Differenciálszámítás Flashcards
Derivált fogalma?
• Deriválhatóság és folytonosság kapcsolata?
Ha x0 egy környezetében f valós fv. értelmezett, és létezik a lim(h—»0) = (f(x0+h) – f(x0))/h határérték, akkor az az f fv. x0-beli deriváltja.
• Ha egy fv. deriválható egy pontban, akkor ott biztosan folytonos. Visszafelé ez nem feltétlenül igaz tho.
Mi a derivált geometriai értelemben?
A függvénygörbéhez adott pontban húzott érintő meredeksége.
LAGRANGE-KÖZÉPÉRTÉKTÉTEL
Ha f : [a;b] –» R folytonos és deriválható az ]a;b[ -on, akkor s eleme ]a;b[ olyan, hogy f’(s) = [f(b) – f(a)]/(b-a)
Mikor monoton növő/csökkenő egy intervallumon egy függvény?
• Bizonyítás?
Akkor ha első deriváltja azon az intervallumon nagyobb/kisebb mint 0 vagy egyenlő 0-val. Visszafele nem feltétlenül igaz.
• Definícióval vagy Lagrange-középértéktétellel.
Mit jelent, hogy egy függvény egy intervallumon konvex/konkáv?
- Általánosan?
- Szélsőértékkel kapcsolat?
Azt, hogy a függvény az adott intervallumon kétszer deriválható és a kétszeres derivált nagyobb/kisebb mint 0 vagy 0. Visszafele ez sem mindig igaz.
- Ha f: I —» R olyan, hogy minden x1, x2 eleme I-nek és α eleme [0,1] esetén f(αx1 + (1–α)x2) =< αf(x1) + (1-α)f(x2), akkor f az I intervallumon konvex.
- Ha f konvex az I zárt intervallumon és f”>0, akkor ott létezik egyértelmű minimuma.
Szélsőérték mikor?
- minimum/maximum?
- Bizonyítás?
Ha f-nek szélsőértéke van a c eleme ]a;b[ pontban, akkor f’(c) = 0.
Akkor van egy fv.-nek szélsőértéke egy pontban, ha a pontban az első derivált nulla és előjelet is vált.
- minimum/maximum, ha a második derivált a pontban pozitív/negatív
- Definícióval; meg kell nézni x>0 és x<0 esetén és akkor kijön, hogy a derivált a maximumban/minimumban nulla.
L’HOSPITAL-SZABÁLY
Ha lim(f) = lim(g) = 0 és f és g is deriválható “a” egy környezetében, illetve lim’(f)/lim’(g) létezik, akkor lim(f)/lim(g) is létezik és egyenlő a deriváltak határértékének hányadosával.
