Limesi

Question 1

Limes općeg člana niza?

Answer 1

lim(𝑛→∞) 𝑎𝑛

Question 2

Koji su to neodređeni oblici (7)?

Answer 2

∞/∞
0/0
(∞-∞)/(∞-∞)
0*∞
∞-∞
0^0
1^∞
∞^0

Question 3

Koji su to određeni (osnovni) oblici?

Answer 3

1/∞ = 0
lim (𝑛→∞) (1 + 1/𝑛)^𝑛 = (1^∞) = 𝑒
lim (𝑛→∞) (1 + α/𝑛)^β𝑛 = (1^∞) = 𝑒^(αβ)

Question 4

Kako određujemo limes funkcije?

Answer 4

Ako 𝑥 → ∞, onda brojnik i nazivnik dijelimo s najvećom potencijom.
Ako 𝑥 → 𝑎 i uvrštavanjem dobivamo neodređeni oblik, onda koristimo L’Hospitalovo pravilo.

Question 5

Što je to L’Hospitalovo pravilo?

Answer 5

Brojnik i nazivnik odvojeno deriviramo.

lim(𝑥→𝑎) 𝑓(𝑥) / 𝑔(𝑥) = (∞/∞, 0/0) = lim(𝑥→𝑎) 𝑓’(𝑥) / 𝑔’(𝑥)

Question 6

Koja su pravila za neke osnovne limese (9)?

Answer 6

1. Limes sume = suma limesa
   lim (n → ∞) (an ± bn) = lim (n → ∞) an ± lim (n → ∞) bn
2. Konstanta koja množi ide naprijed
   lim (n → ∞) (c*an) = c * lim (n → ∞) an
3. Limes umnoška jednak je umnošku limesa
   lim (n → ∞) (an*bn) = lim (n → ∞) an * lim (n → ∞) bn
4. Limes kvocijenta jednak je kvocijentu limesa
   lim (n → ∞) (an/bn) = (lim (n → ∞) an) / (lim (n → ∞) bn)
5. Prirodni logaritam ln ide naprijed
   lim (n → ∞) (ln an) = ln (lim (n → ∞) an)
6. lim (n → ∞) (an^bn) = (lim (n → ∞) an)^lim (n → ∞) bn
7. lim (n → ∞) e^an = e^(lim (n → ∞)an)

8.Osnovni limes
lim (𝑛→∞) (1 + 1/𝑛)^𝑛 = (1^∞) = 𝑒

9. lim (𝑛→∞) (1 + α/𝑛)^β𝑛 = (1^∞) = 𝑒^(αβ)

Question 7

Kako stupnjevi polinoma u razlomcima utječu na limes?

Answer 7

> /< → lim (𝑛→∞) = ∞
→ lim (𝑛→∞) = 0
=/= → lim (𝑛→∞) ∈ N

Question 8

Koje su 3 vrste prekida funkcije?

Answer 8

Uklonjivi prekid, prekid prve vrste, prekid druge vrste

Question 9

Kakav je to uklonjivi prekid?

Answer 9

L- = lim (x→a-) f(x), L+ = lim (x→a+) f(x)

Uvjeti za uklonjivi prekid: L-, L+ ∈ ℝ; L- = L+

Question 10

Što je to prekid prve vrste?

Answer 10

L- = lim (x→a-) f(x), L+ = lim (x→a+) f(x)

Df: ℝ \ {a}; L-, L+ ∈ ℝ; L- ≠ L+

Question 11

Što je to prekid druge vrste (asimptotski prekid)?

Answer 11

L- = L+ = ∞; Df = ℝ \ {a}

Kažemo da imamo asimptotski prekid onda kad je bar jedan jednostrani limes ( L-, L+) jednak ±∞.

Question 12

Što je to asimptota?

Answer 12

Pravac kojem se graf funkcije približava, ali je nikad neće dodirivati niti sjeći. Polinomska funkcija nema nijednu asimptotu.

Question 13

Što je to vertikalna asimptota?

Answer 13

x=a
- a je točka prekida funkcije
- za a nazivnik u funkciji je 0
- postoji beskonačno vertikalnih asimptota
lim (x→a) f(x) = ±∞

Question 14

Što je to horizontalna asimptota?

Answer 14

y=b
- postoje maksimalno 2 horizontalne asimptote
lim (x→±∞) f(x) = b ∈ ℝ

Question 15

Što je to kosa asimptota?

Answer 15

y = kx+l
k= lim (x→±∞) f(x)/x
l = lim (x→±∞) [f(x) - k*x]

Question 16

Kada racionalna funkcija ima horizontalnu asimptotu?

Answer 16

Kada je stupanj brojnika manji od stupnja nazivnika.

Question 17

Kada racionalna funkcija ima kosu asimptotu?

Answer 17

Kada joj je stupanj brojnika točno za jedan veći od stupnja nazivnika.