continuidad

Question 1

condiciones

Answer 1

1- existe f(x0)

2- existe el limite y es un nº

3- f(x0) = lim f(x)

Question 2

discontinuidad evitable

Answer 2

se cumple la 2 pero no 1 o 3

se puede redefinir una nueva funcion que cambia solo el x0 para que sea igual al limite

Question 3

discontinuidad esencial o no evitable

Answer 3

no se cumple 2 en x0

Question 4

propiedad f+g o f-g

Answer 4

si f y g : A -> R son continuas en x0€R, entonces f+g y f-g son continuas en x0

Question 5

demostracion f+g f-g

Answer 5

verificar que se cumplen las 3 condiciones de continuidad

1- existe f(x0) se verifica xq al ser f continua en x0, se tiene que el x0€domf, como g es continua en x0, entonces x0€domg
de esta forma x0€ (domf ^ domg) = domf+g

2- por ser f y g continuas en x0 se tiene que el limx->x0 f(x) y g(x) existen y son finitos = L
entonces limx->x0 f(x)+g(x) existe y es finito

3- entonces usando las propiedades de limites de la suma,

limx->x0 f(x)+g(x) = limx->x0 f(x) + limx->x0 g(x) = f(x0) +g(x0) = (f+g)(x0)

resulta que la funcion f+g es continua en x0

Question 6

demostracion f*g

Answer 6

verificar que se cumplen las 3 condiciones de continuidad

1- existe f(x0) se verifica xq al ser f continua en x0, se tiene que el x0€domf, como g es continua en x0, entonces x0€domg
de esta forma x0€ (domf ^ domg) = domf*g

2- por ser f y g continuas en x0, se tiene que el limx->x0 f(x) y g(x) existen y son finitos = L
entonces limx->x0 f(x)*g(x) existe y es finito

3- entonces f(x0) = limx->x0 f(x) = L

limx->x0 [f(x)g(x)] = f(x0)g(x0)

la funcion f*g es continua en x0

Question 7

demostracion f/g

Answer 7

verificar que se cumplen las 3 condiciones de continuidad

1- existe f(x0) se verifica xq al ser f continua en x0, se tiene que el x0€domf, como g es continua en x0 siempre que x0 no sea 0, entonces x0€domg -{0}
de esta forma x0€ (domf ^ domg) = domf/g

2- por ser f y g continuas en x0, se tiene que el limx->x0 f(x) y g(x) existen y son finitos con g distinto de 0 = L
entonces limx->x0 f(x)*g(x) existe y es finito

3- entonces f(x0) = limx->x0 f(x) = L

limx->x0 [f(x)/g(x)] = f(x0)/g(x0) = (f/g) (x) es continua en x0 siempre que g disitnto de 0

Question 8

continuidad f compuesta

Answer 8

sea f: A->R continua en x0 y g: C->R continua en f(x0), suponiendo que x0€ {x€A : f(x) €C} entonces la f compuesta gof es continua en x0

Question 9

teorema bolzano

Answer 9

si una funcion es continua en un intervalo cerrado a,b los valores de f(a) y f(b) tienen signos opuestos, entonces f se anula por lo menos en un punto c interior al a,b

Question 10

teorema valor intermedio

Answer 10

si f es una funcion continua en un intervalo cerrado a,b y N es cualquier nº estrictamente entre f(a) y f(b) entonces hay un nº c€a,b tal que f(c) = N
si fa y fb son iguales no existe N
el nº c puede no ser unico

Question 11

teorema de weierstrass

Answer 11

si f es continua en un intervalo cerrado a,b alcanza en el un valor M maximo y un valor m minimo