metodi a un passo e + Flashcards
Definizione di metodo ad un passo
Un metodo ad un passo è un algoritmo in cui il valore della soluzione in xn+1 dipende solo dal valore della soluzione in xn.
Metodo di Eulero in avanti
È un metodo esplicito ad un passo. La formula ricorsiva è: yn+1 = yn + h * f(yn, xn), dove h è il passo di integrazione e f è la funzione che descrive l’ODE.
Caratteristiche del metodo di Eulero in avanti
Esplicito, dipende solo dal valore della soluzione al nodo precedente, errore locale di O(h^2) e errore globale di O(h).
Esempio del metodo di Eulero in avanti
Per l’ODE y’ = y con condizione iniziale y(0) = 1, la soluzione approssimata sarà: y1 = (1 + h) * y0, y2 = (1 + h)^2 * y0.
Errore globale nel metodo di Eulero
L’errore globale diminuisce linearmente con il passo h.
Definizione di metodo multi-step
In un metodo multi-step, la soluzione in xn+1 dipende da più valori della soluzione in nodi precedenti.
Motivazione dell’uso dei metodi multi-step
L’uso di più punti consente di ottenere una maggiore precisione, migliorando l’errore di troncamento locale.
Interazione tra ODE e metodi numerici
La soluzione numerica di un’ODE viene trovata approssimando l’integrale della funzione f(y, x) sui nodi.
Metodo di Eulero in avanti come approssimazione di un integrale
Il metodo di Eulero approssima l’integrale ∫(x_n to x_(n+1)) f(y,x)dx con h * f(y_n, x_n).
Miglioramento dell’approssimazione con polinomi
L’errore di troncamento può essere migliorato utilizzando polinomi di grado maggiore per approssimare la funzione integranda.
Metodo di Adams-Bashfort (AB)
È un metodo esplicito multi-step. L’errore di troncamento locale è O(h^p+1), dove p è il numero di passi.
Formule di Adams-Bashfort:
Per p=1: yn+1 = yn + h/2 * (3fn - fn-1). Per p=2: yn+1 = yn + h/12 * (23fn - 16fn-1 + 5fn-2), e così via.
Esempio di Adams-Bashfort a due passi
Per risolvere y’ = y, y0 = 1, con passo h=0.1, si calcola la soluzione usando i valori di fn e fn-1.
Errore globale nel metodo di Adams-Bashfort
L’errore globale di un metodo di Adams-Bashfort scala come h^p.
Metodo implicito e metodo di Crank-Nicolson
In un metodo implicito, la soluzione in xn+1 dipende anche dal valore di xn+1 stesso. Il metodo di Crank-Nicolson è una formula implicita di secondo ordine, che utilizza la media tra fn e fn+1.
Metodi di Adams-Moulton (AM)
Un metodo implicito multi-step con errore di troncamento locale O(h^p+2). La soluzione dipende dai p nodi precedenti e la formula implica risolvere un’equazione in yn+1.
Formule di Adams-Moulton
Per p=1: yn+1 = yn + h/12 * (5fn+1 + 8fn - fn-1). Per p=2: yn+1 = yn + h/2 * (fn+1 + fn).
Errore globale nel metodo di Adams-Moulton
: L’errore globale di un metodo Adams-Moulton scala come h^(p+1).
Definizione di metodo Predictor-Corrector:
È un metodo che combina un metodo esplicito (predictor) e un metodo implicito (corrector). Il predictor stima il valore della soluzione in xn+1, e il corrector migliora questa stima.
Metodo di Heun (un esempio di PC)
Il metodo di Heun è un metodo di secondo ordine in cui la previsione della soluzione (predictor) viene corretta con una media tra il valore previsto e quello reale.
Formula del metodo di Heun
y_(n+1) = y_n + h/2 * (f_n + f_(n+1)).
Esempio di metodo di Heun:
Per risolvere y’ = y con condizione iniziale y0 = 1, si calcola prima un valore di y1 usando una stima e poi si corregge questo valore usando la formula del corrector.
Errore globale nel metodo di Heun
L’errore globale del metodo di Heun è O(h^2), in quanto è un metodo di secondo ordine.
