Kombinatorika in verjetnostni račun

Question 1

Povejte osnovni izrek kombinatorike.

Answer 1

Naj bo proces izbiranja takšen, da poteka v k zaporednih fazah, pri čemer je v prvi fazi n1 v drugi n2 … in v k-ti fazi nk možnih izborov. Če je število izborov v posamezni fazi neodvisno od tega, katere možnosti smo izbrali v predhodnih fazah, je mogoče sestavljeni izbor opraviti na natanko n * n2 - … • nk načinov.

Question 2

Uporabo osnovnega izreka kombinatorike razložite na primeru.

Answer 2

Miha prvič obišče tuje mesto. V turističnem vodniku prebere, da imajo v mestu tri muzeje, dva gradova in štiri galerije. Na koliko načinov si lahko Miha ogleda mesto, če v svoj program vključi po eno znamenitost iz vsake od naštetih skupin?

Miha si lahko ogleda mesto na n = 3 • 2 • 4 = 24 načinov.

Question 3

Povejte pravilo vsote.

Answer 3

Če se lahko pri izbiranju odločimo bodisi za eno od n1 možnosti iz prve množice izborov bodisi za eno od n2 možnosti iz druge množice izborov in sta množici tuji, je v celoti n= n1 + n2 možnih izborov.

Question 4

Uporabo pravila vsote razložite na primeru.

Answer 4

Meta ima v omari dva para sandal in štiri pare čevljev. Na koliko načinovse lahko obuje?
n = 2 + 4 = 6
Meta se lahko obuje na šest načinov.

Question 5

Kaj je kombinatorično drevo?

Answer 5

Za nazornejši prikaz korakov v odločanju uporabljamo t. i. kombinatorično drevo. Z njim grafično prikažemo vse možne izbore.
Vsaka pot na sliki od začetne točke Z do 3. faze je eden od možnih izborov.

Question 6

Prikažite primer kombinatoričnega drevesa.

Answer 6

http://prntscr.com/15qmoyl

Question 7

Kaj so permutacije brez ponavljanja in koliko jih je?

Answer 7

O permutacijah govorimo, kadar razporejamo vse elemente dane končne množice v vrsto. Če so elementi dane množice med seboj različni, vsak od njih v posamezni permutaciji (razporedbi) nastopa natanko enkrat. Takim razporedbam rečemo permutacije brez ponavljanja.

Naj bo dana končna množica z n med seboj različnimi elementi (a1, a2, … an). Razporedimo vse njene elemente v vrsto, npr. od leve proti desni. Na prvo mesto lahko postavimo kateregakoli od n elementov, na drugo mesto kateregakoli od preostalih ( n -1) elementov in tako nadaljujemo do zadnjega elementa, ki
ga postavimo na n-to mesto. Število permutacij n med seboj različnih elementov dane množice je enako

Pn = n (n -1)*(n - 2) … 1= n! (“n fakulteta”).

Razporejanje elementov končne množice je bijektivna preslikava te množice nase.

Question 8

Povejte primer permutacije brez ponavljanja.

Answer 8

Koliko besed dolžine 5 črk lahko sestavimo iz črk besede BOKAL?

P5 = 5 * 4 * 3 * 2 * l = 5! = 120

Iz črk besede BOKAL lahko sestavimo 120 besed dolžine 5 črk.

Question 9

Kaj so permutacije s ponavljanjem in koliko jih je?

Answer 9

V primerih, ko elementi dane končne množice niso vsi med seboj različni oziroma nekaterih elementov ne ločimo med seboj, govorimo o permutacijah s ponavljanjem. Teh je manj kot permutacij brez ponavljanja, saj razporedbe elementov predstavljajo isto permutacijo, ko prerazporejamo enake elemente.

Naj bo izmed n elemento r1 med seboj enakih r2 med seboj enakih … in rk med seboj enakih ter r1+r2+…rk

Question 10

Povejte primer permutacije s ponavljanjem.

Answer 10

Koliko besed dolžine 10 črk lahko sestavimo iz črk besede MATEMATIKA?

V besedi matematika je 10 črk, izmed katerih se črka M pojavi dvakrat, A trikrat, T dvakrat, črke E, I in K pa le enkrat.

Iz danih črk lahko sestavimo največ: p10^(2,3,2)= 10! / (2!3!2!)

Question 11

Kaj so variacije brez ponavljanja in koliko jih je?

Answer 11

V primerih, ko razporejamo le določeno število elementov iz dane množice, govorimo o variacijah. Variacije n elementov reda r so razporedbe po r elementov iz množice z n elementi.

Razporedbe po r elementov iz množice z n elementi, v katerih se noben element izmed n elementov v razporedbi ne ponovi, so variacije n elementov reda r brez ponavljanja.

Teh je natanko V^r˘n = n(n-1)(n-2)…(n-r+1)=n!/(n-r)!

Question 12

Povejte primer variacije brez ponavljanja.

Answer 12

Na koliko načinov lahko 8 atletov v finalu teka na 100 m zasede prva 3 mesta, če imajo vsi atleti različen čas prihoda v cilj?
Katerikoli izmed 8 atletov ima možnost doseči najboljši rezultat. Kandidatov za prvo mesto je torej 8. Ko je to mesto že zasedeno, lahko 2. mesto zasede katerikoli od preostalih 7 atletov, 3. mesto pa katerikoli od preostalih 6 atletov.

Vseh načinov je torej 8 • 7 • 6 = 336 = V^3˘8. Gre za variacije 8 elementov reda 3 brez ponavljanja.

Question 13

Kaj so variacije s ponavljanjem in koliko jih je?

Answer 13

Razporedbe po r elementov iz množice z n elementi, v katerih se lahko vsak izmed n elementov v razporedbi
ponovi,so variacije n elementov reda rs ponavljanjem.
Število teh je: ^(p)V^r˘n= n^r

Question 14

Povejte primer variacije s ponavljanjem.

Answer 14

Koliko vseh štirimestnih števil lahko sestavimo iz lihih števk?

V številih se vsaka liha števka lahko ponovi, saj je npr. tudi število 1133 primer štirimestnega števila z lihimi števkami. Gre za variacije petih elementov (lihih števk je 5) reda 4 s ponavljanjem. Vseh štirimestnih števil z lihimi števkami je 5^4= 625.

Question 15

Kaj je binomski simbol in kako izračunamo njegovo vrednost?

Answer 15

Simbolu (SIMBOL) binomski simbol.
Binomski simbol pove, koliko podmnožic z r elementi ima množica z n elementi.
http://prntscr.com/15qnx1u

Question 16

Opišite vsaj tri lastnosti računanja z binomskimi simboli.

Answer 16

http://prntscr.com/15qnzj8

Question 17

Kaj so kombinacije brez ponavljanja in koliko jih je?

Answer 17

V primerih, ko izbore razlikujemo le po tem, katere elemente vsebujejo, ni pa pomemben vrstni red elementov, so taki izbori kombinacije.
Kombinacije reda r elementov brez ponavljanja dane končne množice z n elementi so podmnožice z močjo r. Število kombinacij reda r iz n elementov je torej število vseh podmnožic z močjo r končne množice z močjo n (r<=n).