Differenciálegyenletek

Question 1

PICARD-LINDELÖF-TÉTEL

Answer 1

Ha f-re igaz, hogy | f(t,a)–f(t,b) | =< C*(a-b) a (0;x(0)) egy környezetében, akkor az f jobboldalú közönséges differenciálegyenlethez tartozó kezdeti érték feladatnak 0 egy környezetében létezik egyértelmű megoldása.

Question 2

Szétválasztható változójú közönséges differenciálegyenletek?

Answer 2

Olyan diff.egyenletek, amik átrendezhetőek úgy, hogy az egyik oldal x(t)-től függ és x’(t) szorzóként van ott, a másik oldal pedig t-től függ.

Question 3

Lineáris közönséges differenciálegyenletek?

Answer 3

Olyan diff.egyenletek, amelyek x’(t) = a(t)*x(t) + b(t) alakúak, ahol a,b adott valós fv.-ek.

Question 4

Állandó együtthatós másodrendű közönséges diff.egyenletek?

• Megoldási módszer?

Answer 4

x”(t) = a(t)x’(t) + b(t)x(t) alakúak.

• Karakterisztikus polinom: λ^2 = aλ+b
λ_1 ≠ λ_2, valósak: x(t) = c_1 e^(λ_1t) + c_2e^(λ_2t)
λ_1 = λ_2, valósak: x(t) = c_1 e^(λt) + c_2te^(λt)
λ_1 = α +iβ, λ_2 = α – iβ: x(t) = c_1e^(αt)cos(βt) + c_2e^(αt)sin(βt)

Question 5

EGYENSÚLYI PONT

• Stabilitás?
• Hogyan dönthető el, hogy stabil?

Answer 5

A differenciálegyenlet konstans megoldása(i). Azaz: x’(t) = f(x(t), t) «–» f(egyensúlyi pont, t) = 0

• Ha x* egyensúlyi pontja az f(x(t),t) = x’(t) közönséges diff.egyenletnek, akkor ez stabil, ha minden ε > 0-hoz van olyan δ > 0, hogy | x(0) – x* | < δ esetén | x(t) – x* | < ε minden t >= 0 esetén.
• Ha f’(x) < 0, azaz x-tól balra egy intervallumon x(t) növő, tőle jobbra egy intervallumon csökkenő, akkor stabil, ha f’(x) > 0, akkor instabil. Másképp: stabil, ha az f’(x) mátrix minden sajátértéke negatív valós részű, és instabil, ha van benne pozitív is.