Kopfrechnen

Question 1

Kopfrechnen

Answer 1

= wenn Aufgaben ohne Notation nur im Kopf gelöst werdent

alternative Begriffe:

mündliches Rechnen

Question 2

halbschriftliches Rechnen

Answer 2

= wenn zum Stützen des Kopfrechnens einige Notivzen gemacht werden

Question 3

Informelle Lösungswege von Schulanfängern für Additionsaufgaben

Answer 3

= diverse Zählstrategien

• Vollständiges Auszählen
  
  • = einfachste Strategie, die vor allem bei der Benutzung von Material verwendet wird
  • es wird zunächst der 1. Summand und dann der 2. Summand mit Hilfe von Material gelegt und anschließend alle “Plättchen” o.ä. ausgezählt
  • Achtung: bei “größeren” Anzahlen kommt es zu Zählfehlern (Plättchen auslassen/ Doppelt Zählen) => Summe weicht um eins nach oben oder unten ab
• Weiterzählen vom ersten Summanden aus
  
  • Voraussetzung für die Strategie:
    
    • Kardinalzahlbedeutung des 1. Summanden muss verstanden sein
    • Zählzahlbedeutung des 1. Summanend für die Summenbildung muss zu mind. implizit verstandetn sein
  • Fehler:
    
    • durch mitzählen der Kardinalzahl des ersten Summanden kommt es zum -1 Fehler
    • Bsp. 3+4 => 3,4,5,6 => 3+4=6
• Weiterzählen vom größeren Summanden
  
  • Voraussetzung:
    
    • Verständnis des Kommutativgesetzes der Addition
  • = Weiterentwicklung von 2.
  • Fehler:
    
    • • 1 Fehler aus selben Grund wie bei 2 ( Kardinalzahl des größeren Summanden wird mitgezählt)
• Weiterzählen vom größeren Summanden in größeren Schritten
  
  • setzt hohe Zählkompetenz voraus
  • Aufgaben werden durch weiterzählen in 2, 4er o. anderen für Aufgabe sinnvollen Schritten gelöst

Allgemein Wichtig:

• Fortschritt des Kindes bezügl. Zählstrategien nicht linearer Weg (!) (von 1. Strategie bis zur 4.).
• K greift auch bei Kenntnis effektiverer Zählstrategien in bestimmten Situationen auf einfachere Zählstrategien zurück

Question 4

Probleme die bei der Verwendung der informellen Strategien (Zählstrategien) der SuS auftreten können:

Answer 4

• Zählstrategien sind fehleranfällig
• Zählstrategien sind bei größeren Zahlen umständlich und sehr aufwändig -> spätestens im 1000er-Raum sind sie an ihren Grenzen
• Zählstrategien können trainiert und perfektioniert werden - Achtung: Bedürfnis sich Zahlensätze des Kleinen 1+1 zu merken schwindet mit zunehmender Perfektion
• Zählstrategien verhindern, dass die Zusammenhänge zwischen Aufgaben erkannt werden.
  
  • Bsp. 4+4,4+5,3+5 und 13+5 werden beim zählenden Rechnen getrennt berechnet => Zusammenhänge werden nicht erkannt
• Durch zählendes Rechnen kann schriftliches Rechnen sehr langwierig und fehleranfällig sein, da hierbei Teilergebnisse schnell verfügbar sein müssen.
• Zählendes Rechnen beansprucht die Rechner bei größeren Zahlen so sehr, dass sie häufig nicht in der Lage sind eine Verbindung zwischen der Aufgabe und dem Ergebnis herzustellen

Question 5

Addition allgemein

Answer 5

• Wichtige Grundlage
  
  • = Entdeckung vielfältiger Zahlzerlegungen
• Verschiedene Aufgaben Situationen
  
  • Aufgabensituationen dynamischer Struktur
    
    • Verändern
    • Ausgleichen
  • Aufgabensituationen statischer Struktur
    
    • Vereinigen
    • Vergleichen
  • bei jeder Additionssituation lassen sich 3 Fälle unterscheiden
    
    • a+b= _
    • a+_=c
    • _+b=c
    • Achtung: beim Vereinigen sind nur folgende Fälle interessant
      
      • a+_=c
      • _+b=c

Question 6

Addition

Heuristische Strategien

Answer 6

• benötigen zur Entstehung, dass einzelne Aufgaben des kleinen 1+1 auswendig gekonnt werden z.B. Verdopplungsaufgaben
• Heuristische Strategien
  
  • Tauschaufgaben
  • Analogieaufgaben - 5+2, 15+2
  • Verdopplungsaufgaben
  • Fastverdopplungsaufgaben
  • Nachbaraufgaben
  • Schrittweise Rechnen
  • Gegensinniges Verändern

Question 7

Addition - Heuristische Verfahren

Tauschaufgaben

Answer 7

• Basieren auf dem Kommutativgesetz
  
  • d.h. die Reihenfolge der Summanden kann getauscht werden ohne, dass das Ergebnis sich ändert

Question 8

Addition - heuristische Strategien

Verdopplungsaufgaben

Answer 8

• Verdopplungsaufgaben prägen sich den GS Kindern gut ein => gute Eignung als Stützpunkte für die Lösung vieler weiterer Aufgaben

Question 9

Addition - heuristische Strategien

Fastverdopplungsaufgaben

Answer 9

• Aufgaben deren Ergebnis um 1 nach oben oder unten von dem der Verdopplungsaufgaben abweicht

Question 10

Addition - heuristische Strategien

Nachbaraufgaben

Answer 10

• = Aufgaben, bei denen sich ein Summand von der gegebnen Audgabe um 1 unterscheidet z.B. 5+4 Nachbaraufgaben = 6+4 und 4+4
• => Fastverdopplungsaufgaben = Nachbaraufgaben von Verdopplungsaufgaben

Question 11

Addition - heuristische Strategien

Schrittweise Rechnen

Answer 11

• Aufgaben werden durch schrittweises Rechnen gelöst
  
  • Z.B. 6+7
    
    • 5+5+1+2
    • 7+7-1
    • 6+6+1
    • 6+4+3
• (Fast)Verdopplungsaufgaben und Nachbaraufgaben sind Spezialfälle der Strategie
• wichtig: bei Aufgaben mit Zehnerüberschreitung sollte nicht einseitig auf die Verwendung der Strategie “Ergänzen zum vollen Zehner” hingearbeitet werden

Question 12

Addition - heuristische Strategien

Gegensinniges Verändern

Answer 12

• durch gegensinniges Verändern der beiden Summanden ändert sich das Ergebnis nicht
  
  • 6+8 = 7+7

Question 13

Addition - Ziel

Answer 13

= dass die Zahlensätze des Kleinen 1+1 am Ende des 1. SJs entweder auswendig gekonnt werden oder durch heuristische Strategien rasch zu finden sind

Achtung: Realität oft anders!

Question 14

Addition

Automatisierendes Üben

Answer 14

Ziel: Einübung von Fertigkeiten spielt entscheidende Rolle

Question 15

operatives Üben

Answer 15

= Übungsformen, die geeignet sind “vielfältige” Zusammenhänge und Beziehungen herauszuarbeiten und für weitere Aktivitäten zu nutzen

• fordert und fördert ein bewegliches Umgehen mit Zahlen und Rechenoperationen
• Ziel:
  
  • Föderung des flexiblen Denkens
    
    • dies Bedeutet auf der Ebene von Aufgabe u.a. das Herstellen, Erkennen und Anwenden von vielfältiger Beziehungen, Abhängigkeiten und Zusammenhänge durch
      
      • Umkehren (Umkehraufgaben, Probeaufgaben)
      • Vertauschen (Tauschaufgaben)
      • Bildung benachbarter Aufgaben
      • Bildung analoger Aufgaben
      • Zerlegungn von Aufgaben in Teilschritte
      • Zusammensetzen von Teilschritten zu größeren Komplexen
      • Beschreiten verschiedener Lösungswege (andere Reihenfolge, Umwege gehen, Wege verkürzen, vorteilhaft zusammenfassen usw.)
      • Variation von Daten
• Bsp. für operative Übungsformen = Rechenpyramide
  
  • Schwierigkeitsgrad wächst durch Höhe der Pyramide
  • Größe der eingesetzten Zahlen
  • Verteilung der Zahlen

Question 16

Gleichheitszeichen

Answer 16

• Gleichheitszeichen wird oft von Kindern im Sinn von “ergibt” interpretiert
  
  • Gleichheitszeichen trennt hierbei die Aufgabe von Ergebnis <- kann zu Problemen führen!
• besser von vorenrein ist die “algebraische Gleichheitssicht” im Unterricht anstreben, d.h. Gleichheitszeichen steht für
  
  • Gleichheit
  • Gleichwertigkeit
  • wechselseitiger Austauschbarkeit

=> lässt sich wie folgt in der Sprache der Grundschulkinder formulieren: “Auf beiden Seiten von = muss dasselbe herauskommen, wenn man ausrechnet”

• um einseitigen Gebrauch entgegen zu wirken sollte von anfang an die Sprechweise “ist gleich” verwendet werden und bei Tauschaufgaben, Umwandlungen von Größen, Ergänzungs- und Zerlegungsaufgaben thematisiert werden

Question 17

Fehlergruppen bei der mündlichen Addition

Answer 17

• Fehler bei der Erfassung des Stellenwertes von Ziffern
  
  • beruht häufig auf der Inversion bei zweistelligen Zahlen
  • Gegenmaßnahmen:
    
    • Sprech- und Schreibweise bei zweistelligen Zahlen besonders sorgfältig thematisieren
• Rechenrichtungsfehler
  
  • irrtümliche Subtraktion bei der Addigion
  • Minus- Eins -Fehler
    
    • 27 + 11=36
      
      • Nachbaraufgabe 27+10 wird korrektgelöst bei 27+11 statt 37+1 jedoch 37 - 1 gerechnet
  • 44+9 = 47
    
    • 3 wird dann jedoch von 50 abgezogen, da “6 um 3 weniger als 9”
    • es wird richtig 44+6= 50 gerechnet

Gegenmaßnahmen

• beim Einsatz von Arbeitsmitteln darauf achten, das sie das Einhalten einer konsequenten Operationsrichtung fördern und nicht erschweren!
• Strategiekonferenzen zur Analyse von Fehler nutzen

Question 18

Typen von Subtraktionsaufgaben

Answer 18

• Subtraktion als Abziehen (oder Wegnehmen)
  
  • symbolisch: 8-5=_
• Subtraktion als Ergänzen
  
  • symbolisch 5+_=8
• abhängig von der Sachsituation und der größe der Differenz zweischen dem Minuenden und dem Subtrahenden, ob Abziehen (als Rückwärtszählen) oder das Ergänzen (als Vorwärtszählen) näher liegt

Question 19

Informelle Lösungsstrategien bei der Subtraktion ( Zählstrategien)

Answer 19

Zählstrategien mit Materialeinsatz

• Wegnehmen
• Ergänzen

Reine Zählstrategien

• Rückwärstzählen (um eine gegebene Zahl von Schritten)
  
  • klare Verwandtschaft zur Strategie Wegnehmen mit Material
  • Problem
    
    • es ist gleichzeitiges Zählen in entgegengesetzte Richtungen (doppeltes Zählen) nötig
      
      • rückwärts - zum abziehen
      • vorwärts - zur Erkennung wie viel Schritte noch rückwärts zu gehen sind
      • => Fehler - Ergebnis weicht um 1 nach oben/unten vom wirklichen Ergebnis ab
        
        • Ursache:
          
          • K zählen die beiden Eckzahlen mit, Bsp. 8-5=4
          • K zählen die beiden Eckzahlen nicht mit, Bsp. 8-5=2
• Rückwärtszählen (bis zu einer gegebenen Zahl)
  
  • doppeltes Zählen in entgegengesetzte Richtungen erforderlich
  • Ergebnis weicht häufiger um 1 nach oben/unten vom richtigen ab
• Vorwärtzählen
  
  • enge Verwandtschaft mit der Strategie Ergänzen mit Material & Weiterentwicklung dieser
  • durch oben genannte Zählfehler weicht das Ergebnis häufig um 1 nach oben/unten ab

Bei Subtraktion sind Zählstrategien anfangs hilfreich, erreichen jedoch bereits im oberen Bereich des Zwanzigerraums ihre Grenzen => möglichst bald Einführung von heuristischen Strategien

Question 20

Aufgabensituationen bei der Subtraktion

Answer 20

• dynamische Situationen
  
  • Abziehen
  • Ergänzen
• statische Situationen
  
  • Vergleichen
  • Verändern

=> Beim Abziehen liegt nur das Subtrahieren nahe

=> beim Ergänzen, Verändern, Vergleichen kann sowohl addiert als auch subtrahiert werden!

weitere Unterscheidungsmöglichkeiten - Was wird gesucht?

• Ergebnis
• Ausgangsgröße oder eine Teilgröße
• die Veränderung bzw. Unterschied

Question 21

Subtraktion im Anfangsunterricht

Answer 21

• größte Bedeutung für AU haben
  
  • Abziehen
    
    • Argumente:
      
      • gilt als natürliche Sinngebung der Subtraktion
      • mehr alltägliche Sachsituationen sind von diesem Typ
    • Bsp: 17-3 leichter durch Abziehen zu lösen
  • Ergänzen
    
    • Argumente:
      
      • beim zählenden Lösen ist das Vorwärtszählen leichter
      • Zusammenhang zw. Addition und Subtraktion wird sichtbar
    • Bsp. 17–15 leichter durch Ergänzen zu lösen
• Von Sachsituation => Handlung an strukturierten Arbeitsmitten
  
  • Wichtig: Arbeitsmittel so auswählen, dass Ablösung vom zählenden Subtrahieren leicht fällt & Übergang zu heuristischen Strategien nahe liegt

Sprechweise: “minus”

Question 22

Heuristische Strategien bei der Subtraktion

Answer 22

• Analogieaufgaben
  
  • Bsp: 7-3=4 => analog 17-3=14
  • Gültigkeit dieser Aufgaben kann am Rechenfeld oder Rechenrahmen gut begründet werden!
• Nachbaraufgaben
  
  • Bsp:
    
    • 17-8 via Nachbaraufgaben 18-8=1, daher 17-8=9
    • ausgehend von leichten Aufgaben z.B. 16-6 schrittweise Lösung der Nachbaraufgaben 16-7, 16-8, 16-9 sowie 16-5, 16-4, 16-3
• Halbierungsaufgaben/ Fasthalbierungsaufgaben
  
  • ausgehend von Halbierungsaufgaben, lassen sich Fasthalbierungsaufgaben (spezielle Nachbaraufgaben) leicht lösen!
• Schrittweise Rechnen
  
  • komplexere Aufgaben häufig so gelöst
  • meist mit Zehn bzw. Zehnerzahlen als Bezugspunkt
  • Bsp: 14-6 über 14-4 und 10-2
  • lässt sich gut am 20er Rahmen entdecken
  • Hilfreich bei Notation & Rechnen
    
    • Pfeildiagramme, Rechenstrich & Zahlenstrahl
• Umkehraufgaben
  
  • Subtraktion = Umkehroperation der Addition => SuS müssen nicht Kleine 1+1 und Kleine 1-1 auswendig Wissen sonderen können durch Rückgriff auf bekannte Additionsaufgaben Subtraktionsaufgaben leichter lösen
  • Bsp. 17-9 Rückgriff auf 9+8=17 des Kleinen 1+1 => ohne Rechnen 17-9=8

Ab Hunderterraum

• Gleichsinnige Verändern
  
  • mathematische Grundlage
    
    • Gesetz der Konstanz der Differenz
      
      • Verändern wir den Minuenden und den Subtrahenden um die gleiche Zahl so bleibt das Ergebnis gleich
  • Kindgemäße Begründung des Gesetzes via
    
    • Hunderterrechenrahmen
    • besser via Vertraute Alltagssituationen
      
      • Altersunterschied 2er Kinder ( jetzt, in 5/ 10 Jahren, vor 3 jahren)
      • Größenunterschied 2 er Kinder (vor der Treppe, beide auf Stufe 1,3…)
      • etc.

Question 23

Operatives Üben bei der Subtraktion

Answer 23

• s. Karte operatives Üben

Ergänzung:

• durch systematische Veränderung von Daten
  
  • Vergrößerung der ersten Zahl und unverändertem Beibehalten der zweiten Zahl
  • Verkleinerung der ersten Zahl und unverändertes Beibehalten der zweiten Zahl
  • Beibehalten der ersten Zahl und Vergrößerung/ Verkleinerung der zweiten Zahl
  • Gleichgerichtete Vergrößerung/ Verkleinerung beider Zahlen um denselben Betrag
  • Entgegengesetzte Veränderung beider Zahlen um denselben Betrag
  • Ziel dieser operativen Übungsform =Entdecken von Gesetzmäßigkeiten und Zusammenhängen bei der Veränderung der Ergebnisse durch oben genannte Variationen

weiterhin

• empfiehlt es sich Addition und Subtraktion in Form von Aufgabennetzen oder Aufgabenfamilien zu behandeln
  
  • Begründung
    
    • Unterstützt das Entdecken und Betonen von Zusammenhängen beim Kleinen 1-1

Beispiel: Subtraktionstafel

• bietet viele Möglichkeiten zur Variation der Aufgabenstellung
• und zur Differenzierung nach dem Schwierigkeitsgrad

Question 24

Problembereiche der Subtraktion

Answer 24

• fällt K viel schwerer als Addition
  
  • Ursache hierfür
    
    • Defizite beim Rückwärtszählen
    • nicht ausreichende Verdeutlichung des Zusammenhangs von Addition und Subtraktion
    • Tatsache, dass Addition mehr Aufmerksamkeit im Unterricht geschenkt wird als der Subtraktion

Hauptfehlergruppen

• Fehler bei der Erfassung des Stellenwertes der Ziffern
  
  • Bsp.:
    
    • 92-30=26
    • 75-42=15
  • Gegenmaßnahme
    
    • auf Inversion achten
    • Sprech- und Schreibweise zweiziffriger Zahlen besonders sorgfältig Einführen
    • Ursache u.a.
      
      • Unsicherheiten über den Zusammenhang von Schreib- und Sprechweise ( Inversion)
• Rechenrichtungsfehler
  
  • Bsp:
    
    • 67-29=36
    • 52-7=55
  • Ursache u.a.
    
    • Unsicherheiten bezgl. der Rechenrichtung bei heuristischen Strategien
  • Gegenmaßnahme
    
    • bei heuristischen Strategien - wie Nachbaraufgabe o. Schritweises Rechnen - besondere Sorgfalt auf Einhaltung der Rechenrichtung zu legen
    • besonderen Nachdruck auf Begründung bei der Anwendung von Rechenstrategien zu leben
      
      • Bsp: 67-29 -> ich rechne 67-30=37 & habe daher 1 zuviel abgezogen, dass Ergebnis von 67-29 muss um 1 größer sein => 67-29=38

Question 25

Multiplikation

Informelle Lösungsstrategien zur Lösung multiplikativer Kontextaufgaben vor der Erarbeitung der Multiplikation

Answer 25

Achtung: Kinder sind schon vor der systematischen Erarbeitung der Multiplikation in der GS in der Lage multiplikative Sachsituationen erfolgreich zu lösen.

Lösungsstrategien:

• direktes Modellieren mit Material/ Vollständiges Auszählen
  
  • hierbei wird die Aufgabe meist direkt modelliert & die Gesamtzahl durch vollständiges Auszählen (meist in Einerschritten) gewonnen
• Rythmisches Zählen in gleichgroßen Teilschritten (mit/ ohne Material)
  
  • Beim Zählen der Elemente wird simultan die Anzahl der gleichgroßen Teilabschnitte, z.b. mit den Fingern mitgezählt (z.B. 4*3 => 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12
• Benutzen von Zahlenfolgen (mit/ ohne Material)
  
  • bei 4*3 => 3,6,9,12
• Wiederholtes Addieren gleicher Summanden
  
  • Bsp 4*3 => 3+3=6 6*3= 9 9+3= 12 oder 3+3= 6 6+6= 12
• Multiplikative Rechnungen
  
  • d.h. Ergebnis der entsprechenden Multiplikationsaufgbae ist schon bekannt oder es wird aus bekannten 1x1-Fakten abgeleitet

Neben diesen Strategien gibt es auch Übergangsformen, d.h. “Kombinationen” aus verschiedenen Strategien

Question 26

Grundvorstellungen Multiplikation

Answer 26

• Zeitlich - sukzessive Handlungen
• Räumlich - simultane Anordnung
• Kombinatorische Aufgabenstellungen
• weitere multiplikative Kontextaufgaben

Question 27

Grundvorstellungen Multiplikation

Zeitlich - sukzessive Handlungen

Answer 27

• Gesamtmenge entsteht durch mehrmalige Wiederholung der gleichen Handlung im Zeitablauf => sie entsteht “zeitlich - sukzessiv (= dynamische Komponente der Multiplikation)
• Mathematischer Hintergrund
  
  • Vereinigung paarweise elementfremder. gleichmächtiger endlicher Mengen
  • bzw. auf der Zahlebene die wiederholte Addition gleicher Summanden
• hat engen Zusammenhang zur Umgangssprache (einmal, zweimal..)
• Ermöglicht herstellen des Zusammenhangs zw. Multiplikation und wiederholter Addition gleicher Summanden

Question 28

Grundvorstellungen Multiplikation

Räumlich - simultane Anordnung

Answer 28

• Gesamtmenge kann auf einen Blick (simultan) überschaut werden und ihre Anzahl aufgrund der räumlichen Anordnung leicht betimmt werden (=> statische Komponente der Multiplikation)
• Mathematischer Hintergrund:
  
  • Vereinigung paarweise elementfremder, gleichmächtiger, endlicher Mengen
  • bzw. auf Zahlebene wiederholte Addition gleicher Summanden
• eignet sich besser zur Begründung von Rechengesetzen und heuristischer Strategien bei der Erarbeitung des 1x1, als die zeitlich-sukzessive Handlung
• dennoch beide Aspekte in einem engen Zusammenhang, so dass eine Diskussion welcher Aspekt besser zur Einführung der Multiplikation geeignet ist hinfällig ist!
  
  • jede zeitlich-sukzessive Handlung ist am Ende in einer räumlich-simultanen Anordnung darzustellen
  • jede räumlich-simultane Anordnung kann als zeitlich-sukzessiv entstanden gedacht werden

Question 29

Grundvorstellungen Multiplikation

Kombinatorisches Aufgabenstellung

Answer 29

• Hintergrund
  
  • Bildung sämtlicher möglicher Kombinationen aus den Elementen einer ersten und den Elementen einer zweiten Menge
• Übersicht über alle Lösungen kann durch
  
  • Baumdiagramm
  • oder eine Tabelle (Matrix) erhalten werden
    
    • durch Tabelle lässt sich der Zusammenhang des kombinatorischen Ansatzes mit der Multiplikation als wiederholte Addition gleicher Summanden erarbeiten
    • jede Zeile der Tabelle repräsentiert jeweils einen Summanden
• Mathematischer Hintergrund
  
  • = kartesische Produkt (Kreuzprodukt) A x B zweier Mengen A und B
    
    • besteht aus den Mengen aller geordneter Paare, deren erste Komponente aus der Menge A und deren zweite Komponente aus der Menge B stammt
      *

Question 30

Grundvorstellung Multiplikation - Kombinatorische Aufgabenstellungen

Nachteile

Answer 30

Nachteile dieses Zugangsweges:

• Benutzung von Arbeitmitteln nur mit starken Einschränkungen möglich, da die Gesamtheit an Kombinationen nicht gleichzeitig gelegt werden kann => bilden von hypothetischen Kombinationen von Nöten, große Schwierigkeiten für Kinder der Klasse 2
• Vorerfahrungen der Kinder sehr gering
• Anwendungsbezug ist sehr eng auf ein spezielles mathematisches Gebiet bezogen!
• Umgangsprache (zweimal, dreimal…) steht nicht als Anknüpfungspunkt zur Verfügung
• Zusammenhang zwischen Multiplikation und Division als Umkehroperation relativ schwer herzustellen

=> Einführung der Multiplikation als Kreuzprodukt nicht sinnvoll

Nach einer anderweitigen Einführung der Multiplikation dennoch einige Aufgaben dieses Aspekts ansprechen, da es einige reale Umweltsituationen gibt bei denen dieser Aspekt hilfreich ist.

Question 31

Grundvorstellungen Multiplikation

Weitere multiplikative Kontextaufgaben

Answer 31

• Multiplikativer Vergleich
  
  • Bsp. Katja hat 6 € gespart. Ihre große Schwester hat schon 5mal soviel in ihrer Spardose. Wie viel Geld hat ihre große Schwester?
• Multiplikatives Ändern
  
  • Bsp. Eine Lotterie lockt mit folgendem Versprechen: Im Fall eines Gewinnsn verdreifacht sich ihr Einsatz. Wie hoch ist die Auszahlung bei einem Einsatz von 10 €?
• Proportionalität
  
  • Bsp. In einer Minute laufe 7 Lier aus einem Wasserhan. Wie viel Lieter laufen in 9 Minuten aus dem Hahn?
• Verkettung von Vervielfältigungsoperatoren
  
  • Bsp. Der Elefant Otto verdreifacht im ersten Jahr sein Geburtsgewicht. Im zweiten Lebensjahr verdoppelt er sein Gewicht. Das Wie vielfache seines Geburtsgewichts hat er am Ende des zweiten Lebensjahres?
• Formelhafte Multiplikation von Größen
  
  • Bsp. Ein kleines rechteckiges Gartengrundstück ist 6 m lang und 11 m breit. Wie groß ist das Flächenstück?

Question 32

Grundvorstellungen Multiplikation

Unterscheide im Schwierigkeitsgrad der 8 multiplikativer Kontextaufgaben (= Grundvorstellungen)

Answer 32

• Aufgaben vom Typ räumlich-simultane Anordnung am leichtesten
• Aufgaben vom Typ multiplikativer Vergleich nehmen eine mittlere Position ein
• kombinatorische Aufgaben fallen den Kindern am schwersten!

Neben den Kontexten beeinflussen allerdings noch Viele Variable die Erfolgsquote bei Kontextaufgaben, z.B.:

• mathematische Struktur
  
  • Art und Anzahl der Lösungsschritte,
  • Rechenaufwand,
  • Größe der Zahlen
• sprachlich-syntaktische Struktur
  
  • direkte oder indirekte Angaben
  • lösungskonforme Reihenfolge der Angaben
  • Schlüsselwärter
  • Art der Frage
  • etc.

Question 33

Grundvorstellungen Multiplikation

Resümee

Answer 33

• zur Einführung der Multiplikation
  
  • Kombination der beiden ersten Wege
    
    • Weg 1: dynamisch; zeitlich-sukzessiv
    • Weg 2: statisch, räumlich-simultan
  • zurückgegriffen werden - Begründung: bessere Erarbeitung & Begründung der Rechengesetze und heuristischen Strategien möglich
• Ergänzung dieser beiden Kontextaufgabentypen durch
  
  • einzelne Kombinatorische Aufgabenstellungen
  • einzelne Aufgaben zum multiplikativen Vergleich
  • einzelne Aufgaben zum multiplikativen Ändern
  • einzelne Aufgaben zur Proportionalität

-> eng mit dem Sachrechnen verbunden in den Unterricht integrieren

Question 34

Multiplikation

Rechengesetze

Answer 34

• Kommutativ- oder Vertauschungsgesetz
  
  • Für alle natürlichen Zahlen a,b gilt:

a*b= b*a

• Assoziativ- oder Verbindungsgesetz
  
  • Für alle natürlichen Zahlen a,b,c gilt:

(a*b)*c= a*(b*c)

• Distributiv- oder Verteilungsgesetz
  
  • (a) Für alle natürlichen Zahlen a,b,c gilt:

(I) a*(b+c) = a*b + a*c

(II) (a+b)*c= a*c + b*c

• (b) Für alle natürlichen Zahlen a,b,c mit b>c bzw. a>b gilt:

(III) a* (b-c) = a*b - a*c

(IV) (a-b) = a*c - b*c

Achtung:

Diese Gesetze werden in der GS nicht abstrakt formuliert!

SuS lernen sie als Rechenvorteile kennen =>

• wegen Gültigkeit Kommutativgesetz neue Aufgaben auf schon bekannt zurückzuführen
  
  • reduziert die Anzahl der Aufgaben auf rund die Hälfte + Rechenkontrolle bei mündl., halbschriftlicher, Schriftlicher Multiplikation
• wegen Gültigkeit Assoziativgesetz z.B. 4*3 als Verdopplung von 2*3 lösbar, Gesamte Achterreihe als Verdopplung der Viererreihe oder die Berechnung einiger Multiplikationsaufgaben mit 3 Faktoren vereinfachen
  
  • Spezialfälle dieses Gesetzes
    
    • Verdoppeln
      
      • Verdoppelt man in einem Produkt einen Faktor, so verdoppelt man das gesamte Produkt
    • Halbieren
      
      • Halbiert man in einem Produkt einen Faktor, so halbiert man das gesamte Produkt
    • Begründung mit Hilfe des 100ter-Feldes leicht veranschaulichbar)
    • ist nur schwer durch eine für GS SuS durchschaubare Strategie in der Ebene zuzeigen - besser mithilfe von Würfeln
• wegen Gültigkeit Distributivgesetz eine schwierige Aufgabe hääufig auf zwei leichtere Teilaufgaben zurückführbar
  
  • von größter Bedeutung für halbschriftliche und schriftliche Rechenverfahren
  • bei schriftlicher Multiplikation genügt Distributivgesetz in additiver Schreibweise
  • bei halbschriftlicher Multiplikation ist es auch zru Subtraktion hilfreich
  • Nachbaraufgaben = Spezialfälle des Distributivgesetzes

Question 35

Multiplikation

Wie erarbeiten?

Answer 35

Ganzheitlich?

• zunächst vie Anschauungsmittel und unter Betonung des Anwendens vielfältiger Lösungsstrategien, ohne die einzelnen Einmaleinsreihen gezielt in den Blick zu nehmen

Schrittweise?

• nach vorläufiger Konzentration auf einige situationsgebundene Aufgaben zum Operationsverständnis ausschließliche Konzentration auf die Erarbeitung der Einmaleinsreihen und somit schrittweisen Aufbau des kompletten Einmaleins

Guter Zugangsweg = Kombination beider Wege!

• einerseits ganzheitliche Erarbeitung, bei der konsequent auf die Zusammenhänge zwischen den einzelnen Multiplikativenaufgaben unabhängig von dem Korsett der Einmaleinsreihen hingearbeitet wird -> da hier Kinder exemplarisch Lösungsstrategien entdecken können
• Andererseits systematische Erarbeitung der Aufgaben der verschiedenen Reihen unter Beachtung ihrer Zusammenhänge - > da dies hilft, die Fakten des 1x1 über Stützpunkd oder Königsaufgaben innerhalb der Reihen einzuprägen

Question 36

Multiplikation

Heuristische Strategien

Answer 36

• Nachbaraufgaben
  
  • Veränderung des 1. Faktors um 1
  • Veränderung des 2. Faktors um 1
  • additive oder Subtraktive Veränderung?
  • Mathematischer Hintergrund = Spezialfälle des Distributivgesetzes
• Tauschaufgaben
  
  • mathematischer Hintergrund = Kommutativgesetz
• Verdopplungs/ Halbierung eines Faktors
  
  • mathematischer Hintergrund = Spezialfälle des Assoziativgesetzes
• Zerlegung eines Faktors
  
  • Nachbaraufgaben = Spezialfälle dieser Strategie
  • Unterscheidung auch hier zw.
    
    • Veränderung des 1. Faktors
    • Verämderung des 2. Faktors
    • additive oder Subtraktive Veränderung
  • mathematischer Hintergrund = Distributivgesetz
• Gegensinniges Verändern beider Faktoren
  
  • = sehr anspruchvolle Strategegie
  • wird der 1. Faktor verdoppelt & der 2. Faktor halbiert oder allgemein Faktor 1. mal n & Faktor 2 geteilt durch n führt dazu, dass das Produkt unverändert bleibt
  • Mathematischer Hintergrund = Beziehung (n*a)*( 1/n*b) = (n*1/n)*(a*b), gilt wegen Assoziativ & Kommutativgesetz im Bereich der rationalen Zahlen (Bruchzahlen) generell
• schrittweise Rechnen

Question 37

Multiplikation

Problembereiche

Answer 37

Wichtigsten Fehler lassen sich in folgende Fehlerkategorien unterscheiden

• Fehler mit der Null und Eins
• Fehler bei der Anwendung elementarer Strategien
• Perservartionsfehler
• Fehler bei der Anwendung von Rechenstrategien

Viele außer dem Nullfehlern beruhen die meisten Fehler beim Kleinen 1x1 auf der Anwendung elementarer Strategien, ins besondere auf der Anwendung von Zählstrategien
=> Ziel im Unterricht muss sein, dass so rasch wie möglich möglichst viele Kinder den Übergang zu den heuristischen Strategien beim kleinen 1x1 schaffen!

Question 38

Multiplikation - Problembereiche

Fehler mit der Null und der Eins

Answer 38

Ursache:

• Fehlerhafter Transfer von der Addition/ Subtraktion
• Falsche oder unsichere Vorstellungen von der Null (z.B. Null = Nichts)
• Vernachlässigung der Multiplikation mit Null (und Eins) bei der Einführung der Multiplikation und bei der Einübung des 1x1
• Keine Möglichkeit der Zurückführung der Multiplikation mit Null und Eins auf die wiederholte Addition gleicher Summanden
• Fehlvorstellung, dass Multiplizieren stets vergrößert

=> Erarbeitung der Multiplikation muss der Multiplikation Null (und 1) besondere Aufmerksamkeit geschenkt werden & Multiplikationen mit Null und Eins müssen bei der Einübung des 1x1 gezielt berücksichtig werden!

Question 39

Multiplikation - Problembereiche

Fehler bei der Anwendung elementarer Strategien

Answer 39

Bsp. 6*3=15 4*4= 12

K löse Aufgaben noch durch Aufsagen der betreffenden 1x1-Reihe, d.h. durch wiederholte Addition oder z.T. sogar durch rhythmisches Zählen

-> Verzählen um eins bei der Bestimmung der Anzahlschritte hierbei leicht möglich!

Question 40

Multiplikation - Problembereiche

Perservationsfehler

Answer 40

Bsp. 7*6= 47 9*5 = 49

zuvor benutze Zahlen beim Rechnen wirken noch nach => setzen sich beim Ergebnis durch

Problem wird noch zusätzlich verstärkt durch Betonung des 1. Faktors

Question 41

Multiplikation - Problembereiche

Fehler bei der Anwendung von Rechenstrategien

Answer 41

Bsp. 9*4= 31 6*9=51

Enstehung: Fehlerhafte Anwendung heuristischer Strategien

Kommentar zum Bsp:

1. Beispiel : von 10*4 wird fälschlicherweise der 1. Faktor abgezogen
2. Beispiel: von 6*10 wird fälschlicherweise der 2. Faktor abgezogen oder 5*9 statt der zweiten Faktors 9 wird der 1. Faktor 6 addiert

Question 42

Informelle Strategien Division

Answer 42

Kinder sind schon vor der systematischen Erarbeitung der Division in der GS in der Lage eine Vielzahl verschiedener Kontextaufgaben zur Division erfolgreich zu lösen.

Dabei angewandte Informelle Strategien

• Direktes Modellieren mit Material/ Vollständiges Auszäheln
  
  • Strategie ist kaum mehr als ein “primitives Zählen, das auf eine korrekte Interpretation der Kontextaufgabe angewandt wird
• Wiederholte Subtraktion
• Wiederholte Addition
• Rückgriff auf Multiplikation

letzten 3 Strategien werden wie folgt in weitere Rechenstrategien unterteilt:

• Wiederholte Subtration
  
  • rhythmisches Rückwärtszählen
  • Benutzung von Zahlenfolgen rückwärts
  • wiederholte Subtraktion
  • additives Halbieren
• Wiederholte Addition
  
  • rhythmisches Vorwärtszählen
  • Benutzung von Zahlenfolgen vorwärts
  • wiederholte Addition
  • addititves Verdoppeln
• Rückgriff auf Multiplikation
  
  • z.T. erst schätzen der Lösung & dann überprüfen durch Multiplikation
  • Suchen eines Vielfachen des Divisors, das gleich dem Dividenden ist ohne die ganze Folge der Vielfachen zu durchlaufen

Question 43

Division

Grundvorstellungen

Answer 43

Wichtig: Multiplikation und Division hängen zwar eng zusammen, dennoch sollte ihre Einführung nicht gleichzeitig erfolgen. Zuerst muss ein gutes Verständnis für die Multiplikation, sowie einige rechnerische Sicherheit im Hunderterraum erreicht sein, bevor Division erfolgreich eingeführt werden kann.

• Aufteilen
• Verteilen
• Umkehroperation
• Wiederholte Subtraktion
• Multiplikativer Vergleich

Question 44

Grundvorstellungen Division

Aufteilen

Answer 44

• eine gegebene Menge wird restlos in Teilmengen mit jeweils n Elementen aufgeteilt
• Aufteilen = Tätigkeit die zur Zerlegung einer Menge M in gleichmächtige, paarweise elementfremde Teilmengen führt
• Gesucht: ist die Anzahl der Teilmengen
• Gegeben: Elementanzahl der Menge M und die Elementanzahl der Teilmengen

Vorteile:

• Anwendungsnähe
• Anschaulichkeit
• enger Zusammenhang zur Multiplikation
• wie bei Multiplikation Unterscheidung zw.
  
  • zeitlich-sukzessiv
  • räumlich-simultan
• leicht erkennbar Zusammenhang zur Subtraktion
• Handlung d. Aufteilens lässt sich auch mit Stäben oder gezeichneten Strecken ausführen = Messen

Question 45

Grundvorstellung Division

Verteilen

Answer 45

• = Tätigkeit, die zur Zerlegung einer Menge in gleichmächtige, paarweise elementfremde Teilmengen führt
• Gesucht: Anzahl der Elemente je Teilmenge
• Gegeben: Elementanzahl der Menge M sowie die Anzahl der Teilmengen
• Schwierigkeiten beim Verteilen im mathematischen Sinn kann es geben, da hier nur die Anzahl als Kriterium für Gerechtigkeit interessiert, während die K aus dem Alltag wissen, dass auch weitere Kriterien z.B. Größe darüber entscheidet ob gerecht oder ungerecht verteilt wurde => bei enaktiver Realisation des Verteilens möglichst homogene Materialien benutzen

Vorteile:

• eine gegebene Menge kann auf verschiedene Arten verteilt werden
• Zusammenhang zur Multiplikation ist herstellbar
• Restschreibweise lässt sich problemlos einführen
• Unterscheidung zw.
  
  • zeitlich-sukzessiven Kontexten
  • räumlich-simultanen Kontexten

Question 46

Grundvorstellung Division

Wie kommt man vom Aufteilen & Verteilen zu einem guten Grundverständnis der Division?

Answer 46

Unterschied Aufteilen - Verteilen

Aufteilen: wird die Anzahl der Teilmengen gesucht

Verteilen: wird die Anzahl der Elemente je Teilmenge gesucht

für GS Kinder ist für ein gründliches Verständnis der Division folgendes erforderlich:

• bei Vorgabe einer konkreten Aufteil- oder Verteilsituation die zugehörige Divisionaufgabe angeben und lösen können
• Bei Vorgabe einer Divisionsaufgabe sowohl eine Aufteil- wie eine Verteilaufgabe nennen und auf dieser Grundlage die Divisionsaufgabe anschaulich lösen können

Klassifizierung der gegebenen Kontextaufgaben als Auteil- oder Verteilaufgabe müssen die Lehrkräfte, nicht jedoch die GS- SuS beherrschen

Beherrschung der Klassifikation ist für GS Kinder aus folgenden Gründen fragwürdig:

• der Sprachgebrauch in der Umgangssprache deckt sichhäufig nicht mit dem in der Fachsprach (“Teile die Bobons auf 3 Kinder auf”)
• Es gibt anwendungsbezogene Divisionsaufgaben, die weder Aufteilen noch dem Verteilen zuzuordnen sind (Umkehraufgaben zum kombinatorischen Aspekt der Multiplikation), dass Klassifikationsschema ist also erschöpft
• Eine begriffliche Unterscheidung ist für die gewünschte Rechenfertigkeit sowie für die Fähigkeit, die Division in entsprechenden Anwendungssitutaionen anwenden zu können, von der Sache her nicht notwendig
• Eine begriffliche Unterscheidung überfordert das Abstraktionsvermögen viele GS-SuS

Beim Erarbeiten des Aufteilens und Verteilens im Unterricht weist das Aufteilen sowohl auf der ikonischen als auch auf der symbolischen Ebene deutliche Vorzüge gegenüber dem Verteilen auf

• Begründung bei der Erarbeitung von 12:4 (Aufteilen)
  
  • auf symbolischen Ebene
    
    • um welche 1x1 Reihe es sich handelt (Viererreihe)
    • stellen Frage: wie oft 4 vervielfachen bis wir 12 erhalten?
• Verteilen viel komplizierter, da bestimmt werden muss von welcher 1x1 Reihe das Vierfache 12 ergibt

Question 47

weitere Grundvorstellungen - Division

Umkehroperation

Answer 47

• Division = Umkehroperation der Multiplikation
  
  • Einführung ohne Rückgriff auf Aufteilen & Verteilen möglich
• Division bei diesem Weg nicht eigenständige Rechenoperation
• ergänzende Behandlung der Division als Umkehroperation der Multiplikation ist neben dem Haupteinführungsweg über das Aufteilen und Verteilen bei konkreten Erarbeitungen der Divisionsfakten im Hunderterraum unbedingt erforderlich

Question 48

Weitere Grundvorstellungen - Division

Wiederholte Subtraktion

Answer 48

• Einführung via wiederholte Subtraktion des Divisors
• Achtung enger Zusammenhang zw. Aufteilen und wiederholter Subtraktion
• ergänzende Thematisierung der Division als wiederholte Subtraktion ist aus folgenden Gründen notwendig/ sinnvoll
  
  • Nähe zum Aufteilen
  • so gute Anknüpfung an alle informellen Lösungsstrategien v. GS-Kindern möglich
  • wiederholte Subtrahieren für das halbschriftliche Dividieren eine zentrale Strategie
  • wiederholte Subtrahiern bei der Erarbeitung der schriftlichen Division im Sinne der fortschreitenden Schematisierung ein gut gangbarer Weg

Question 49

Weitere Grundvorstellungen - Division

Multiplikativer Vergleich

Answer 49

• Beispiel 1: Anna und ihre Freundin Vanessa sparen ihr Taschengeld. Anna hat 5 € gespart, Vanessa schon 45 € Wie viel mal so viel Geld wie Anna hat Vanessa schon gespart?
• Beispiel 2: Max und sein Freund Tim sparen ihr Taschengeld. Mat hat 5 mal so viel Geld gespart wie sein Freund Tim. MAx hat 35€ gespart. Wie viel Euro hat Tim gespart?
• > erste Aufgabe = Aufteilenaufgabe
• > zweite Aufgabe = Verteilaufgabe

=> ergänzende Behandlung des Multiplikativen Vergleichs als Aspekt der Division sinnvoll,

• da vergleichbare Sachsituationen im Alltag vorkommen
• Aufgaben vom Typ multiplikativer Vergleich oft Schwierigkeiten bereiten

Question 50

Heuristische Strategien Division

Answer 50

• Nachbaraufgaben
• Umkehraufgaben
• Verdoppeln/ Halbieren
• Schrittweise Rechnen
• Gleichsinniges Verändern von Dividend und Divisor

Wichtig: Sorgfältige Thematisierung der heuristischen Strategien von Nöten um zeitnah zu einer Ablösung der informellen Strategien durch die heuristischen zu kommen.

Question 51

Heuristische Strategien Division

Nachbaraufgaben

Answer 51

Kann durch Vergrößerung oder Verkleinerung des Dividenden um den Divisor entstehen

Question 52

Heuristische Strategien Division

Umkehraufgabe

Answer 52

Lösung der Divisionsaufgabe durch Rückgriff auf die zugehörige Multiplikationsaufgabe

Question 53

Heuristische Strategien Division

Verdoppeln/ Halbieren

Answer 53

• Durch Verdopplung oder Halbierung des Dividenden bzw. Divisors wird das Ergebnis gefunden
• Begründung der Strategie durch
  
  • Rückgriff auf die Grundvorstellung des Verteilens oder Aufteilens
• Rückgriff auf die entsprechende Aussage bei der Multiplikation

Question 54

Heuristische Strategien Division

schrittweise Rechnen

Answer 54

• leichteres Lösen der Aufgbae durch eine additive oder subtraktive Zerlegung des Dividenden in Vielfache des Divisors
• Mathematischer Hintergrund = Distributivgesetz
• Nachbaraufgaben = Sonderfälle dieser Strategie

Question 55

Heuristische Strategien Division

Gleichsinniges Verändern von Dividend und Divisor

Answer 55

• Ergebnis bleibt unverändert, wenn Dividend und Divisor mit derselben Zahl multipliziert bzw. durch dieselbe Zahl dividiert werden
• Grundvorstellung des Aufteilens oder Verteilens eignet sich gut für Begründung
• Strategie nur bei speziellen Zahlen mit wirklichem Gewinn anwendbar

Question 56

Division

Was ist für das gründliche Verständnis der Division notwendig?

Answer 56

Erwerb der Divisionsaufgaben im Hunderterraum

• durch Rückgriff auf die Grundvorstellungen des Aufteilens und Verteilens
• durch Rückgriff auf den Zusammenhang von Multiplikation und Division als Umkehroperation

Kein auswendiglernen des Kleinen 1:1!

Ziel des Unterrichts:

• Rückgriff auf Kernaufgaben ermöglichen

Übungen zum Kleinen 1:1 im Hunderterraum gut mit Multiplikationstabellen möglich <- Ausfüllen dieser erfordert im Wechsel die Berechnung von Multiplikations - und Divisionsaufgaben+ unterschiedliche Abfolgen führen zum Ziel!

Was ist fürs gründliche Verständnis der Division nötig?

• Thematisierung der Division in Sachkontexten, die die gesamte Breite der erforderlichen Grundvorstellungen abdecken
• Thematisierung der Division in strukturellen Kontexten, die es gestatten den Reichtum an innermathematischen strukturellen Beziehungen zu erarbeiten

Achtung: für Verstehen beide Ebenen wichtig, da

• Sachbezüge innhaltiches Verstehen fördern und stützen
• strukturelle Mathematisierungen ermöglichen oftmals erst den Sachverhalt mathematisch zu verstehen oder sogar neues Wissen über Sachkontext anzueignen

Question 57

Division

Sonderfall Null

Answer 57

• Verursacht viele Fehler => Sorgfältige Einführung wichtig, sonst Gefahr einer Verbotstafel im Kopf der SuS “Durch Null darf man nicht dividieren”
• Division als Umkehroperation der Multiplikation => leichtes lösen folgender Aufgaben:
  
  • 0:5=0, denn 0*5=0
  • 5:0 ist nicht definiert; denn es gibt keine natürliche Zahl n mit n*5=0
  • 0:0 ist nicht definiert; denn für alle natürlichen Zahlen n gilt n*0=0. Also können wir 0:0 nicht eindeutig einem Ergebnis zuordnen und daher 0:0 nicht sinnvoll definieren!

Achtung: oben dargestelltes Argumentationniveau zu hoch für GS SuS => Besser Argumentation via Vorstellungen des Aufteilens, des Verteilens oder der wiederholten Subtraktion

• Verteilen - Fall 1 gut begründbar; Fälle 2&3 Erklärung sehr gekünstelt oder nicht möglich
• Aufteilen - alle 3 Fälle sehr gekünstelt oder Erklärung nicht möglich
• wiederholte Subtraktion - Fall 1 nicht vernünftig begründbar; anderen beiden Fälle passabel begründbar

Alternative Möglichkeit:

Warten mit der Division durch 0 bis 5. Klasse, da für schriftliche Division nur der leichte Fall der Division von Null durch eine natürliche Zahl gebraucht wird, nicht hingegen die Division durch Null.

Question 58

Division mit Rest

Answer 58

• Gut einführbar auf Grundlage des Aufteilens und Verteilens
• Möglichkeit zur Vertiefung: Bestimmen aller Zahlen, durch die eine feste Zahl z.B.: 24 teilbar ist!:
  
  • so Einführung der Teilbarkeitsrelation und Überprüfung der Teilbarkeit bei natürlichen Zahlen anschaulich möglich, wenn man z.B. 24 ohne Rest

Im Lauf der Geschichte 3 verschiedene Schreibweisen -> wegen des Gleichheitszeichen bei der schriftlichen Division (wurde als Problem gesehen)

• 13:5=2 Rest 3 <- heute aktuelle
• 13:5=2*5 +3
• 13:5= 2+3*5

Question 59

Division und Distributivgesetz

Answer 59

• Existieren starke Entsprechungen zum Distributivgesetz bei der Multiplikation!
  
  • Unterschiede:
    
    • Distributivgesetz bei der Multiplikation gilt für alle natürlichen Zahlen - Distributivgesetz bei der Division nur für die Fälle, dass sämtliche auftretende Quotienten (schon) erklärt sind
      
      • Bsp: GS-Kinder sind nur die natürlichen Zahlen bekannt => sie sind nicht in der Lage zu schreiben (13+11):6= 13:6+11:6 <- Quotient 13:6 = 2 Rest 1 Quotient 11:6 nicht bekannt)
    • Distributivgesetz gilt nur, wenn das Divisionszeichen rechts von der Klammer steht
• Distributivgesetz bildet Grundlage für das Schrittweise Rechen
  
  • 272:8=(240+32):8= 240:8 + 32:8
• Dividieren durch Zehnerpotenz, Nullstreichungsregel via Stellenwerttafel begründbar

Question 60

Problembereiche Division

Answer 60

• Nullfehler
• Fehler bei Endnullen im Dividend und Divisor
• Fehler bei der Anwendung elementarer Strategien
• Fehler bei der Anwendung heurstischer Strategien
• Perservationsfehler

Question 61

Problembereiche Division

Nullfehler

Answer 61

0:0=1 5:0=0 5:0=5

• Fehler 1 & 2 durch naheliegenden, aber fehlerhaften Tranfser erklärbar
  
  • Dividieren wir eine natürliche Zahl durch sich selbst erhalten wir 1
  • Übertragung dieses Falls auf 0 - Probeaufgabe bestätigt die falsche Übertragung 1*0=0
• Fall 2: Fehlerhafter Transfer von der Multiplikation 5*0=0
• Fall 3: 5:0=5
  
  • Denkbare Schülerbegründung:
    
    • 5 durch 0 dividieren heißt 5 durch nichts dividieren, heißt 5 nicht dividieren, heißt 5 behalten => 5 bleibt stehen und es gilt 5:0=5
    • oder 5:0 “geht nicht” wird gleichgesetz mit dem Ergebnis 0

Question 62

Problembereiche Division

Fehler bei Endnullen im Dividend und Divisor

Answer 62

400:80 = 20 1000:200=500

• Fall 1: in Gedanken werden 1. Ziffern von Dividend und Divisor getauscht
• Fall 2: 10:2 = 5 und dann die beiden, bislang nicht berücksichtigten Endnullen hinten dran

Question 63

Problembereiche Division

Fehler bei der Anwendung elementarer Strategien

Answer 63

15:3= 6 20:5= 3

• Fehler passiert besonders oft beim Rückgriff auf elementare Strategien, wie
  
  • Aufsagen der 1x1 - Reihe (vorwärts oder rückwärts)
  • wiederholte Addition
  • wiederholte Subtraktion
• Beide Fehllösungen durch Verzählen um 1 leicht zu erklären
• Kinder velieren bei relativ langen Reihen leicht, dass Zil aus den Aufen => können die Aufgabe nicht mehr lösen
  
  • Bsp. 45:5 “ 5,10,15,20,25,30….25 ist vie….nein 5,10,15,20,… ich komme ganz durcheinander”
• Achtung: elementare Strategien besonders zeitaufwendig und fehleranfällig => möglichst frühzeitige Anwendung heuristischer Strategien bei Divisionsaufgaben ist daher notwendig

Question 64

Problembereiche Division

Fehler bei der Anwendung heuristischer Strategien

Answer 64

96:16= 10 155:5=301

• Fall 1:beide Zahlen werden in ihre Zehner und Einer zerlegtund jeweils getrennt berechnet 90:10= 9 und 6:6= 1 => 9+1=10
  
  • Fehlerstrategie ist bei der Division offensichtlich nur in wenigen speziellen Fällen anwendbar
• Fall 2: korrekte Rechnung 150:5= 30 und 5:5=1 Aufgrund von Flüchtigkeit oder mangelnder Kenntnis des Stellenwertsystems werden dann 20 und 1 zu 301 zusammengesetz
• Achtung: viele weitere Möglichkeiten für Strategiefehler existent!

Question 65

Problembereiche Division

Perservationsfehler

Answer 65

Perservation = rankhafte Beharren, Haftenbleiben oder Nachwirken von einmal aufgetauchten psychischen Eindrücken

77:7=17 45:9=9

• Fall 1: nachwirken der vielen vorkommenden Siebenen
• Fall 2: nachwirken des unmittelbar vorher genannten Divisors

Question 66

Problembereiche Division

Bei Kontextaufgaben (Sachaufgaben)

Answer 66

geglückte und fehlerhafte Zuordnungen von Rechenoperationen zu Kontextaufgaben hängen häufig von der Anordnung und Größer der Zahlen ab!

Bsp.

• Multiplikativer Vergleich 45:5
  
  • ” Weil ich gemerkt habe: Da sind ja 45(…) und dann noch 5 (…) da kann ich gar nicht 5*45 rechnen. Das geht ja gar nicht. Dann hab ich einfach 45 geteilt durch 5 erst mal gerechnet”
• Aufteilen 32:4
  
  • “Das sehe ich irgendwie, weil sonst würde da mehr stehen und da weniger. (Zeigt auf die Zahlen)