derivadas

Question 1

definicion

Answer 1

una funcion es derivable en un x0 si existe y da un nº el limite

f’(x0) = limh->0 f(x0+h)-f(x0) / h

el valor es la derivada de f en x0

Question 2

reescribir lim

Answer 2

si se llama x a x0+h, se tiene que cuando h->0 x->x0 entonces se puede escribir como

limx->x0 f(x)-f(x0) / x-x0

Question 3

recta tangente

Answer 3

si f:A->R es derivable en x0, la derivada f’(x) es la pendiente de la recta tangente en el punto P(x0,f(x0))

si f’(x0) distinto de 0, la recta tang tiene ecuacion y =mx0+b
la recta normal tiene pendiente -1/f’(x0) y su ecuacion es y = -1/ mx+b

si f’(x0) = 0 la recta tang en P es horizontal y su ecuacion es y=f(x0)
la recta normal es una recta vertical de ecuacion x = x0

Question 4

derivadas laterales

Answer 4

existen siempre que el limite exista y sea finito

Question 5

funcion derivada

Answer 5

f:I->R con I un intervalo abierto

f’: I->R con I’CI, es la funcion derivada que se nota con f’ tal q a cada x€I’ le asigna f’(x)

Question 6

propiedad continuidad

Answer 6

si f es una funcion derivable en x0, entonces f es una funcion continua en x0

que sea continua no implica que sea derivable

Question 7

demostracion continuidad

Answer 7

si una funcion f: A->R es derivable en un punto x0, existe y es finito limh->0 f(x0+h)-f(x0) / h

verificamos las condiciones de continuidad
1- existe f(x0) por ser requerimiento en la definicion de f’(x0)

2-3-
limx->x0 f(x)-f(x0) +f(x0) (sumo y resto fx0)
limx->x0 (f(x)-f(x0) / x-x0) * (x-x0)+f(x0) (multiplico y divido por (x-x0)

si llamamos h a x-x0, x es igual a x0+h
si x->x0, h->0 entonces
limh->0 (f(x0+h)-f(x0) / h) * h + f(x0)
= f’(x0) * 0 + f(x0) = f(x0)

por lo tanto f es continua en x0

Question 8

regla derivacion suma y resta

demostracion

Answer 8

f+g es derivable y (f+g)’(x) = f’(x) + g’(x)
la der de la suma es la suma de las derivadas

limh->0 (f+g)(x+h) - (f+g)(x) / h
(hago distributiva en el num)
limh->0 f(x+h)+g(x+h) - f(x)+g(x) / h
(agrupo f y g)
limh->0 f(x+h)-f(x) + g(x+h)-g(x) / h
(distribuyo h)
limh->0 f(x+h)-f(x) / h + g(x+h)-g(x) / h
(separo limites)
limh->0 f(x+h)-f(x) / h + limh->0 g(x+h)-g(x) / h
por ser f y g derivables, queda la def de derivada
= f’(x) + g’(x)

Question 9

regla derivacion f*g

demostracion

Answer 9

fg es derivable y (fg)’(x) = f’(x)g(x) + f(x)g’(x)

analizar el cociente incremental
  (f*g)(x+h) - (f*g)(x) / h 
(hago distributiva en el num)
 f(x+h)*g(x+h) - f(x)*g(x) / h 
(sumo y resto f(x)*(g(x+h) en el medio)
 f(x+h)*g(x+h) -f(x)*g(x+h)+f(x)*g(x+h) - f(x)*g(x) / h

entonces queda
f(x+h) - f(x) / h   (derivada de f)
multiplicado por
g(x+h)   (lo saco factor comun)
sumado a
g(x+h) - g(x) / h (derivada de g)
multiplicado por
f(x) (lo saco factor comun)

cuando h->0, como f y g son derivables, el primer sumando tiende a f’(x)g(x), el segundo tiende a g’(x)f(c)

por lo tanto, f*g’x = f’x * gx + fx *g’x

Question 10

regla derivacion c*f

demostracion

Answer 10

cf es derivable y (cf)’(x) = cf’(x)
al aplicar la regla del producto pero con una constante c,
cf’x = c’ * fx + cf’x = 0 (der de constante)fx +cf’x = c*f’x

Question 11

regla derivacion f/g

demostracion

Answer 11

si g distinto de 0, f/g es derivable y (f/g)’(x) = f’xgx -fxg’x /gx^2

y = f(x)/g(x) invierto la g 
f(x) * 1/g(x) lo q es igual a f(x) * (g(x))^-1
aplico der del producto
y' = f`(x) * g(x)^-1 + f(x) * g'(x)^-1
aplico der de la potencia
y' = f`(x) * g(x)^-1 + f(x) * (-g(x)^-2)*g'(x)
invierto potencias
y' = f'x/gx - f(x)*g'(x) / g(x)^2
resto fracciones 
y' = f'(x)*g(x) -f(x)*g'(x) / g(x)^2

Question 12

regla de la cadena

Answer 12

si f es derivable en x0 y g es derivable en fx0, gof es derivable en x0
(gof)’(x0) = g’ (f(x0)) * f’(x0)