approssimazione derviate seconde Flashcards
Come si ottiene la formula della derivata seconda usando punti più lontani rispetto a xi?
Utilizzando i punti xi+2 e xi-2, si può ottenere una formula con errore di ordine O(h⁴) per la derivata seconda, aumentando così l’accuratezza:
f’‘(xi) ≈ (-f(xi+2) + 16 * f(xi+1) - 30 * f(xi) + 16 * f(xi-1) - f(xi-2)) / (12 * h²) + O(h⁴).
Come vengono ricavate le formule centrate per derivate di ordine superiore?
Le formule per derivate di ordine superiore si ottengono espandendo la funzione in serie di Taylor e combinando i termini in modo da annullare gli errori di ordine inferiore, migliorando così l’accuratezza.
Qual è la formula per la derivata terza centrata?
La derivata terza centrata si calcola come:
f’’‘(xi) ≈ (f(xi+2) - 2 * f(xi+1) + 2 * f(xi-1) - f(xi-2)) / (2 * h³) + O(h²).
Come calcolare la derivata seconda con errore di ordine O(h⁴)?
Si utilizza una combinazione di punti più lontani per ridurre l’errore al quarto ordine, come nella formula:
f’‘(xi) ≈ (-f(xi+2) + 16 * f(xi+1) - 30 * f(xi) + 16 * f(xi-1) - f(xi-2)) / (12 * h²) + O(h⁴).
Come può essere espressa la derivata seconda come differenza tra derivate prime?
La derivata seconda può essere vista come la derivata prima della derivata prima:
f’‘(xi) ≈ (f’(xi+1) - f’(xi-1)) / (2 * h).
Qual è l’accuratezza della formula centrata per la derivata seconda?
La formula centrata per la derivata seconda è accurata al secondo ordine (O(h²)), il che significa che l’errore diminuisce come il quadrato del passo h.
Qual è la forma alternativa per calcolare la derivata seconda usando differenze?
La derivata seconda può essere scritta come la differenza tra le differenze finite centrali della funzione:
f’‘(xi) ≈ (f(xi+1) - 2 * f(xi) + f(xi-1)) / h².
Come si combinano le espansioni di Taylor di f(xi+1) e f(xi-1) per ottenere la formula della derivata seconda?
Sommiamo le espansioni per ottenere un’espressione che annulla i termini di ordine dispari (come f’(xi)), lasciando un errore di ordine O(h²).
Come si espande la funzione in una serie di Taylor per calcolare la derivata seconda?
La funzione f(x) si espande attorno a xi utilizzando i termini di ordine più alto per ottenere una stima più precisa della derivata seconda:
f(xi+1) = f(xi) + f’(xi) * h + (f’‘(xi) * h²) / 2 + O(h³).
Come si calcola la derivata prima centrata con errore O(h²)?
La derivata prima centrata si calcola come la media del tasso di variazione della funzione in avanti e indietro:
f’(xi) ≈ (f(xi+1) - f(xi-1)) / (2 * h).
Come può essere interpretato il calcolo della derivata seconda dal punto di vista geometrico?
La derivata seconda è il coefficiente angolare della retta tangente alla funzione in un punto dato, ma considerando come la pendenza della retta cambia a livello locale.
Come si ottiene la formula centrata di approssimazione per la derivata seconda?
La formula centrata si ottiene combinando le espansioni in serie di Taylor di f(xi+1) e f(xi-1) e sommandole. La formula risultante è:
f’‘(xi) ≈ (f(xi+1) - 2 * f(xi) + f(xi-1)) / h².
Qual è il problema principale quando si approssima una derivata seconda numericamente?
L’errore principale è dato dal passo h, che introduce un errore di ordine O(h²) nelle formule centrali di differenziazione.
Cosa rappresenta la derivata seconda di una funzione?
La derivata seconda descrive la concavità della funzione, cioè come cambia la sua velocità di variazione. Se f’‘(x) > 0, la funzione è concava verso l’alto, se f’‘(x) < 0, è concava verso il basso.
