drvda de 2ª ordem, extrms, cncvdds, pnts de inflexão, cinemática, revisões(ver 11º) Flashcards
dada uma FRVR f e dados 2 pontos “a” e b do respetivo domínio, designa-se por … (tb referida como …) de f entre … o quociente:
t.m.v.[a,b] = [f(b)-f(a)] / (b-a)
- taxa média de variação
- velocidade média
- “a” e b
dada uma FRVR f e dado um ponto x0 do respetivo dominio, designa-se por … de f no … (tb referida como …) o limite seguinte:
lim[x->x0] [(f(x) - f(x0)) / (x - x0)]
quando este … e é … , designa-se por … de f no ponto x0 e representa-se por f’(x0)
a função diz-se … / … no ponto x0
- taxa instantânea de variação - x0 - velocidade instantânea
- existe - finito
- derivada
- derivável - diferenciável
f’(x0) = … ou …
lim[x->x0] [(f(x) - f(x0)) / (x - x0)]
lim[h->0] [(f(x0+h) - f(x0)) / h]
dada uma FRVR f e dado um ponto “a” do respetivo domínio, se f é … em “a” então f é … em “a”
* NOTAS: uma função pode ser … num ponto e não ser … nesse ponto (ex …)
* se uma função não eh … num ponto “a”, então não é … em “a”
- diferenciavel - contínua
- contínua - derivável - uma função em V
- contínua - diferenciável
o … da … ao grafico de f nos pontos A e B, de coordenadas (a, f(a)) e (b, f(b)), é igual a taxa media de variação de f entre “a” e b (aka …=…)
- declive - reta secante
- ms
- [f(x) - f(x0)] / (x - x0)
a … ao grafico de f no ponto P de coordenadas (x0, f(x0)) é a reta de … f’(x0) que … por P (aka …=…)
- reta tangente
- declive
- passa
- mt
- lim[x->x0] [(f(x) - f(x0)) / (x - x0)]
teorema da derivada da função composta admite que (g o f)’(a) = …
f’(a) x g’(f(a))
seja f uma FRVR, com dominio contendo um intervalo I=[a,b], (a<b) e diferenciável em … , se f atinge um … em x0 então f’(x0)=0
* NOTA: o recíproco deste teorema pode … , ou seja, uma função com derivada nula num ponto pode … nesse ponto (ex …)
- x0∈I
- extremo local
- não se verificar
- não ter extremo
- derivada da função f(x)=x³, f’(x)=3x², em (0,0) f’(0)=0, apesar de não se tratar de um extremo
o … admite que dada uma FRVR f contínua em [a,b], (a<b) e diferenciável em ]a,b[, existe c∈]a,b[ tal que f’(c) = (f(b)-f(a)) / (b-a)
teorema de Lagrange
o teorema de Lagrange admite que dada uma FRVR f … em [a,b], (a<b) e … em ]a,b[, existe c∈]a,b[ tal que … = …
- continua
- diferenciável
- f’(c)
- f(b)-f(a) / (b-a)
o teorema de Lagrange afirma que …
existe pelo menos um ponto do grafico no qual a tangente é paralela à secante s
dada uma FRVR f, … num intervalo I, tal que a função derivada (f’) eh … num ponto “a”∈I, a derivada f’‘(a) chama-se … ou … de f no ponto a
a função f diz-se … no intervalo I se ∀a∈I => ∃f’‘(a)
- diferenciável - diferenciável
- segunda derivada - derivada de segunda ordem
- duas vezes diferenciável
f’‘(x0) = … ou …
- lim[x->x0] [(f’(x) - f(x0)) / (x - x0)]
- lim[h->0] [(f’(x0+h) - f(x0)) / h]
seja f uma função … num intervalo I, o grafico de f tem:
* concavidade voltada para cima em I se e somente se f’ for … em I
* concavidade voltada para baixo em I se e somente se f’ for … em I
- estritamente crescente
- estritamente decrescente
seja f uma função … vezes … num intervalo I=]a,b[
* se f’‘(x)>0, ∀x∈]a,b[, então o grafico de f tem a concavidade voltada para …
* se f’‘(x)<0, ∀x∈]a,b[, então o grafico de f tem a concavidade voltada para …
* o … dessas condições é verdadeiro
- duas - diferenciavel
- cima
- baixo
- recíproco
teste da segunda derivada para extremos relativos: dada a função f, … vezes … num dado intervalo I=]a,b[, (a<b) e c∈]a,b[ tal que f’(c)=… :
* se f’‘(c) … 0 f admite um minimo local em c
* se f’‘(c) … 0 f admite um máximo local em c
- duas - diferenciável
- 0
- >
- <
dada uma função f de dominio D, chama-se … do grafico de f ao ponto (c, f(c)), onde c∈D, se existirem numeros reais a<c>c tais que [a,b]⊂D e a concavidade do grafico de f no intervalo [a,c] tiver ... a concavidade do intervalo [c,b]
neste caso diz-se que o grafico de f tem ... em c</c>
- ponto de inflexão
- sentido contrario
- ponto de inflexão
dada uma função f … vezes … num intervalo I, se o grafico de f tem ponto de inflexão em c, então f’‘(c) = …
- duas - diferenciável
- 0
5 passos do método para estudar o sentido das concavidades e os pontos de inflexão do grafico de uma função f duas vezes diferenciável são …
- determinar o dominio da função f
- determinar a expressão da função derivada e a seguir a da função segunda derivada
- determinar os zeros da função f’’, aka resolver a equação f’‘(x)=0
- estudar o sinal de f ao construir um quadro de sinal
- indicar os intervalos onde o grafico de f tem a concavidade voltada para cima e para baixo e a existência de pontos de inflezão
estudo completo de funções em 6 etapas …
etapa extra: …
- dominio
- zeros da função
- intervalos de monotonia, extremos locais e absolutos
- sentido das concavidades e pontos de inflexão
- assíntotas ao grafico da função
- possivel paridade da função (por vezes omitido)
* representar a função com um esboço grafico (tendo em conta todos os pontos anteriores)
recorda:
(√(x))² = …
√(x²) = …
|x|= …
- x, ∀x∈|R+0
- |x|, ∀x∈|R
- x, se x>=0 ∨ -x, se x<0
possivelmente n sai no exame
- dados dois instantes t1 e t2 (t1<t2) de I, designa-se por … de p no intervalo de tempo [t1,t2] na unidade … a taxa media de variação de p’ entre t1 e t2 (aka …)
- para t∈I designa-se por … de p no instante t a derivada de segunda ordem de p em t (aka …=…)
- aceleração média
- L/T² (ex: metros por segundo quadrado)
- (p’(t2) - p’(t1)) / (t2 - t1)
- aceleração instantânea
- a(t) - p’‘(t)
admitindo que f e g são estritamente … em [a,b], essa monotonia permite garantir a … do ponto de interseção dos graficos no referido intervalo e utilizar, com confiança, os …
- monótonas
- unicidade
- resultados observados em intervalos contendo o ponto de interseção
o teorema dos valores intermédios (Bolzano-Cauchy) para funções contínuas; por ex, se f e g forem contínuas em determinado intervalo [a,b] e f(a) … g(a), mas f(b) … g(b), então é seguro que os graficos de f e g se … em … do intervalo ]a,b[
- <
- >
- intersetem
- pelo menos um ponto
