Funkcije

Question 1

Što je to funkcija?

Answer 1

Preslikavanje koje svakom elementu domene pridružuje 
element kodomene (𝑓:𝐷𝑓 --> 𝐾𝑓,  𝐷,𝐾 ⊂ ℝ)

Question 2

Što je to injekcija?

Answer 2

Ne postoje dva različita elementa domene koji se preslikavaju u isti element kodomene:
∀𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝐷𝑓: 𝑥1 ≠ 𝑥2 –> 𝑓(𝑥1) ≠ 𝑓(𝑥2)

Question 3

Što je to surjekcija?

Answer 3

Slika funkcije jednaka je kodomeni funkcije:

∀ 𝑥 ∈ 𝐾𝑓 ∃ 𝑥 ∈ 𝐷𝑓: 𝑓(𝑥) = 𝑦

Question 4

Što je to bijekcija?

Answer 4

Za svaki y u kodomeni postoji točno jedan x u domeni takav da je 𝑓(𝑥) = 𝑦:
∀ 𝑦 ∈ 𝐾𝑓 ∃! 𝑥 ∈ 𝐷𝑓: 𝑓(𝑥) = y

Question 5

Što je to kompozicija funkcije?

Answer 5

Funkcija od funkcije: 𝑔 ∘ 𝑓:𝐷𝑓 → 𝐾𝑔:

𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)

Question 6

Kakva je to inverzna funkcija?

Answer 6

Funkcija mora biti bijektivna da bi imala inverznu funkciju. Identično preslikavanje (identitet) – funkcija preslikava samu sebe:
(𝑓 ∘ 𝑓^−1)(𝑥) = 𝑥
(𝑓^−1 ∘ 𝑓)(𝑥) = x

Question 7

Kakve su to elementarne funkcije?

Answer 7

Funkcije od kojih su napravljene sve ostale funkcije.

Question 8

Kakve su to konstantne funkcije?

Answer 8

Pravac paralelan s osi y. Opći oblik: 𝑓(𝑥) = 𝑐

Question 9

Kakve su to linearne funkcije?

Answer 9

Opći oblik: 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + b

Pravac. Ima jednu nultočku. Domena su svi realni brojevi (𝐷𝑓 = ℝ).

Question 10

Kakve su to kvadratne funkcije?

Answer 10

Opći oblik: 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥^2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, 𝑎 ≠ 0
Parabola. Može imati jednu, dvije ili nijednu nultočku, ovisno o diskriminanti. Domena kvadratne funkcije su svi realni brojevi (𝐷𝑓 ∈ ℝ), a kodomena ovisi o a:
- Ako je a < 0: 𝐾𝑓 ∈ < −∞, 𝑞 >
- Ako je a > 0: 𝐾𝑓 ∈ < 𝑞, +∞ >
Zapis preko nultočaka (ako su nultočke realni brojevi): 
𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2)
Jednadžba za nultočke: 
𝑥1, 𝑥2 = (−𝑏±√b^2−4𝑎𝑐) / 2a
Diskriminanta: 𝐷 = b^2 − 4ac

Question 11

Što je to tjeme kvadratne funkcije?

Answer 11

Tjeme je ekstrem do kojeg kvadratna funkcija raste/pada.

𝑇(𝑝, 𝑞) –> 𝑇 (−𝑏/2𝑎, (4𝑎𝑐 − 𝑏^2)/4𝑎)

Question 12

Kakve su to racionalne funkcije?

Answer 12

Dijeljenje polinoma daje racionalnu funkciju:
𝑅(𝑥) = 𝑃𝑛(𝑥) / 𝑄𝑚(𝑥)
Racionalne funkcije dijelimo na prave i neprave. Parcijalni razlomci su najmanje racionalne funkcije

Question 13

Kakve su to prave racionalne funkcije?

Answer 13

Prave racionalne funkcije su one gdje je stupanj brojnika manji od stupnja nazivnika (𝑛 < 𝑚).

Question 14

Kakve su to neprave racionalne funkcije?

Answer 14

Neprave racionalne funkcije su one gdje je stupanj brojnika veći ili jednak stupnju nazivnika (𝑛 ≥ 𝑚). Domena neprave racionalne funkcije su svi realni brojevi bez nultočki nazivnika (𝐷𝑓 ∈ ℝ ∖ {𝑥0}). Neprave racionalne funkcije za rezultat daju polinom i pravu racionalnu funkciju, koja se zatim rješava pomoću parcijalnih razlomaka.

Question 15

Kakve su to eksponencijalne funkcije?

Answer 15

Opći oblik: 𝑓(𝑥) = 𝑎^𝑥, 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1
a označava bazu, a x označava eksponent. Ako je a > 1, graf funkcije raste, a ako je 0 < a < 1, graf funkcije pada. Eksponencijalna funkcija nema nultočke jer ne sječe x-os (x-os je horizontalna asimptota).
𝐷𝑓 = ℝ, 𝐾𝑓 =< 0, +∞ >

Question 16

Kakve su to logaritamske funkcije?

Answer 16

Opći oblik: 𝑓(𝑥) = log𝑎 X , 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1
Logaritamska funkcija je inverzna od eksponencijalne funkcije i obrnuto. Ako je a > 1, graf funkcije raste, a ako je 0 < a < 1, graf funkcije pada. Y-os je vertikalna asimptota.
𝐷𝑓 =< 0, +∞ >, 𝐾f = ℝ

Question 17

Koje su to trigonometrijske funkcije?

Answer 17

Sinus, kosinus, tangens i kotangens.

Question 18

Kakva je to sinus funkcija?

Answer 18

𝑓(𝑥) = sin x, D𝑓 = ℝ
Neparna i omeđena funkcija: ℝ → [−1, −1]
Period: 𝑃 = 2π
Graf je sinusoida.

Question 19

Kakva je to kosinus funkcija?

Answer 19

𝑓(𝑥) = cos x, D𝑓 = ℝ
Parna i omeđena funkcija: ℝ → [−1, −1]
Period: 𝑃 = 2π
Graf je kosinusoida.

Question 20

Kakva je to tangens funkcija?

Answer 20

𝑓(𝑥) = 𝑡𝑔 x, 𝐷𝑓 = ℝ ∖ {𝑘𝜋 +𝜋/2}

Neparna funkcija, period je 𝑃 = π

Question 21

Kakva je to kotangens funkcija?

Answer 21

𝑓(𝑥) = c𝑡𝑔 x, 𝐷𝑓 = ℝ ∖ {𝑘𝜋}

Neparna funkcija, period je 𝑃 = π

Question 22

što je to parnost funkcije?

Answer 22

Parna funkcija: f(-x) = f(x), graf je simetričan s obzirom na os y
Neparna funkcija: f(-x) = -f(x), graf je centralno simetričan s obzirom na ishodište

Question 23

Što je to monotonost funkcije?

Answer 23

Funkcija:
Raste za f(x1) ≤ f(x2)
Strogo raste za f(x1) < f(x2)
Pada za f(x1) ≥ f(x2)
Strogo pada za f(x1) > f(x2)

Question 24

Kada su dvije funkcije jednake?

Answer 24

Ako imaju jednake domene, kodomene i isti način preslikavanja.

Question 25

Što je to restrikcija funkcije?

Answer 25

Sužavanje funkcije u interval u kojem je ona bijektivna.

Question 26

Što su to ciklometrijske funkcije?

Answer 26

To su funkcije inverzne trigonometrijskim funkcijama. Zovemo ih arcusima. Grafovi su im simetrični grafovima trig. funkcija s obzirom na pravac x=y.

Question 27

Kakva je to funkcija arcus sinus (arcsin)?

Answer 27

y = arcsin x
Definirana je na [-1, 1] - domena, a vrijednost poprima na [-π/2, π/2] - kodomena. Inverzna funkcija arcus sinusa je f(x) = sin x.

Question 28

Kakva je to funkcija arcus kosinus (arccos)?

Answer 28

y = arccos x
Definirana je na [-1, 1] - domena, a vrijednost poprima na [0, π] - kodomena. Inverzna funkcija arcus cosinusa je f(x) = cos x.

Question 29

Kakva je to funkcija arcus tangens (arctg)?

Answer 29

y = arctg x
Definirana je na [-∞, +∞] - domena, a vrijednost poprima na [-π/2, π/2] - kodomena. Inverzna funkcija arcus tangensa je f(x) = tg x.

Question 30

Kakva je to funkcija arcus kotangens (arcctg)?

Answer 30

y = arcctg x
Definirana je na [-∞, ∞] - domena, a vrijednost poprima na [0, π] - kodomena. Inverzna funkcija arcus kotangensa je f(x) = ctg x.

Question 31

Što su to hiperbolne funkcije?

Answer 31

Definiraju se pomoću eksponencijalnih funkcija e^x i

e^-x.

Question 32

Kakva je to funkcija sinus hiperbolni (shx)?

Answer 32

shx = (e^x - e^-x) / 2
Funkcija je neparna, strogo raste
Df: ℝ –> ℝ

Question 33

Kakva je to funkcija kosinus hiperbolni (chx)?

Answer 33

chx = (e^x + e^-x) / 2
Funkcija je parna, pada na intervalu
, a raste na intervalu <0, +∞>
Df: ℝ –> [1, +∞>

Question 34

Kakva je to funkcija tangens hiperbolni (thx)?

Answer 34

thx = shx/chx = (e^x - e^-x) / (e^x + e^-x)
Funkcija je neparna, strogo raste
Df: ℝ –>

Question 35

Kakva je to funkcija kotangens hiperbolni (cthx)?

Answer 35

cthx = chx/shx = (e^x + e^-x) / (e^x - e^-x)
Funkcija je neparna, strogo pada na intervalu
∪ <0, +∞>
Df: ℝ{0} –> [-1, 1]

Question 36

Što su to area funkcije?

Answer 36

To su inverzne funkcije od hiperbolnih funkcija.