Matek III. tétel

Question 1

Függvények szélsőértéke.

Answer 1

Egy függvény szélsőértéke lehet minimum vagy maximum. A minimum szélsőérték esetén a függvény értéke kisebb lesz, mint a környező pontokban, míg a maximum szélsőérték esetén a függvény értéke nagyobb lesz. A szélsőértékeket keresni szoktuk ott, ahol a függvény deriváltja (lehetséges szélsőértéket jelző érték) nullává válik.

Question 2

Függvényvizsgálat

Answer 2

A függvényvizsgálat során tanulmányozzuk a függvény tulajdonságait, például szélsőértékeit, monotonitását, konvexitását, konkavitását stb. Ez általában a deriváltak segítségével történik. Az első és második deriváltakból származó információk segítenek megállapítani, hol találhatók a szélsőértékek, illetve miként változik a függvény iránya.

Question 3

A legkisebb négyzetek módszere

Answer 3

A legkisebb négyzetek módszere egy statisztikai és numerikus analízisben gyakran alkalmazott eljárás. A módszer lényege az, hogy egy adathalmazt egy függvényhez próbálunk illeszteni úgy, hogy a különbség az illesztett függvény és az adatok közötti négyzetes hibák összege minimális legyen. Ez a módszer például regressziós analízisek során használatos, amikor egy változót más változókkal próbálunk összefüggésbe hozni.

Question 4

Logikai változók

Answer 4

A változók olyan szimbólumok, amelyekre a kvantorok (minden, létezik) hatnak. Például: x, y, z.

Question 5

Függvényi jelek

Answer 5

Függvényi jelek olyan szimbólumok, amelyeket a függvények reprezentálnak. Például: f, g

Question 6

Predikátumok

Answer 6

Predikátumok olyan függvények, amelyek értékei igazak vagy hamisak. Például: P(x), ahol P egy adott tulajdonság.

Question 7

Kvantorok

Answer 7

Kvantorok: Kvantorok segítségével kifejezhetjük az általánosítást vagy a specifikációt. Az “∀” jelentése “minden”, a “∃” jelentése “létezik”. Például: ∀x, ∃y

Question 8

Logikai összekötő

Answer 8

Logikai összekötők: Például: “és”(∧), “vagy” (∨), “nem” (¬), “implikáció” (→), “ekvivalencia” (↔).

Question 9

Zárójelek

Answer 9

Használjuk a kifejezések és formulák csoportosításához.

Question 10

Szabad Változók

Answer 10

Egy változó szabad előfordulása egy logikai formulában olyan, ha a formula tartalmazza ezt a változót, és nincs előtte kvantor, ami ezt a változót kötné.
Példa: Az y szabad előfordulása az ∃x(P(y)∧Q(x)) formulában, mivel a kvantor előtte csak a Q(x)-re vonatkozik, az y szabadon előfordul.
A szabad változók “szabadon” változhatnak értékükben, nem szorítja meg őket kvantor.

Question 11

Kötött Változók

Answer 11

Egy változó kötött előfordulása egy logikai formulában olyan, ha a formula tartalmazza ezt a változót, és előtte van egy kvantor, ami ezt a változót köti.
Példa: Az x kötött előfordulása a ∀x(P(x)→Q(x)) formulában, mivel az x előtt van egy ∀ kvantor, ami azt jelenti, hogy x minden értékére vonatkozik.
A kötött változók értékét a hozzájuk tartozó kvantor határozza meg

Question 12

Logikai Interpretáció

Answer 12

Az interpretáció megadja a szimbólumoknak értelmet. Például, egy értelmezés megadhatja, hogy egy adott prédikátum mit jelent egy adott univerzumban.

Question 13

Változókiértékelés

Answer 13

Az értelmezésnek meg kell határoznia a változók értékét. Ez általában egy univerzumban történik

Question 14

Termek értéke

Answer 14

A termek olyan formulák, amelyek nem tartalmaznak kvantorokat. Az értelmezés meghatározza a termek értékét.

Question 15

Formulák értéke interpretációban

Answer 15

A formulák értéke az, hogy az állítás, amit a formula reprezentál, igaz vagy hamis-e az adott értelmezés mellett.

Question 16

Törvény

Answer 16

Olyan formula, amely minden értelmezés mellett igaz

Question 17

Ellentmondás

Answer 17

Olyan formula, amely minden értelmezés mellett hamis

Question 18

Ekvivalencia

Answer 18

Két formula ekvivalens, ha az azonos értelmezés mellett mindkettő ugyanazt az értéket veszi fel

Question 19

Következmény

Answer 19

Ha egy formula következik egy másik formulából, akkor minden olyan értelmezés mellett, amelyben az előző formula igaz, az utóbbi is igaz

Question 20

Normálformák

Answer 20

Azok a formulák, amelyek bizonyos szintaktikai szabályoknak megfelelnek. Például konjunktív normálforma (CNF) vagy diszjunktív normálforma (DNF).

Question 21

Prenex Formulák

Answer 21

A prenex forma olyan normálforma, amelyben a kvantorok a formula elején helyezkednek el.

Question 22

Logikai Kalkulusok

Answer 22

Különböző logikai kalkulusok léteznek, például a klasszikus predikátumlogika vagy a modális logika. Ezek rendszert alkotnak a logikai következtetésekhez és érvelésekhez.

A szekventkalkulus
A szekvent Legyenek A1, A2, . . . , An, B1, B2, . . . , Bm, (n, m ≥ 0) egy
elsőrendű nyelv formulái. Ekkor a
⊤ ∧ A1 ∧ A2 ∧ . . . ∧ An ⊃ B1 ∨ B2 ∨ . . . ∨ Bm ∨ ⊥
formulát szekventnek nevezzük.
Jelölése: A1, A2, . . . , An → B1, B2, . . . , Bm, vagy rövidebben: Γ → ∆, ahol Γ
⇋ {A1, A2, . . . , An} és ∆ ⇋ {B1, B2, . . . , Bm}.