Kopfrechnen Flashcards
Kopfrechnen
= wenn Aufgaben ohne Notation nur im Kopf gelöst werdent
alternative Begriffe:
mündliches Rechnen
halbschriftliches Rechnen
= wenn zum Stützen des Kopfrechnens einige Notivzen gemacht werden
Informelle Lösungswege von Schulanfängern für Additionsaufgaben
= diverse Zählstrategien
-
Vollständiges Auszählen
- = einfachste Strategie, die vor allem bei der Benutzung von Material verwendet wird
- es wird zunächst der 1. Summand und dann der 2. Summand mit Hilfe von Material gelegt und anschließend alle “Plättchen” o.ä. ausgezählt
- Achtung: bei “größeren” Anzahlen kommt es zu Zählfehlern (Plättchen auslassen/ Doppelt Zählen) => Summe weicht um eins nach oben oder unten ab
-
Weiterzählen vom ersten Summanden aus
- Voraussetzung für die Strategie:
- Kardinalzahlbedeutung des 1. Summanden muss verstanden sein
- Zählzahlbedeutung des 1. Summanend für die Summenbildung muss zu mind. implizit verstandetn sein
- Fehler:
- durch mitzählen der Kardinalzahl des ersten Summanden kommt es zum -1 Fehler
- Bsp. 3+4 => 3,4,5,6 => 3+4=6
- Voraussetzung für die Strategie:
- Weiterzählen vom größeren Summanden
- Voraussetzung:
- Verständnis des Kommutativgesetzes der Addition
- = Weiterentwicklung von 2.
- Fehler:
- 1 Fehler aus selben Grund wie bei 2 ( Kardinalzahl des größeren Summanden wird mitgezählt)
- Voraussetzung:
-
Weiterzählen vom größeren Summanden in größeren Schritten
- setzt hohe Zählkompetenz voraus
- Aufgaben werden durch weiterzählen in 2, 4er o. anderen für Aufgabe sinnvollen Schritten gelöst
Allgemein Wichtig:
- Fortschritt des Kindes bezügl. Zählstrategien nicht linearer Weg (!) (von 1. Strategie bis zur 4.).
- K greift auch bei Kenntnis effektiverer Zählstrategien in bestimmten Situationen auf einfachere Zählstrategien zurück
Probleme die bei der Verwendung der informellen Strategien (Zählstrategien) der SuS auftreten können:
- Zählstrategien sind fehleranfällig
- Zählstrategien sind bei größeren Zahlen umständlich und sehr aufwändig -> spätestens im 1000er-Raum sind sie an ihren Grenzen
- Zählstrategien können trainiert und perfektioniert werden - Achtung: Bedürfnis sich Zahlensätze des Kleinen 1+1 zu merken schwindet mit zunehmender Perfektion
- Zählstrategien verhindern, dass die Zusammenhänge zwischen Aufgaben erkannt werden.
- Bsp. 4+4,4+5,3+5 und 13+5 werden beim zählenden Rechnen getrennt berechnet => Zusammenhänge werden nicht erkannt
- Durch zählendes Rechnen kann schriftliches Rechnen sehr langwierig und fehleranfällig sein, da hierbei Teilergebnisse schnell verfügbar sein müssen.
- Zählendes Rechnen beansprucht die Rechner bei größeren Zahlen so sehr, dass sie häufig nicht in der Lage sind eine Verbindung zwischen der Aufgabe und dem Ergebnis herzustellen
Addition allgemein
- Wichtige Grundlage
- = Entdeckung vielfältiger Zahlzerlegungen
- Verschiedene Aufgaben Situationen
- Aufgabensituationen dynamischer Struktur
- Verändern
- Ausgleichen
- Aufgabensituationen statischer Struktur
- Vereinigen
- Vergleichen
- bei jeder Additionssituation lassen sich 3 Fälle unterscheiden
- a+b= _
- a+_=c
- _+b=c
- Achtung: beim Vereinigen sind nur folgende Fälle interessant
- a+_=c
- _+b=c
- Aufgabensituationen dynamischer Struktur
Addition
Heuristische Strategien
- benötigen zur Entstehung, dass einzelne Aufgaben des kleinen 1+1 auswendig gekonnt werden z.B. Verdopplungsaufgaben
-
Heuristische Strategien
- Tauschaufgaben
- Analogieaufgaben - 5+2, 15+2
- Verdopplungsaufgaben
- Fastverdopplungsaufgaben
- Nachbaraufgaben
- Schrittweise Rechnen
- Gegensinniges Verändern
Addition - Heuristische Verfahren
Tauschaufgaben
- Basieren auf dem Kommutativgesetz
- d.h. die Reihenfolge der Summanden kann getauscht werden ohne, dass das Ergebnis sich ändert
Addition - heuristische Strategien
Verdopplungsaufgaben
- Verdopplungsaufgaben prägen sich den GS Kindern gut ein => gute Eignung als Stützpunkte für die Lösung vieler weiterer Aufgaben
Addition - heuristische Strategien
Fastverdopplungsaufgaben
- Aufgaben deren Ergebnis um 1 nach oben oder unten von dem der Verdopplungsaufgaben abweicht
Addition - heuristische Strategien
Nachbaraufgaben
- = Aufgaben, bei denen sich ein Summand von der gegebnen Audgabe um 1 unterscheidet z.B. 5+4 Nachbaraufgaben = 6+4 und 4+4
- => Fastverdopplungsaufgaben = Nachbaraufgaben von Verdopplungsaufgaben
Addition - heuristische Strategien
Schrittweise Rechnen
- Aufgaben werden durch schrittweises Rechnen gelöst
- Z.B. 6+7
- 5+5+1+2
- 7+7-1
- 6+6+1
- 6+4+3
- Z.B. 6+7
- (Fast)Verdopplungsaufgaben und Nachbaraufgaben sind Spezialfälle der Strategie
- wichtig: bei Aufgaben mit Zehnerüberschreitung sollte nicht einseitig auf die Verwendung der Strategie “Ergänzen zum vollen Zehner” hingearbeitet werden
Addition - heuristische Strategien
Gegensinniges Verändern
- durch gegensinniges Verändern der beiden Summanden ändert sich das Ergebnis nicht
- 6+8 = 7+7
Addition - Ziel
= dass die Zahlensätze des Kleinen 1+1 am Ende des 1. SJs entweder auswendig gekonnt werden oder durch heuristische Strategien rasch zu finden sind
Achtung: Realität oft anders!
Addition
Automatisierendes Üben
Ziel: Einübung von Fertigkeiten spielt entscheidende Rolle
operatives Üben
= Übungsformen, die geeignet sind “vielfältige” Zusammenhänge und Beziehungen herauszuarbeiten und für weitere Aktivitäten zu nutzen
- fordert und fördert ein bewegliches Umgehen mit Zahlen und Rechenoperationen
- Ziel:
- Föderung des flexiblen Denkens
- dies Bedeutet auf der Ebene von Aufgabe u.a. das Herstellen, Erkennen und Anwenden von vielfältiger Beziehungen, Abhängigkeiten und Zusammenhänge durch
- Umkehren (Umkehraufgaben, Probeaufgaben)
- Vertauschen (Tauschaufgaben)
- Bildung benachbarter Aufgaben
- Bildung analoger Aufgaben
- Zerlegungn von Aufgaben in Teilschritte
- Zusammensetzen von Teilschritten zu größeren Komplexen
- Beschreiten verschiedener Lösungswege (andere Reihenfolge, Umwege gehen, Wege verkürzen, vorteilhaft zusammenfassen usw.)
- Variation von Daten
- dies Bedeutet auf der Ebene von Aufgabe u.a. das Herstellen, Erkennen und Anwenden von vielfältiger Beziehungen, Abhängigkeiten und Zusammenhänge durch
- Föderung des flexiblen Denkens
- Bsp. für operative Übungsformen = Rechenpyramide
- Schwierigkeitsgrad wächst durch Höhe der Pyramide
- Größe der eingesetzten Zahlen
- Verteilung der Zahlen
Gleichheitszeichen
- Gleichheitszeichen wird oft von Kindern im Sinn von “ergibt” interpretiert
- Gleichheitszeichen trennt hierbei die Aufgabe von Ergebnis <- kann zu Problemen führen!
- besser von vorenrein ist die “algebraische Gleichheitssicht” im Unterricht anstreben, d.h. Gleichheitszeichen steht für
- Gleichheit
- Gleichwertigkeit
- wechselseitiger Austauschbarkeit
=> lässt sich wie folgt in der Sprache der Grundschulkinder formulieren: “Auf beiden Seiten von = muss dasselbe herauskommen, wenn man ausrechnet”
- um einseitigen Gebrauch entgegen zu wirken sollte von anfang an die Sprechweise “ist gleich” verwendet werden und bei Tauschaufgaben, Umwandlungen von Größen, Ergänzungs- und Zerlegungsaufgaben thematisiert werden
Fehlergruppen bei der mündlichen Addition
- Fehler bei der Erfassung des Stellenwertes von Ziffern
- beruht häufig auf der Inversion bei zweistelligen Zahlen
- Gegenmaßnahmen:
- Sprech- und Schreibweise bei zweistelligen Zahlen besonders sorgfältig thematisieren
- Rechenrichtungsfehler
- irrtümliche Subtraktion bei der Addigion
- Minus- Eins -Fehler
- 27 + 11=36
- Nachbaraufgabe 27+10 wird korrektgelöst bei 27+11 statt 37+1 jedoch 37 - 1 gerechnet
- 27 + 11=36
- 44+9 = 47
- 3 wird dann jedoch von 50 abgezogen, da “6 um 3 weniger als 9”
- es wird richtig 44+6= 50 gerechnet
Gegenmaßnahmen
- beim Einsatz von Arbeitsmitteln darauf achten, das sie das Einhalten einer konsequenten Operationsrichtung fördern und nicht erschweren!
- Strategiekonferenzen zur Analyse von Fehler nutzen
Typen von Subtraktionsaufgaben
- Subtraktion als Abziehen (oder Wegnehmen)
- symbolisch: 8-5=_
- Subtraktion als Ergänzen
- symbolisch 5+_=8
- abhängig von der Sachsituation und der größe der Differenz zweischen dem Minuenden und dem Subtrahenden, ob Abziehen (als Rückwärtszählen) oder das Ergänzen (als Vorwärtszählen) näher liegt
Informelle Lösungsstrategien bei der Subtraktion ( Zählstrategien)
Zählstrategien mit Materialeinsatz
- Wegnehmen
- Ergänzen
Reine Zählstrategien
-
Rückwärstzählen (um eine gegebene Zahl von Schritten)
- klare Verwandtschaft zur Strategie Wegnehmen mit Material
- Problem
- es ist gleichzeitiges Zählen in entgegengesetzte Richtungen (doppeltes Zählen) nötig
- rückwärts - zum abziehen
- vorwärts - zur Erkennung wie viel Schritte noch rückwärts zu gehen sind
- => Fehler - Ergebnis weicht um 1 nach oben/unten vom wirklichen Ergebnis ab
- Ursache:
- K zählen die beiden Eckzahlen mit, Bsp. 8-5=4
- K zählen die beiden Eckzahlen nicht mit, Bsp. 8-5=2
- Ursache:
- es ist gleichzeitiges Zählen in entgegengesetzte Richtungen (doppeltes Zählen) nötig
-
Rückwärtszählen (bis zu einer gegebenen Zahl)
- doppeltes Zählen in entgegengesetzte Richtungen erforderlich
- Ergebnis weicht häufiger um 1 nach oben/unten vom richtigen ab
-
Vorwärtzählen
- enge Verwandtschaft mit der Strategie Ergänzen mit Material & Weiterentwicklung dieser
- durch oben genannte Zählfehler weicht das Ergebnis häufig um 1 nach oben/unten ab
Bei Subtraktion sind Zählstrategien anfangs hilfreich, erreichen jedoch bereits im oberen Bereich des Zwanzigerraums ihre Grenzen => möglichst bald Einführung von heuristischen Strategien
Aufgabensituationen bei der Subtraktion
- dynamische Situationen
- Abziehen
- Ergänzen
- statische Situationen
- Vergleichen
- Verändern
=> Beim Abziehen liegt nur das Subtrahieren nahe
=> beim Ergänzen, Verändern, Vergleichen kann sowohl addiert als auch subtrahiert werden!
weitere Unterscheidungsmöglichkeiten - Was wird gesucht?
- Ergebnis
- Ausgangsgröße oder eine Teilgröße
- die Veränderung bzw. Unterschied
Subtraktion im Anfangsunterricht
- größte Bedeutung für AU haben
- Abziehen
- Argumente:
- gilt als natürliche Sinngebung der Subtraktion
- mehr alltägliche Sachsituationen sind von diesem Typ
- Bsp: 17-3 leichter durch Abziehen zu lösen
- Argumente:
- Ergänzen
- Argumente:
- beim zählenden Lösen ist das Vorwärtszählen leichter
- Zusammenhang zw. Addition und Subtraktion wird sichtbar
- Bsp. 17–15 leichter durch Ergänzen zu lösen
- Argumente:
- Abziehen
- Von Sachsituation => Handlung an strukturierten Arbeitsmitten
- Wichtig: Arbeitsmittel so auswählen, dass Ablösung vom zählenden Subtrahieren leicht fällt & Übergang zu heuristischen Strategien nahe liegt
Sprechweise: “minus”
Heuristische Strategien bei der Subtraktion
-
Analogieaufgaben
- Bsp: 7-3=4 => analog 17-3=14
- Gültigkeit dieser Aufgaben kann am Rechenfeld oder Rechenrahmen gut begründet werden!
-
Nachbaraufgaben
- Bsp:
- 17-8 via Nachbaraufgaben 18-8=1, daher 17-8=9
- ausgehend von leichten Aufgaben z.B. 16-6 schrittweise Lösung der Nachbaraufgaben 16-7, 16-8, 16-9 sowie 16-5, 16-4, 16-3
- Bsp:
- Halbierungsaufgaben/ Fasthalbierungsaufgaben
- ausgehend von Halbierungsaufgaben, lassen sich Fasthalbierungsaufgaben (spezielle Nachbaraufgaben) leicht lösen!
-
Schrittweise Rechnen
- komplexere Aufgaben häufig so gelöst
- meist mit Zehn bzw. Zehnerzahlen als Bezugspunkt
- Bsp: 14-6 über 14-4 und 10-2
- lässt sich gut am 20er Rahmen entdecken
- Hilfreich bei Notation & Rechnen
- Pfeildiagramme, Rechenstrich & Zahlenstrahl
-
Umkehraufgaben
- Subtraktion = Umkehroperation der Addition => SuS müssen nicht Kleine 1+1 und Kleine 1-1 auswendig Wissen sonderen können durch Rückgriff auf bekannte Additionsaufgaben Subtraktionsaufgaben leichter lösen
- Bsp. 17-9 Rückgriff auf 9+8=17 des Kleinen 1+1 => ohne Rechnen 17-9=8
Ab Hunderterraum
- Gleichsinnige Verändern
- mathematische Grundlage
- Gesetz der Konstanz der Differenz
- Verändern wir den Minuenden und den Subtrahenden um die gleiche Zahl so bleibt das Ergebnis gleich
- Gesetz der Konstanz der Differenz
- Kindgemäße Begründung des Gesetzes via
- Hunderterrechenrahmen
- besser via Vertraute Alltagssituationen
- Altersunterschied 2er Kinder ( jetzt, in 5/ 10 Jahren, vor 3 jahren)
- Größenunterschied 2 er Kinder (vor der Treppe, beide auf Stufe 1,3…)
- etc.
- mathematische Grundlage
Operatives Üben bei der Subtraktion
- s. Karte operatives Üben
Ergänzung:
- durch systematische Veränderung von Daten
- Vergrößerung der ersten Zahl und unverändertem Beibehalten der zweiten Zahl
- Verkleinerung der ersten Zahl und unverändertes Beibehalten der zweiten Zahl
- Beibehalten der ersten Zahl und Vergrößerung/ Verkleinerung der zweiten Zahl
- Gleichgerichtete Vergrößerung/ Verkleinerung beider Zahlen um denselben Betrag
- Entgegengesetzte Veränderung beider Zahlen um denselben Betrag
- Ziel dieser operativen Übungsform =Entdecken von Gesetzmäßigkeiten und Zusammenhängen bei der Veränderung der Ergebnisse durch oben genannte Variationen
weiterhin
- empfiehlt es sich Addition und Subtraktion in Form von Aufgabennetzen oder Aufgabenfamilien zu behandeln
- Begründung
- Unterstützt das Entdecken und Betonen von Zusammenhängen beim Kleinen 1-1
- Begründung
Beispiel: Subtraktionstafel
- bietet viele Möglichkeiten zur Variation der Aufgabenstellung
- und zur Differenzierung nach dem Schwierigkeitsgrad
Problembereiche der Subtraktion
- fällt K viel schwerer als Addition
- Ursache hierfür
- Defizite beim Rückwärtszählen
- nicht ausreichende Verdeutlichung des Zusammenhangs von Addition und Subtraktion
- Tatsache, dass Addition mehr Aufmerksamkeit im Unterricht geschenkt wird als der Subtraktion
- Ursache hierfür
Hauptfehlergruppen
-
Fehler bei der Erfassung des Stellenwertes der Ziffern
- Bsp.:
- 92-30=26
- 75-42=15
- Gegenmaßnahme
- auf Inversion achten
- Sprech- und Schreibweise zweiziffriger Zahlen besonders sorgfältig Einführen
- Ursache u.a.
- Unsicherheiten über den Zusammenhang von Schreib- und Sprechweise ( Inversion)
- Bsp.:
- Rechenrichtungsfehler
- Bsp:
- 67-29=36
- 52-7=55
- Ursache u.a.
- Unsicherheiten bezgl. der Rechenrichtung bei heuristischen Strategien
- Gegenmaßnahme
- bei heuristischen Strategien - wie Nachbaraufgabe o. Schritweises Rechnen - besondere Sorgfalt auf Einhaltung der Rechenrichtung zu legen
- besonderen Nachdruck auf Begründung bei der Anwendung von Rechenstrategien zu leben
- Bsp: 67-29 -> ich rechne 67-30=37 & habe daher 1 zuviel abgezogen, dass Ergebnis von 67-29 muss um 1 größer sein => 67-29=38
- Bsp:
Multiplikation
Informelle Lösungsstrategien zur Lösung multiplikativer Kontextaufgaben vor der Erarbeitung der Multiplikation
Achtung: Kinder sind schon vor der systematischen Erarbeitung der Multiplikation in der GS in der Lage multiplikative Sachsituationen erfolgreich zu lösen.
Lösungsstrategien:
-
direktes Modellieren mit Material/ Vollständiges Auszählen
- hierbei wird die Aufgabe meist direkt modelliert & die Gesamtzahl durch vollständiges Auszählen (meist in Einerschritten) gewonnen
-
Rythmisches Zählen in gleichgroßen Teilschritten (mit/ ohne Material)
- Beim Zählen der Elemente wird simultan die Anzahl der gleichgroßen Teilabschnitte, z.b. mit den Fingern mitgezählt (z.B. 4*3 => 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12
-
Benutzen von Zahlenfolgen (mit/ ohne Material)
- bei 4*3 => 3,6,9,12
-
Wiederholtes Addieren gleicher Summanden
- Bsp 4*3 => 3+3=6 6*3= 9 9+3= 12 oder 3+3= 6 6+6= 12
-
Multiplikative Rechnungen
- d.h. Ergebnis der entsprechenden Multiplikationsaufgbae ist schon bekannt oder es wird aus bekannten 1x1-Fakten abgeleitet
Neben diesen Strategien gibt es auch Übergangsformen, d.h. “Kombinationen” aus verschiedenen Strategien
Grundvorstellungen Multiplikation
- Zeitlich - sukzessive Handlungen
- Räumlich - simultane Anordnung
- Kombinatorische Aufgabenstellungen
- weitere multiplikative Kontextaufgaben
Grundvorstellungen Multiplikation
Zeitlich - sukzessive Handlungen
- Gesamtmenge entsteht durch mehrmalige Wiederholung der gleichen Handlung im Zeitablauf => sie entsteht “zeitlich - sukzessiv (= dynamische Komponente der Multiplikation)
- Mathematischer Hintergrund
- Vereinigung paarweise elementfremder. gleichmächtiger endlicher Mengen
- bzw. auf der Zahlebene die wiederholte Addition gleicher Summanden
- hat engen Zusammenhang zur Umgangssprache (einmal, zweimal..)
- Ermöglicht herstellen des Zusammenhangs zw. Multiplikation und wiederholter Addition gleicher Summanden
Grundvorstellungen Multiplikation
Räumlich - simultane Anordnung
- Gesamtmenge kann auf einen Blick (simultan) überschaut werden und ihre Anzahl aufgrund der räumlichen Anordnung leicht betimmt werden (=> statische Komponente der Multiplikation)
- Mathematischer Hintergrund:
- Vereinigung paarweise elementfremder, gleichmächtiger, endlicher Mengen
- bzw. auf Zahlebene wiederholte Addition gleicher Summanden
- eignet sich besser zur Begründung von Rechengesetzen und heuristischer Strategien bei der Erarbeitung des 1x1, als die zeitlich-sukzessive Handlung
- dennoch beide Aspekte in einem engen Zusammenhang, so dass eine Diskussion welcher Aspekt besser zur Einführung der Multiplikation geeignet ist hinfällig ist!
- jede zeitlich-sukzessive Handlung ist am Ende in einer räumlich-simultanen Anordnung darzustellen
- jede räumlich-simultane Anordnung kann als zeitlich-sukzessiv entstanden gedacht werden
Grundvorstellungen Multiplikation
Kombinatorisches Aufgabenstellung
- Hintergrund
- Bildung sämtlicher möglicher Kombinationen aus den Elementen einer ersten und den Elementen einer zweiten Menge
- Übersicht über alle Lösungen kann durch
- Baumdiagramm
- oder eine Tabelle (Matrix) erhalten werden
- durch Tabelle lässt sich der Zusammenhang des kombinatorischen Ansatzes mit der Multiplikation als wiederholte Addition gleicher Summanden erarbeiten
- jede Zeile der Tabelle repräsentiert jeweils einen Summanden
- Mathematischer Hintergrund
- = kartesische Produkt (Kreuzprodukt) A x B zweier Mengen A und B
- besteht aus den Mengen aller geordneter Paare, deren erste Komponente aus der Menge A und deren zweite Komponente aus der Menge B stammt
*
- besteht aus den Mengen aller geordneter Paare, deren erste Komponente aus der Menge A und deren zweite Komponente aus der Menge B stammt
- = kartesische Produkt (Kreuzprodukt) A x B zweier Mengen A und B
Grundvorstellung Multiplikation - Kombinatorische Aufgabenstellungen
Nachteile
Nachteile dieses Zugangsweges:
- Benutzung von Arbeitmitteln nur mit starken Einschränkungen möglich, da die Gesamtheit an Kombinationen nicht gleichzeitig gelegt werden kann => bilden von hypothetischen Kombinationen von Nöten, große Schwierigkeiten für Kinder der Klasse 2
- Vorerfahrungen der Kinder sehr gering
- Anwendungsbezug ist sehr eng auf ein spezielles mathematisches Gebiet bezogen!
- Umgangsprache (zweimal, dreimal…) steht nicht als Anknüpfungspunkt zur Verfügung
- Zusammenhang zwischen Multiplikation und Division als Umkehroperation relativ schwer herzustellen
=> Einführung der Multiplikation als Kreuzprodukt nicht sinnvoll
Nach einer anderweitigen Einführung der Multiplikation dennoch einige Aufgaben dieses Aspekts ansprechen, da es einige reale Umweltsituationen gibt bei denen dieser Aspekt hilfreich ist.
Grundvorstellungen Multiplikation
Weitere multiplikative Kontextaufgaben
-
Multiplikativer Vergleich
- Bsp. Katja hat 6 € gespart. Ihre große Schwester hat schon 5mal soviel in ihrer Spardose. Wie viel Geld hat ihre große Schwester?
-
Multiplikatives Ändern
- Bsp. Eine Lotterie lockt mit folgendem Versprechen: Im Fall eines Gewinnsn verdreifacht sich ihr Einsatz. Wie hoch ist die Auszahlung bei einem Einsatz von 10 €?
-
Proportionalität
- Bsp. In einer Minute laufe 7 Lier aus einem Wasserhan. Wie viel Lieter laufen in 9 Minuten aus dem Hahn?
-
Verkettung von Vervielfältigungsoperatoren
- Bsp. Der Elefant Otto verdreifacht im ersten Jahr sein Geburtsgewicht. Im zweiten Lebensjahr verdoppelt er sein Gewicht. Das Wie vielfache seines Geburtsgewichts hat er am Ende des zweiten Lebensjahres?
-
Formelhafte Multiplikation von Größen
- Bsp. Ein kleines rechteckiges Gartengrundstück ist 6 m lang und 11 m breit. Wie groß ist das Flächenstück?
Grundvorstellungen Multiplikation
Unterscheide im Schwierigkeitsgrad der 8 multiplikativer Kontextaufgaben (= Grundvorstellungen)
- Aufgaben vom Typ räumlich-simultane Anordnung am leichtesten
- Aufgaben vom Typ multiplikativer Vergleich nehmen eine mittlere Position ein
- kombinatorische Aufgaben fallen den Kindern am schwersten!
Neben den Kontexten beeinflussen allerdings noch Viele Variable die Erfolgsquote bei Kontextaufgaben, z.B.:
- mathematische Struktur
- Art und Anzahl der Lösungsschritte,
- Rechenaufwand,
- Größe der Zahlen
- sprachlich-syntaktische Struktur
- direkte oder indirekte Angaben
- lösungskonforme Reihenfolge der Angaben
- Schlüsselwärter
- Art der Frage
- etc.
Grundvorstellungen Multiplikation
Resümee
-
zur Einführung der Multiplikation
- Kombination der beiden ersten Wege
- Weg 1: dynamisch; zeitlich-sukzessiv
- Weg 2: statisch, räumlich-simultan
- zurückgegriffen werden - Begründung: bessere Erarbeitung & Begründung der Rechengesetze und heuristischen Strategien möglich
- Kombination der beiden ersten Wege
- Ergänzung dieser beiden Kontextaufgabentypen durch
- einzelne Kombinatorische Aufgabenstellungen
- einzelne Aufgaben zum multiplikativen Vergleich
- einzelne Aufgaben zum multiplikativen Ändern
- einzelne Aufgaben zur Proportionalität
-> eng mit dem Sachrechnen verbunden in den Unterricht integrieren
Multiplikation
Rechengesetze
-
Kommutativ- oder Vertauschungsgesetz
- Für alle natürlichen Zahlen a,b gilt:
a*b= b*a
-
Assoziativ- oder Verbindungsgesetz
- Für alle natürlichen Zahlen a,b,c gilt:
(a*b)*c= a*(b*c)
-
Distributiv- oder Verteilungsgesetz
- (a) Für alle natürlichen Zahlen a,b,c gilt:
(I) a*(b+c) = a*b + a*c
(II) (a+b)*c= a*c + b*c
- (b) Für alle natürlichen Zahlen a,b,c mit b>c bzw. a>b gilt:
(III) a* (b-c) = a*b - a*c
(IV) (a-b) = a*c - b*c
Achtung:
Diese Gesetze werden in der GS nicht abstrakt formuliert!
SuS lernen sie als Rechenvorteile kennen =>
- wegen Gültigkeit Kommutativgesetz neue Aufgaben auf schon bekannt zurückzuführen
- reduziert die Anzahl der Aufgaben auf rund die Hälfte + Rechenkontrolle bei mündl., halbschriftlicher, Schriftlicher Multiplikation
- wegen Gültigkeit Assoziativgesetz z.B. 4*3 als Verdopplung von 2*3 lösbar, Gesamte Achterreihe als Verdopplung der Viererreihe oder die Berechnung einiger Multiplikationsaufgaben mit 3 Faktoren vereinfachen
- Spezialfälle dieses Gesetzes
- Verdoppeln
- Verdoppelt man in einem Produkt einen Faktor, so verdoppelt man das gesamte Produkt
- Halbieren
- Halbiert man in einem Produkt einen Faktor, so halbiert man das gesamte Produkt
- Begründung mit Hilfe des 100ter-Feldes leicht veranschaulichbar)
- ist nur schwer durch eine für GS SuS durchschaubare Strategie in der Ebene zuzeigen - besser mithilfe von Würfeln
- Verdoppeln
- Spezialfälle dieses Gesetzes
- wegen Gültigkeit Distributivgesetz eine schwierige Aufgabe hääufig auf zwei leichtere Teilaufgaben zurückführbar
- von größter Bedeutung für halbschriftliche und schriftliche Rechenverfahren
- bei schriftlicher Multiplikation genügt Distributivgesetz in additiver Schreibweise
- bei halbschriftlicher Multiplikation ist es auch zru Subtraktion hilfreich
- Nachbaraufgaben = Spezialfälle des Distributivgesetzes
Multiplikation
Wie erarbeiten?
Ganzheitlich?
- zunächst vie Anschauungsmittel und unter Betonung des Anwendens vielfältiger Lösungsstrategien, ohne die einzelnen Einmaleinsreihen gezielt in den Blick zu nehmen
Schrittweise?
- nach vorläufiger Konzentration auf einige situationsgebundene Aufgaben zum Operationsverständnis ausschließliche Konzentration auf die Erarbeitung der Einmaleinsreihen und somit schrittweisen Aufbau des kompletten Einmaleins
Guter Zugangsweg = Kombination beider Wege!
- einerseits ganzheitliche Erarbeitung, bei der konsequent auf die Zusammenhänge zwischen den einzelnen Multiplikativenaufgaben unabhängig von dem Korsett der Einmaleinsreihen hingearbeitet wird -> da hier Kinder exemplarisch Lösungsstrategien entdecken können
- Andererseits systematische Erarbeitung der Aufgaben der verschiedenen Reihen unter Beachtung ihrer Zusammenhänge - > da dies hilft, die Fakten des 1x1 über Stützpunkd oder Königsaufgaben innerhalb der Reihen einzuprägen
Multiplikation
Heuristische Strategien
-
Nachbaraufgaben
- Veränderung des 1. Faktors um 1
- Veränderung des 2. Faktors um 1
- additive oder Subtraktive Veränderung?
- Mathematischer Hintergrund = Spezialfälle des Distributivgesetzes
-
Tauschaufgaben
- mathematischer Hintergrund = Kommutativgesetz
-
Verdopplungs/ Halbierung eines Faktors
- mathematischer Hintergrund = Spezialfälle des Assoziativgesetzes
-
Zerlegung eines Faktors
- Nachbaraufgaben = Spezialfälle dieser Strategie
- Unterscheidung auch hier zw.
- Veränderung des 1. Faktors
- Verämderung des 2. Faktors
- additive oder Subtraktive Veränderung
- mathematischer Hintergrund = Distributivgesetz
-
Gegensinniges Verändern beider Faktoren
- = sehr anspruchvolle Strategegie
- wird der 1. Faktor verdoppelt & der 2. Faktor halbiert oder allgemein Faktor 1. mal n & Faktor 2 geteilt durch n führt dazu, dass das Produkt unverändert bleibt
- Mathematischer Hintergrund = Beziehung (n*a)*( 1/n*b) = (n*1/n)*(a*b), gilt wegen Assoziativ & Kommutativgesetz im Bereich der rationalen Zahlen (Bruchzahlen) generell
- schrittweise Rechnen
Multiplikation
Problembereiche
Wichtigsten Fehler lassen sich in folgende Fehlerkategorien unterscheiden
- Fehler mit der Null und Eins
- Fehler bei der Anwendung elementarer Strategien
- Perservartionsfehler
- Fehler bei der Anwendung von Rechenstrategien
Viele außer dem Nullfehlern beruhen die meisten Fehler beim Kleinen 1x1 auf der Anwendung elementarer Strategien, ins besondere auf der Anwendung von Zählstrategien
=> Ziel im Unterricht muss sein, dass so rasch wie möglich möglichst viele Kinder den Übergang zu den heuristischen Strategien beim kleinen 1x1 schaffen!
Multiplikation - Problembereiche
Fehler mit der Null und der Eins
Ursache:
- Fehlerhafter Transfer von der Addition/ Subtraktion
- Falsche oder unsichere Vorstellungen von der Null (z.B. Null = Nichts)
- Vernachlässigung der Multiplikation mit Null (und Eins) bei der Einführung der Multiplikation und bei der Einübung des 1x1
- Keine Möglichkeit der Zurückführung der Multiplikation mit Null und Eins auf die wiederholte Addition gleicher Summanden
- Fehlvorstellung, dass Multiplizieren stets vergrößert
=> Erarbeitung der Multiplikation muss der Multiplikation Null (und 1) besondere Aufmerksamkeit geschenkt werden & Multiplikationen mit Null und Eins müssen bei der Einübung des 1x1 gezielt berücksichtig werden!
Multiplikation - Problembereiche
Fehler bei der Anwendung elementarer Strategien
Bsp. 6*3=15 4*4= 12
K löse Aufgaben noch durch Aufsagen der betreffenden 1x1-Reihe, d.h. durch wiederholte Addition oder z.T. sogar durch rhythmisches Zählen
-> Verzählen um eins bei der Bestimmung der Anzahlschritte hierbei leicht möglich!
Multiplikation - Problembereiche
Perservationsfehler
Bsp. 7*6= 47 9*5 = 49
zuvor benutze Zahlen beim Rechnen wirken noch nach => setzen sich beim Ergebnis durch
Problem wird noch zusätzlich verstärkt durch Betonung des 1. Faktors
Multiplikation - Problembereiche
Fehler bei der Anwendung von Rechenstrategien
Bsp. 9*4= 31 6*9=51
Enstehung: Fehlerhafte Anwendung heuristischer Strategien
Kommentar zum Bsp:
- Beispiel : von 10*4 wird fälschlicherweise der 1. Faktor abgezogen
- Beispiel: von 6*10 wird fälschlicherweise der 2. Faktor abgezogen oder 5*9 statt der zweiten Faktors 9 wird der 1. Faktor 6 addiert
Informelle Strategien Division
Kinder sind schon vor der systematischen Erarbeitung der Division in der GS in der Lage eine Vielzahl verschiedener Kontextaufgaben zur Division erfolgreich zu lösen.
Dabei angewandte Informelle Strategien
-
Direktes Modellieren mit Material/ Vollständiges Auszäheln
- Strategie ist kaum mehr als ein “primitives Zählen, das auf eine korrekte Interpretation der Kontextaufgabe angewandt wird
- Wiederholte Subtraktion
- Wiederholte Addition
- Rückgriff auf Multiplikation
letzten 3 Strategien werden wie folgt in weitere Rechenstrategien unterteilt:
-
Wiederholte Subtration
- rhythmisches Rückwärtszählen
- Benutzung von Zahlenfolgen rückwärts
- wiederholte Subtraktion
- additives Halbieren
-
Wiederholte Addition
- rhythmisches Vorwärtszählen
- Benutzung von Zahlenfolgen vorwärts
- wiederholte Addition
- addititves Verdoppeln
-
Rückgriff auf Multiplikation
- z.T. erst schätzen der Lösung & dann überprüfen durch Multiplikation
- Suchen eines Vielfachen des Divisors, das gleich dem Dividenden ist ohne die ganze Folge der Vielfachen zu durchlaufen
Division
Grundvorstellungen
Wichtig: Multiplikation und Division hängen zwar eng zusammen, dennoch sollte ihre Einführung nicht gleichzeitig erfolgen. Zuerst muss ein gutes Verständnis für die Multiplikation, sowie einige rechnerische Sicherheit im Hunderterraum erreicht sein, bevor Division erfolgreich eingeführt werden kann.
- Aufteilen
- Verteilen
- Umkehroperation
- Wiederholte Subtraktion
- Multiplikativer Vergleich
Grundvorstellungen Division
Aufteilen
- eine gegebene Menge wird restlos in Teilmengen mit jeweils n Elementen aufgeteilt
- Aufteilen = Tätigkeit die zur Zerlegung einer Menge M in gleichmächtige, paarweise elementfremde Teilmengen führt
- Gesucht: ist die Anzahl der Teilmengen
- Gegeben: Elementanzahl der Menge M und die Elementanzahl der Teilmengen
Vorteile:
- Anwendungsnähe
- Anschaulichkeit
- enger Zusammenhang zur Multiplikation
- wie bei Multiplikation Unterscheidung zw.
- zeitlich-sukzessiv
- räumlich-simultan
- leicht erkennbar Zusammenhang zur Subtraktion
- Handlung d. Aufteilens lässt sich auch mit Stäben oder gezeichneten Strecken ausführen = Messen
Grundvorstellung Division
Verteilen
- = Tätigkeit, die zur Zerlegung einer Menge in gleichmächtige, paarweise elementfremde Teilmengen führt
- Gesucht: Anzahl der Elemente je Teilmenge
- Gegeben: Elementanzahl der Menge M sowie die Anzahl der Teilmengen
- Schwierigkeiten beim Verteilen im mathematischen Sinn kann es geben, da hier nur die Anzahl als Kriterium für Gerechtigkeit interessiert, während die K aus dem Alltag wissen, dass auch weitere Kriterien z.B. Größe darüber entscheidet ob gerecht oder ungerecht verteilt wurde => bei enaktiver Realisation des Verteilens möglichst homogene Materialien benutzen
Vorteile:
- eine gegebene Menge kann auf verschiedene Arten verteilt werden
- Zusammenhang zur Multiplikation ist herstellbar
- Restschreibweise lässt sich problemlos einführen
- Unterscheidung zw.
- zeitlich-sukzessiven Kontexten
- räumlich-simultanen Kontexten
Grundvorstellung Division
Wie kommt man vom Aufteilen & Verteilen zu einem guten Grundverständnis der Division?
Unterschied Aufteilen - Verteilen
Aufteilen: wird die Anzahl der Teilmengen gesucht
Verteilen: wird die Anzahl der Elemente je Teilmenge gesucht
für GS Kinder ist für ein gründliches Verständnis der Division folgendes erforderlich:
- bei Vorgabe einer konkreten Aufteil- oder Verteilsituation die zugehörige Divisionaufgabe angeben und lösen können
- Bei Vorgabe einer Divisionsaufgabe sowohl eine Aufteil- wie eine Verteilaufgabe nennen und auf dieser Grundlage die Divisionsaufgabe anschaulich lösen können
Klassifizierung der gegebenen Kontextaufgaben als Auteil- oder Verteilaufgabe müssen die Lehrkräfte, nicht jedoch die GS- SuS beherrschen
Beherrschung der Klassifikation ist für GS Kinder aus folgenden Gründen fragwürdig:
- der Sprachgebrauch in der Umgangssprache deckt sichhäufig nicht mit dem in der Fachsprach (“Teile die Bobons auf 3 Kinder auf”)
- Es gibt anwendungsbezogene Divisionsaufgaben, die weder Aufteilen noch dem Verteilen zuzuordnen sind (Umkehraufgaben zum kombinatorischen Aspekt der Multiplikation), dass Klassifikationsschema ist also erschöpft
- Eine begriffliche Unterscheidung ist für die gewünschte Rechenfertigkeit sowie für die Fähigkeit, die Division in entsprechenden Anwendungssitutaionen anwenden zu können, von der Sache her nicht notwendig
- Eine begriffliche Unterscheidung überfordert das Abstraktionsvermögen viele GS-SuS
Beim Erarbeiten des Aufteilens und Verteilens im Unterricht weist das Aufteilen sowohl auf der ikonischen als auch auf der symbolischen Ebene deutliche Vorzüge gegenüber dem Verteilen auf
- Begründung bei der Erarbeitung von 12:4 (Aufteilen)
- auf symbolischen Ebene
- um welche 1x1 Reihe es sich handelt (Viererreihe)
- stellen Frage: wie oft 4 vervielfachen bis wir 12 erhalten?
- auf symbolischen Ebene
- Verteilen viel komplizierter, da bestimmt werden muss von welcher 1x1 Reihe das Vierfache 12 ergibt
weitere Grundvorstellungen - Division
Umkehroperation
- Division = Umkehroperation der Multiplikation
- Einführung ohne Rückgriff auf Aufteilen & Verteilen möglich
- Division bei diesem Weg nicht eigenständige Rechenoperation
- ergänzende Behandlung der Division als Umkehroperation der Multiplikation ist neben dem Haupteinführungsweg über das Aufteilen und Verteilen bei konkreten Erarbeitungen der Divisionsfakten im Hunderterraum unbedingt erforderlich
Weitere Grundvorstellungen - Division
Wiederholte Subtraktion
- Einführung via wiederholte Subtraktion des Divisors
- Achtung enger Zusammenhang zw. Aufteilen und wiederholter Subtraktion
-
ergänzende Thematisierung der Division als wiederholte Subtraktion ist aus folgenden Gründen notwendig/ sinnvoll
- Nähe zum Aufteilen
- so gute Anknüpfung an alle informellen Lösungsstrategien v. GS-Kindern möglich
- wiederholte Subtrahieren für das halbschriftliche Dividieren eine zentrale Strategie
- wiederholte Subtrahiern bei der Erarbeitung der schriftlichen Division im Sinne der fortschreitenden Schematisierung ein gut gangbarer Weg
Weitere Grundvorstellungen - Division
Multiplikativer Vergleich
- Beispiel 1: Anna und ihre Freundin Vanessa sparen ihr Taschengeld. Anna hat 5 € gespart, Vanessa schon 45 € Wie viel mal so viel Geld wie Anna hat Vanessa schon gespart?
- Beispiel 2: Max und sein Freund Tim sparen ihr Taschengeld. Mat hat 5 mal so viel Geld gespart wie sein Freund Tim. MAx hat 35€ gespart. Wie viel Euro hat Tim gespart?
- > erste Aufgabe = Aufteilenaufgabe
- > zweite Aufgabe = Verteilaufgabe
=> ergänzende Behandlung des Multiplikativen Vergleichs als Aspekt der Division sinnvoll,
- da vergleichbare Sachsituationen im Alltag vorkommen
- Aufgaben vom Typ multiplikativer Vergleich oft Schwierigkeiten bereiten
Heuristische Strategien Division
- Nachbaraufgaben
- Umkehraufgaben
- Verdoppeln/ Halbieren
- Schrittweise Rechnen
- Gleichsinniges Verändern von Dividend und Divisor
Wichtig: Sorgfältige Thematisierung der heuristischen Strategien von Nöten um zeitnah zu einer Ablösung der informellen Strategien durch die heuristischen zu kommen.
Heuristische Strategien Division
Nachbaraufgaben
Kann durch Vergrößerung oder Verkleinerung des Dividenden um den Divisor entstehen
Heuristische Strategien Division
Umkehraufgabe
Lösung der Divisionsaufgabe durch Rückgriff auf die zugehörige Multiplikationsaufgabe
Heuristische Strategien Division
Verdoppeln/ Halbieren
- Durch Verdopplung oder Halbierung des Dividenden bzw. Divisors wird das Ergebnis gefunden
- Begründung der Strategie durch
- Rückgriff auf die Grundvorstellung des Verteilens oder Aufteilens
- Rückgriff auf die entsprechende Aussage bei der Multiplikation
Heuristische Strategien Division
schrittweise Rechnen
- leichteres Lösen der Aufgbae durch eine additive oder subtraktive Zerlegung des Dividenden in Vielfache des Divisors
- Mathematischer Hintergrund = Distributivgesetz
- Nachbaraufgaben = Sonderfälle dieser Strategie
Heuristische Strategien Division
Gleichsinniges Verändern von Dividend und Divisor
- Ergebnis bleibt unverändert, wenn Dividend und Divisor mit derselben Zahl multipliziert bzw. durch dieselbe Zahl dividiert werden
- Grundvorstellung des Aufteilens oder Verteilens eignet sich gut für Begründung
- Strategie nur bei speziellen Zahlen mit wirklichem Gewinn anwendbar
Division
Was ist für das gründliche Verständnis der Division notwendig?
Erwerb der Divisionsaufgaben im Hunderterraum
- durch Rückgriff auf die Grundvorstellungen des Aufteilens und Verteilens
- durch Rückgriff auf den Zusammenhang von Multiplikation und Division als Umkehroperation
Kein auswendiglernen des Kleinen 1:1!
Ziel des Unterrichts:
- Rückgriff auf Kernaufgaben ermöglichen
Übungen zum Kleinen 1:1 im Hunderterraum gut mit Multiplikationstabellen möglich <- Ausfüllen dieser erfordert im Wechsel die Berechnung von Multiplikations - und Divisionsaufgaben+ unterschiedliche Abfolgen führen zum Ziel!
Was ist fürs gründliche Verständnis der Division nötig?
- Thematisierung der Division in Sachkontexten, die die gesamte Breite der erforderlichen Grundvorstellungen abdecken
- Thematisierung der Division in strukturellen Kontexten, die es gestatten den Reichtum an innermathematischen strukturellen Beziehungen zu erarbeiten
Achtung: für Verstehen beide Ebenen wichtig, da
- Sachbezüge innhaltiches Verstehen fördern und stützen
- strukturelle Mathematisierungen ermöglichen oftmals erst den Sachverhalt mathematisch zu verstehen oder sogar neues Wissen über Sachkontext anzueignen
Division
Sonderfall Null
- Verursacht viele Fehler => Sorgfältige Einführung wichtig, sonst Gefahr einer Verbotstafel im Kopf der SuS “Durch Null darf man nicht dividieren”
- Division als Umkehroperation der Multiplikation => leichtes lösen folgender Aufgaben:
- 0:5=0, denn 0*5=0
- 5:0 ist nicht definiert; denn es gibt keine natürliche Zahl n mit n*5=0
- 0:0 ist nicht definiert; denn für alle natürlichen Zahlen n gilt n*0=0. Also können wir 0:0 nicht eindeutig einem Ergebnis zuordnen und daher 0:0 nicht sinnvoll definieren!
Achtung: oben dargestelltes Argumentationniveau zu hoch für GS SuS => Besser Argumentation via Vorstellungen des Aufteilens, des Verteilens oder der wiederholten Subtraktion
- Verteilen - Fall 1 gut begründbar; Fälle 2&3 Erklärung sehr gekünstelt oder nicht möglich
- Aufteilen - alle 3 Fälle sehr gekünstelt oder Erklärung nicht möglich
- wiederholte Subtraktion - Fall 1 nicht vernünftig begründbar; anderen beiden Fälle passabel begründbar
Alternative Möglichkeit:
Warten mit der Division durch 0 bis 5. Klasse, da für schriftliche Division nur der leichte Fall der Division von Null durch eine natürliche Zahl gebraucht wird, nicht hingegen die Division durch Null.
Division mit Rest
- Gut einführbar auf Grundlage des Aufteilens und Verteilens
- Möglichkeit zur Vertiefung: Bestimmen aller Zahlen, durch die eine feste Zahl z.B.: 24 teilbar ist!:
- so Einführung der Teilbarkeitsrelation und Überprüfung der Teilbarkeit bei natürlichen Zahlen anschaulich möglich, wenn man z.B. 24 ohne Rest
Im Lauf der Geschichte 3 verschiedene Schreibweisen -> wegen des Gleichheitszeichen bei der schriftlichen Division (wurde als Problem gesehen)
- 13:5=2 Rest 3 <- heute aktuelle
- 13:5=2*5 +3
- 13:5= 2+3*5
Division und Distributivgesetz
- Existieren starke Entsprechungen zum Distributivgesetz bei der Multiplikation!
- Unterschiede:
- Distributivgesetz bei der Multiplikation gilt für alle natürlichen Zahlen - Distributivgesetz bei der Division nur für die Fälle, dass sämtliche auftretende Quotienten (schon) erklärt sind
- Bsp: GS-Kinder sind nur die natürlichen Zahlen bekannt => sie sind nicht in der Lage zu schreiben (13+11):6= 13:6+11:6 <- Quotient 13:6 = 2 Rest 1 Quotient 11:6 nicht bekannt)
- Distributivgesetz gilt nur, wenn das Divisionszeichen rechts von der Klammer steht
- Distributivgesetz bei der Multiplikation gilt für alle natürlichen Zahlen - Distributivgesetz bei der Division nur für die Fälle, dass sämtliche auftretende Quotienten (schon) erklärt sind
- Unterschiede:
- Distributivgesetz bildet Grundlage für das Schrittweise Rechen
- 272:8=(240+32):8= 240:8 + 32:8
- Dividieren durch Zehnerpotenz, Nullstreichungsregel via Stellenwerttafel begründbar
Problembereiche Division
- Nullfehler
- Fehler bei Endnullen im Dividend und Divisor
- Fehler bei der Anwendung elementarer Strategien
- Fehler bei der Anwendung heurstischer Strategien
- Perservationsfehler
Problembereiche Division
Nullfehler
0:0=1 5:0=0 5:0=5
- Fehler 1 & 2 durch naheliegenden, aber fehlerhaften Tranfser erklärbar
- Dividieren wir eine natürliche Zahl durch sich selbst erhalten wir 1
- Übertragung dieses Falls auf 0 - Probeaufgabe bestätigt die falsche Übertragung 1*0=0
- Fall 2: Fehlerhafter Transfer von der Multiplikation 5*0=0
- Fall 3: 5:0=5
- Denkbare Schülerbegründung:
- 5 durch 0 dividieren heißt 5 durch nichts dividieren, heißt 5 nicht dividieren, heißt 5 behalten => 5 bleibt stehen und es gilt 5:0=5
- oder 5:0 “geht nicht” wird gleichgesetz mit dem Ergebnis 0
- Denkbare Schülerbegründung:
Problembereiche Division
Fehler bei Endnullen im Dividend und Divisor
400:80 = 20 1000:200=500
- Fall 1: in Gedanken werden 1. Ziffern von Dividend und Divisor getauscht
- Fall 2: 10:2 = 5 und dann die beiden, bislang nicht berücksichtigten Endnullen hinten dran
Problembereiche Division
Fehler bei der Anwendung elementarer Strategien
15:3= 6 20:5= 3
- Fehler passiert besonders oft beim Rückgriff auf elementare Strategien, wie
- Aufsagen der 1x1 - Reihe (vorwärts oder rückwärts)
- wiederholte Addition
- wiederholte Subtraktion
- Beide Fehllösungen durch Verzählen um 1 leicht zu erklären
- Kinder velieren bei relativ langen Reihen leicht, dass Zil aus den Aufen => können die Aufgabe nicht mehr lösen
- Bsp. 45:5 “ 5,10,15,20,25,30….25 ist vie….nein 5,10,15,20,… ich komme ganz durcheinander”
- Achtung: elementare Strategien besonders zeitaufwendig und fehleranfällig => möglichst frühzeitige Anwendung heuristischer Strategien bei Divisionsaufgaben ist daher notwendig
Problembereiche Division
Fehler bei der Anwendung heuristischer Strategien
96:16= 10 155:5=301
-
Fall 1:beide Zahlen werden in ihre Zehner und Einer zerlegtund jeweils getrennt berechnet 90:10= 9 und 6:6= 1 => 9+1=10
- Fehlerstrategie ist bei der Division offensichtlich nur in wenigen speziellen Fällen anwendbar
- Fall 2: korrekte Rechnung 150:5= 30 und 5:5=1 Aufgrund von Flüchtigkeit oder mangelnder Kenntnis des Stellenwertsystems werden dann 20 und 1 zu 301 zusammengesetz
- Achtung: viele weitere Möglichkeiten für Strategiefehler existent!
Problembereiche Division
Perservationsfehler
Perservation = rankhafte Beharren, Haftenbleiben oder Nachwirken von einmal aufgetauchten psychischen Eindrücken
77:7=17 45:9=9
- Fall 1: nachwirken der vielen vorkommenden Siebenen
- Fall 2: nachwirken des unmittelbar vorher genannten Divisors
Problembereiche Division
Bei Kontextaufgaben (Sachaufgaben)
geglückte und fehlerhafte Zuordnungen von Rechenoperationen zu Kontextaufgaben hängen häufig von der Anordnung und Größer der Zahlen ab!
Bsp.
- Multiplikativer Vergleich 45:5
- ” Weil ich gemerkt habe: Da sind ja 45(…) und dann noch 5 (…) da kann ich gar nicht 5*45 rechnen. Das geht ja gar nicht. Dann hab ich einfach 45 geteilt durch 5 erst mal gerechnet”
- Aufteilen 32:4
- “Das sehe ich irgendwie, weil sonst würde da mehr stehen und da weniger. (Zeigt auf die Zahlen)
