aplicaciones Flashcards
crecimiento
una funcion f:I->R siendo I un intervalo es
CRECIENTE f en I si para todo par de puntos x1 x2 €I con x1 menor a x2, se cumple que fx1 es menor o igual a fx2
ESTRICTAMENTE f en I si para todo x1 x2 €I con x1 menor a x2 se cumpe que fx1 es menor a fx2
decrecimiento
una funcion f:I->R siendo I un intervalo es
DECRECIENTE f en I si para todo par de puntos x1 x2 €I con x1 mayor a x2 se cumple que fx1 es mayor o igual a fx2
ESTRICTAMENTE f en I si para todo par de puntos x1 x2 € I con x2 mayor a x2 se cumple que fx1 es mayor a fx2
teorema derivada crecimiento
si f’x mayor a 0 en a,b, f es estrictamente creciente
si f’x menor a 0 en a,b, f es estrictamente decreciente
si f’x igual a 0 en a.b, f es constante
maximo relativo
sea f:A->R y x0 en A
f lo alcanza en x0 si hay un intervalo de modo que fx es menor o igual a fx0
minimo relativo
sea f:A->R y x0 en A
f lo alcanza en x0 si hay un intervalo de modo que fx es mayor o igual a fx0
teorema de fermat
demostracion
sea una f:A->R derivabe en un x0 en A
si f alcanza en x0 max o min relativo, entonces la f’x0 = 0
es una condicion necesaria.
no es suficiente que la derivada sea 0 para que haya un extremo relativo
solo podemos afirmar que la recta tangente es horizontal xq su pendiente es 0
demostracion
sea una f:A->R derivable en un x0 en A
suponemos que en x0 hay un maximo relativo, fx menor o igual a fx0
si h mayor a 0, el cociente incremental es mayor o igual a 0
si h menor a 0, el cociente incremental es menor o igual a 0
asi, el limite por derecha es menor o igual a 0 y el limite por izquierda es mayor o igual a 0
pero como la funcion es derivable en x0, ambos limites tienen que ser iguales, asi f’x0 = 0
punto critico
puntos en los que una funcion alcanza un entremo relativo en un x0 en su dominio, f’x0 = 0 o la derivada no existe
si la funcion es continua en un PC x0, la derivada nos permite asegurar que haya un extremo relativo
teorema der 1º extremos rel
sea f: a,b->R continua en x0, si f es derivable:
si f crece y decrece hay un max
si f decrece y crece hay un min
maximo absoluto
sea f:A-R y x0 €A
f alcanza max absoluto en x0 si fx es menor o igual a fx0
minimo absoluto
sea f:A-R y x0 €A
f alcanza min absoluto en x0 si fx es menor o igual a fx0
concava arriba
si la recta que une los puntos x1,fx1 y x2,fx2 queda por encima del grafico
si f’x es creciente en I
si f’‘x mayor a 0
concava abajo
si la recta que une los puntos x1,fx1 y x2,fx2 queda por debajo del grafico
si f’x es decreciente en I
si f’‘x menor a 0
f’‘x = 0
significa que f’x es constante k, por lo que no tiene concavidad
punto de inflexion
punto x0,fx0 de continuidad en el que la concavidad cambia de sentido
condicion necesaria: si f es 2 veces derivable y f’’ es continua, f’‘x0 = 0
no es condicion suficiente, que sea 0 no significa que haya punto de inflexion ej x4
teorema derivada 2 para extremos rel
si f’x y f’‘x existen en todos los puntos de I con x0 y f’x0 = 0, entonces
si f’‘x0 menor a 0 hay max rel
si f’‘x0 mayor a 0 hay min rel
