Entwicklung Zahlbegriff und Zählkompetenz Flashcards
Kognitive Fähigkeiten im Zusammenhang mit dem Zahlbegriffserwerb nach Piaget
- Prinzip der Invarianz
- Eins-zu-eins-Zuordnung
-
Klassifikation – Fähigkeit verschiedene Objekte aufgrund gewisser Merkmale zusammenzufassen
- Einfache Klassifizierung – nur ein Merkmal der Objekte ist zu berücksichtigen für die Klasseneinteilung
- Multiple Klassifizierung – Objekte werden nach mind. Zwei Merkmalen in Klassen eingeteilt
-
Bilden von Reihenfolgen (Seriation) – Objekte werden nach bestimmten Merkmalen geordnet
- Einfache Seriation – Objekte werden nach einem Merkmal geordnet
- Multiple Seriation – Objekte werden nach mehreren Merkmalen geordnet
Achtung: Kognitive Entwicklung läuft bei Kindern unterschiedlich schnell und mit individuellen Abweichungen bei der Art und der Stärke ihrer Ausprägung
Erwerb von Zählkompetenzen
(Was muss das Kind beherrschen?)
Zählen kann bedeuten
- Das Kinder die Zahlwortreihe fehlerfrei wieder geben können
- Das Kinder mit Hilfe der Zahlwortreihe bestimmen können, wie viele Elemente eine vorgegebene Menge hat.
- <- kann via Zählen oder via simultanes Erfassen (kleinere Mengen) bzw. quasi-simultanes Erfassen (größere Mengen) geschehen
Zählprinzipien
Um mit Hilfe des Zählen die Anzahl von Objekten richtig bestimmen zu können müssen Kinder folgende Teilkompetenzen (= Zählprinzipien) beherrschen:
- Eindeutigkeitsprinzip
- Prinzip der stabilen Ordnung
- Kardinalzahlprinzip
- Abstraktionsprinzip
- Prinzip der Irrelevanz der Anordnung
Kinder beachten bereits mit 2,5 – 3 Jahren die ersten Zählprinzipien (unbewusst). Mit 4-6 Jahren werden sie sich allmählich den ersten Zählprinzipien bewusst.
Zählprinzipien
Eindeutigkeitsprinzip
Jedem der zu zählenden Objekte wird genau ein Zahlwort zugeordnet.
Zählprinzipien
Prinzip der stabilen Ordnung
Die Reihe der Zahlwörter hat eine feste Ordnung.
Zählprinzipien
Kardinalzahlprinzip
Das zuletzt genannte Zahlwort beim Zählprozess gibt die Anzahl der Elemente der abgezählten Menge an.
Zählprinzipien
Abstraktionsprinzip
Die Zählprinzipien (1) und (3) können auf jede beliebige Menge angewandt werden, d.h. es kommt nicht darauf an, von welcher Art die Objekte sind, die gezählt werden.
Zählprinzipien
Prinzip der Irrelevanz der Anordnung
Die jeweilige Anordnung der zu zählenden Objekte ist für das Zählergebnis irrelevant.
Niveaus beim Erwerb der Zahlwortreihe (Fuson)
(Niveaus treffen in erster Linie auf den Erwerb der Zahlen 1-12 bzw. 20 zu -> alle anderen Bereiche werden durch Anwendung dekadischer Analogien erschlossen. Sie entwickeln sich nicht unbedingt nacheinander.)
- Niveau 1 – string level (deutsch: Zahlwortreihe als Ganzheit)
- Niveau 2 – unbreakable chain level (Unflexible Zahlwortreihe)
- Niveau 3 – breakable chain level (teilweise flexible Zahlwortreihe)
- Niveau 4 – numerable chain level (flexible Zahlwortreihe)
-
Niveau 5 – bidirectional chain level (vollständig reversible Zahlwortreihe)
6.
Niveaus beim Erwerb der Zahlwortreihe
Niveau 1 – string level
(deutsch: Zahlwortreihe als Ganzheit)
- Zahlwortreihe kann nur als Ganzes unstrukturiert eingesetzt werden
- Einzelne Zahlwörter werden in ihrer Sprachmelodie noch nicht erkannt (Zahlwortreihe hat Form: einszweidreivier…) => Einzelne Zahlwörter können nur via Aufsagen der kompletten Reihe angegeben werden
- Zahlwortreihe kann nur mit großen Einschränkungen zum erfolgreichen Zählen angewendet werden , da Eins-zu-Eins-Zuordnung wird noch nicht sicher beherrscht
Niveaus beim Erwerb der Zahlwortreihe (Fuson)
Niveau 2 – unbreakable chain level
(Unflexible Zahlwortreihe)
- Klare Unterscheidung einzelner Zahlwörter mögl. – dennoch Reihe von eins an aufgesagt -> kein Weiterzählen von anderen Zahl mögl.
- Zahlwortreihe kann zum Zählen eingesetzt werden=> Anzahlbestimmung mögl. (Kardinalzahl), sowie erste Fragen des Ordinalzahl und Maßzahlaspektes können beantwortet werden + erste Additions- und evtl. Subtraktionsaufgaben
- Durch Aufsagen der Zahlwortreihe erste Aussagen über größer/kleiner-Beziehungen mögl.
Niveaus beim Erwerb der Zahlwortreihe (Fuson)
Niveau 3 – breakable chain level
(teilweise flexible Zahlwortreihe)
- Einsetzten der Zahlwortreihe von jeder beliebigen Zahl aus mögl. (Weiter-, Rückwärtszählen, von einer – bis zu einer best. Zahl Weiter-/ Rückwärtszählen)
- Klare und rasches treffen v. Aussagen über Größer/Kleiner-Beziehungen;einzelne o. alle Zahlen zw. 2 Zahlen nennbar
- Effektives rechnen einfacher Additions- und Subtraktionsaufgaben
Niveaus beim Erwerb der Zahlwortreihe (Fuson)
Niveau 4 – numerable chain level
(flexible Zahlwortreihe)
- Jedes Zahlwort als Einheit aufgefasst
- Zahlwortreihe v. versch. Zahlwörtern aus beherrscht.
- Zahlwortreihe auch zur Bestimmung der Anzahl v. Zahlwörtern eingesetzt/ etw. später auch Rückwärts mögl. => verbesserte Kompetenzen Addition und Subtraktion
Niveaus beim Erwerb der Zahlwortreihe (Fuson)
Niveau 5 – bidirectional chain level
(vollständig reversible Zahlwortreihe)
- Kinder können von jeder Zahl aus schnell vorwärts- und rückwärtszählen
Schneller und flexibler Wechsel der Zählrichtung mögl. => erleichtert Einblick v. Zusammenhängen v. Addition und Subtraktion
Phasen der prozeduralen Sicherheit
(Kernfrage: „Wie wird das Zählen im Laufe der Zeit bis zum Schulbeginn zunehmend sicherer beherrscht?“)
Phase 1 – verbales Zählen
Phase 2 – asynchrones Zählen
Phase 3 – Ordnen der Objekte während des Zählens
Phase 4 – resultatives Zählen
Phase 5 – abkürzendes Zählen
Zählkompetenzen entwickeln sich i.d.R. ohne, dass das K. konkret unterrichtet wird => große Unterschiede in der Leistung der K. + Unregelmäßigkeiten in Struktur der Zahlwortbildung in Dtl. macht K. große Schwierigkeiten (zweizehn= 12, zweizig=20)
Phasen der prozeduralen Sicherheit
Phase 1 – verbales Zählen
- Zahlwortreihe noch nicht strukturiert => wie Gedicht aufgesagt => kein Einsetzten zum Zählen mögl.
- Einzelne Zahlwörter teilw. Noch nicht unterschieden; keine kardinale Bedeutung der Zahlwörter
Phasen der prozeduralen Sicherheit
Phase 2 – asynchrones Zählen
- Alter 3,5-4 J.) Zahlwörter in richtigen Reihenfolge zum Zählen verwendet
- Häufig ein Objekt übersehen oder doppelt Zählen eines Objekts
- Können Kinder zählen u. gleichzeitig auf ein Objekt zeigen = synchrones Zählen
Phasen der prozeduralen Sicherheit
Phase 3 – Ordnen der Objekte während des Zählens
- Beim Zählen werden ungeordnete Objekte geordnet z.B. durch zur Seite schieben der gezählten Objekte (Alter ca. 4,5 J.)
Phasen der prozeduralen Sicherheit
Phase 4 – resultatives Zählen
- Kinder wissen dass sie mit der 1 anfangen müssen & dass jedes Objekt nur einmal gezählt werden darf & das letztgenannte Zahl = Anzahl der gezählten Objekte angibt (Alter etwa 5 J.)
- Wichtig: Kindern muss in dieser Phase eindeutige Entsprechung zw. den zu zählenden Objekten und den Zahlwörtern klar werden.
Phasen der prozeduralen Sicherheit
Phase 5 – abkürzendes Zählen
- Kinder bilden/erkennen in mehr oder weniger geordneten Mengen v. Objekten Strukturen (z.B. Zahlbild der 5 auf dem Würfel)
- Können Zahlen aufwärtszählen, können in 2er Schritten und auch rückwärtszählen
- Meisten Kinder in der Lage einfache Rechnungen auszuführen (Alter 5,5-6 J.)
Zahlaspekte
- Kardinalzahlaspekt
- Ordinalzahlaspekt
- Maßzahlaspekt
- Operatoraspekt
- Rechenzahlaspekt
- Codierungsaspekt
Zahlaspekte
Kardinalzahlaspekt
Die Zahl gibt die Anzahl einer Menge an und liefert die Antwort auf die Frage „Wie viele?“
Zahlaspekte
Ordinalzahlaspekt
Die Zahl kennzeichnet eine Position in einer festen Reihenfolge.
Achtung: Es wird in diesem Kontext noch zwischen
- dem Zählzahlaspekt (z.B. „ich habe Startnummer 3“)
- und dem Ordnungszahlaspekt (Ordnungszahlen geben Antwort auf die Frage „Der wievielte?“)
Zahlaspekte
Maßzahlaspekt
Zahlen treten im Zusammenhang mit Größen als Maßzahlen auf.
Zahlaspekte
Operatoraspekt
Zahlen beschreiben die Wiederholung von Vorgängen oder Handlungen. (Beantworten die Frage „Wie oft?“)
Zahlaspekte
Rechenzahlaspekt
Zahlen werden oft einfach zum Rechnen benutzt.
Achtung Unterscheidung zw.:
- Algorithmischer Aspekt – Zahlen bei schriftlichen Rechenverfahren nur Ziffernweise nach einer vorgeschriebenen Handlungsanweisung verrechnet werden;
- Algebraischer Aspekt – wenn algebraische Gesetzmäßigkeiten im Mittelpunkt stehen)
Zahlaspekt
Codierungszahlaspekt
Zahlen werden zur Codierung verwendet (z.B. Telefonnummern, Autokennzeichen, Belegung von Programmplätzen auf der Fernbedienung) – Achtung bei diesen Zahlenfolgen handelt es sich eig. Nicht um „Zahlen“ und erst recht nicht um „natürliche Zahlen“, da ihnen wesentliche Zahleigenschaften (Rechnen, Ordnen) fehlen.
Zahlaspekte
Weitere wichtige Fakten
- Zahlaspekte dürfen nicht isoliert gesehen werden, sie hängen eng miteinander zusammen- Zählen = Verbindung aus Kardinalzahlaspekt (zuletzt genannte Zahl), Ordninalzahlaspekt (Reihenfolge bzw. Rangplatz der Zahl innerhalb der Reihe); aber auch Maßzahlaspekt (Auszählen der Anzahl der erforderlichen Größeneinheiten); Operatoraspekt (Auszählen der Vielfachheit einer Handlung)
- Verschiedenen Zahlaspekte erfahren die Kinder konkret in speziellen Situationen
- Wichtig: das Verständnis für die verschiedenen Zahlaspekte und ihre Zusammenhänge entwickelt sich ganz unterschiedlich
- Sicherheit beim Zählen ist fundamental für das Zahlverständnis, jedoch allein kann auf der Grundlage des Zählens kein umfassender Zahlbegriff erworben werden
Entwicklung des mathematischen Verständnisses
heißt:
- Entwicklung des Zahlbegriffs
- Entwicklung der Zählkompetenz
- Pränumerischen Fähigkeiten
Entwicklung des Zahlbegriffs
- Was sind Zahlen?
- Fachwissenschaftliche Hintergründe
- Peano-Axiome
- Zahlen als 1 und ihre Nachfolger
- Kardinalzahl
- Zahlen auf Basis der Mengenlehre
- = Zahlen als Klassen gleichmächtiger Mengen (ähnlich der Restklassen in Zahlentheorie)
- Peano-Axiome
- Fachwissenschaftliche Hintergründe
- Zahlaspekte
- erkennen und unterscheiden einzelner Zahlaspekte = wichtig für Entwicklung eines umfassenden Zahlbegriffs
Pränumerische Fähigkeiten
=vorzahlige Fähigkeiten, d.h. Fähigekeiten, die für die Entwicklung eines Zahlverständnisses und einer Vorstellung von Rechenoperationen grundlegend sind
-
Klassifikation
- einfache
- multiple
-
Seriation
- einfache
- multiple
- 1 zu 1 Zuordnung
-
Invarianz
- Mächtigkeit v. Mengen, d.h. Anzahl ihrer Eltemente ist unabhängig von ihrer Lage -> D.h. räumliches Verschieben einer Menge verändert ihre Anzahl nicht
- Vergleich
- hierfür u.a. beherrschen von Vergleichsbegriffen elementar
Entwicklung der Zählkompetenz
- was muss ein Kind beherrschen um mit hilfe des Zählens die Anzahl einer Menge zu bestimmten?
- Zählprinzipien
- Eindeutigkeitsprinzip
- Prinzip der stabilen Ordnung
- Kardinalzahlprinzip
- Abstraktionsprinzip
- Prinzip der Irrelevanz der Anordnung
- Simultanes /quasi-simultanes Erfassen
- Zählprinzipien
Entwicklung der Zahlwortreihe
- Phasen der prozeduralen Sicherheit
- Frage: Wie wird das Zählen im Laufe der Zeit zunehmend sicherer beherrscht?
- Phase 1: verbales Zählen
- Phase 2: asynchrones Zählen
- Phase 3: Ordnen der Objekte während des Zählens
- Phase 4: resultatives Zählen
- Phase 5: abkürzendes Zählen
- Frage: Wie wird das Zählen im Laufe der Zeit zunehmend sicherer beherrscht?
- Niveaus beim Einsatz der Zahlwortreihe Fusion
- Frage: Wie und wozu wird das Zählen auf verschiedenen (individuellen) Altersstufen eingesetzt?
- Niveau 1: Zahlwortreihe als Ganzheit
- Niveau 2: Unflexible Zahlwortreihe
- Niveau 3: teilweise flexible Zahlwortreihe
- Niveau 4: flexible Zahlwortreihe
- Niveau 5: vollständig reversible Zahlwortreihe
- Frage: Wie und wozu wird das Zählen auf verschiedenen (individuellen) Altersstufen eingesetzt?
