE viene trovata approssimando l’integrale della funzione f(y, x) sui nodi.

Question 9

Metodo di Eulero in avanti come approssimazione di un integrale

Answer 9

Il metodo di Eulero approssima l’integrale ∫(x_n to x_(n+1)) f(y,x)dx con h * f(y_n, x_n).

Question 10

Miglioramento dell’approssimazione con polinomi

Answer 10

L’errore di troncamento può essere migliorato utilizzando polinomi di grado maggiore per approssimare la funzione integranda.

Question 11

Metodo di Adams-Bashfort (AB)

Answer 11

È un metodo esplicito multi-step. L’errore di troncamento locale è O(h^p+1), dove p è il numero di passi.

Question 12

Formule di Adams-Bashfort:

Answer 12

Per p=1: yn+1 = yn + h/2 * (3fn - fn-1). Per p=2: yn+1 = yn + h/12 * (23fn - 16fn-1 + 5fn-2), e così via.

Question 13

Esempio di Adams-Bashfort a due passi

Answer 13

Per risolvere y’ = y, y0 = 1, con passo h=0.1, si calcola la soluzione usando i valori di fn e fn-1.

Question 14

Errore globale nel metodo di Adams-Bashfort

Answer 14

L’errore globale di un metodo di Adams-Bashfort scala come h^p.

Question 15

Metodo implicito e metodo di Crank-Nicolson

Answer 15

In un metodo implicito, la soluzione in xn+1 dipende anche dal valore di xn+1 stesso. Il metodo di Crank-Nicolson è una formula implicita di secondo ordine, che utilizza la media tra fn e fn+1.

Question 16

Metodi di Adams-Moulton (AM)

Answer 16

Un metodo implicito multi-step con errore di troncamento locale O(h^p+2). La soluzione dipende dai p nodi precedenti e la formula implica risolvere un’equazione in yn+1.

Question 17

Formule di Adams-Moulton

Answer 17

Per p=1: yn+1 = yn + h/12 * (5fn+1 + 8fn - fn-1). Per p=2: yn+1 = yn + h/2 * (fn+1 + fn).

Question 18

Errore globale nel metodo di Adams-Moulton

Answer 18

: L’errore globale di un metodo Adams-Moulton scala come h^(p+1).

Question 19

Definizione di metodo Predictor-Corrector:

Answer 19

È un metodo che combina un metodo esplicito (predictor) e un metodo implicito (corrector). Il predictor stima il valore della soluzione in xn+1, e il corrector migliora questa stima.

Question 20

Metodo di Heun (un esempio di PC)

Answer 20

Il metodo di Heun è un metodo di secondo ordine in cui la previsione della soluzione (predictor) viene corretta con una media tra il valore previsto e quello reale.

Question 21

Formula del metodo di Heun

Answer 21

y_(n+1) = y_n + h/2 * (f_n + f_(n+1)).

Question 22

Esempio di metodo di Heun:

Answer 22

Per risolvere y’ = y con condizione iniziale y0 = 1, si calcola prima un valore di y1 usando una stima e poi si corregge questo valore usando la formula del corrector.

Question 23

Errore globale nel metodo di Heun

Answer 23

L’errore globale del metodo di Heun è O(h^2), in quanto è un metodo di secondo ordine.