CT Gedankenprotokolle Flashcards
Was sagt das Fourier Slice Theorem aus?
ein Theorem aus dem Bereich der Signaltheorie. Es besagt, dass die Projektion einer Funktion f(x,y) in der Richtung Θ die eindimensionale Fourier-Transformation des Schnitts durch F(u,v) in der Richtung Θ ist, wobei u bzw. v die mit x bzw. y korrespondierenden Raumfrequenzen sind. Der Schnitt geht dabei stets durch den Ursprung im Fourier-Raum (u=v=0).
identifiziere FT einer Projektion mit einer Linie (Xi als hessische Normalform vom Röntgenstrahl) in der FT des gesuchten Bildes: F(q,gamma)
Die 2D-Funktion F(q,gamma) entspricht der 1D FT des Projektionintegrals
Warum muss man Filter abschneiden?
Und was passiert beim geraden abschneiden
Lösung?
Dirac Kamm?
Abschneiden (truncation), da wir keine kontinuierlichen Signale haben mit
Integration von -Q bis Q
Überschwinger und Gibbs
Wie sieht de Projektion aus?
Real (gerade) und imaginärteil(ungerade)
ART und stat. Rekonstruktion (was für stat. Annahmen) ?
In der statistischen Rekonstruktion kommen die Photonen-Wahrscheinlichkeiten hinzu????
Wie entsteht Röntgenstrahlung
—-
Was ist charakteristische Strahlung und woher kommt sie?
…
Spektrum zeichnen
..
Wieso startet es nicht bei 0, das Spektrum?
Da bei der Energie von Null keine Strahlung entsteht (auch keine Elektronen die Anode erreichen)
Wie würde es aussehen ohne ein abgeschlossenes System aus Glas um die Kathode/Anosde zu nutzen?
Damit die Elektronen nicht gebremst werden, also beschleunigen können, ist die Kathode und Anode mit Vakuum in einer Glasröntgenröhre umgeben.
Wie rekonstruiert man bei CT?
Hauptsächlich mit FBP (Filterung (bei der Aufnahme schon?) und dann Rückprojektion) , da ART zu langsam (zu viel Rechenaufwand für PCs) und die einfache Rückprojektion zu unscharfen Bildern führen würde (auch zu lange mit Layergram-Methode (erst Rückprojektion und dann Filterung), da alle Projektionen von allen Winkeln aufgenommen werden müssen bevor die Rekonstruktion beginnen kann)
Wie kommt die Filterung zustande und wozu braucht man diese
Durch Jacobian (KS-Wechsel), als Gewichtung (der Punkte auf der Linie) genutzt (gewichtetes Integratzionsintegral)
Wie kann man FST zur Rekonstruktion verwenden und welche Probleme enstehen dabei
—> Probleme umgehen?
Nutzung, um eine direkte Rekonstruktion zu erhalten.
FST: die Fourier-Repräsentation der 1D-Projektionen, die der Fourier-Repräsentation des gewünschten Bildes entsprechen, auf einer Linie durch den Anfang mit dem erfassten Winkel (gamma)
F(u,v) = Pgamma(q)
q:
die Fourier-Repräsentative der Xi Koordinate, eine Verbindung der
Polar/Rotationkoordinaten zwischen x,y im Fourierraum —> u,v
und die Polarkoordinate ist dann der Radius q im Frequenzraum (in Richtung Xi
zeigend) (räumliche Koordinate des Detektors)
- Radius q: die Frequenzvariable der Detektorwerte
- Q ist die Repräsentative im Fourierraum des Schatten unter einem Winkel gamma
- x,y sind verbunden mit Xi (Hessische Normalform der Linie)
und u,v (Frequenzvariablen von
x,y), um die Linie durch die Werte des Fourier-Raumes des gewünschten Bildes zu
identifizieren
Problem:
Die direkte inverse Radontransformation mit FST könnte Artefakte produzieren durch die inhomogene verteilte Sampling-Punkte im Fourierraum des gewünschten Bildes f(x,y) —> Regridding Problem führt zu interpolations Fehler bei hohen Frequenzen (schnell sich ändernde Infos: Ränder der Organe)
- Interpolation produziert Artefakte
—>Lösungsstrategie: Wir könnten eine Sampling-Geometrie finden, die Interpolation verhindert.
Umgehen mit Linogramm
FBP
Erst Filterschritt und dann Rückprojektion
- FT des Projektionsintegrals —> Fourierraum
- Filtern im Fourierraum (Multiplikation mit Betrag von q
- Rücktransformieren —> h(gamma)(Xi)
- Rückprojektion mit Xi= xcos(gamma)+ysin(gamma)
Bild f(x,y)= Integral von h(gamma)(Xi) über 0-Pi
Verlauf im Detail:
1.)
Wechsel zwischen kart.Koordinaten zu Polarkoordinaten angucken, um FT in Koordinaten darzustellen, die in die Abtastgeometrie passen—> inverse FT von F(u,v) in Polarkooordinaten und dabei Jacobian berechnen, sodass das Flächenintegral angepasst wird, da sich im PolarKS Fläche mit Distanz ändert —> Jacobian=q
—> ..F(q,gamma)..
2.)
Integral teilen 0-Pi, Pi-2Pi und Verschiebung der Phase im 2. Teil ins Argument von F ziehen.
3.)
Symmetrieeig. Der FT von Realem (:gerade) und Imaginärem(ungerade)
F(q,gamma) ist komplex hermetisch
—> f(x,y)=…
4.)
FST: identifiziere FT einer Projektion mit einer Linie (Xi als hessische Normalform vom Röntgenstrahl) in der FT des gesuchten Bildes: F(q,gamma)
F(q,gamma)=Pgamma(q)
5.)
Zusammenhang aufschreiben: f(x,y)=…
6.)
Für das Integral über q schreibt man kurz: h(gamma)(Xi) = Filterung
Für einen festen Punkt r und einen festen Projektionswinkel gamma ist Xi die Projektionskoordinate des Punktes F
Hochpassfilter q: stärkere Wichtung des Spektrums Pgamma(Xi) bei höheren Ortsfrequenzen durch die linear ansteigende Gewichtung (Fläche in Polarkoordinaten wird größer)
Filterung: Rauschen des Argumentes im Exponenten: Projektionsintegral
—> 1D FT entlang Xi (gewichtet mit Rampfunktion: Hochpassfilter) —> Rücktransformation führt zu hochpassgefiltertem Sinogramm
Wie sieht q im Frequenzraum aus?
Filter im Frequenzraum zeichnen?
Also den Hochpassfilter (nur positiv)
Warum muss man den Filter q abschneiden?
Wegen der periodischen Wiederholung durch Abtastung mit einem Diraqkamm
??
