CT Gedankenprotokolle Flashcards
Was sagt das Fourier Slice Theorem aus?
ein Theorem aus dem Bereich der Signaltheorie. Es besagt, dass die Projektion einer Funktion f(x,y) in der Richtung Θ die eindimensionale Fourier-Transformation des Schnitts durch F(u,v) in der Richtung Θ ist, wobei u bzw. v die mit x bzw. y korrespondierenden Raumfrequenzen sind. Der Schnitt geht dabei stets durch den Ursprung im Fourier-Raum (u=v=0).
identifiziere FT einer Projektion mit einer Linie (Xi als hessische Normalform vom Röntgenstrahl) in der FT des gesuchten Bildes: F(q,gamma)
Die 2D-Funktion F(q,gamma) entspricht der 1D FT des Projektionintegrals
Warum muss man Filter abschneiden?
Und was passiert beim geraden abschneiden
Lösung?
Dirac Kamm?
Abschneiden (truncation), da wir keine kontinuierlichen Signale haben mit
Integration von -Q bis Q
Überschwinger und Gibbs
Wie sieht de Projektion aus?
Real (gerade) und imaginärteil(ungerade)
ART und stat. Rekonstruktion (was für stat. Annahmen) ?
In der statistischen Rekonstruktion kommen die Photonen-Wahrscheinlichkeiten hinzu????
Wie entsteht Röntgenstrahlung
—-
Was ist charakteristische Strahlung und woher kommt sie?
…
Spektrum zeichnen
..
Wieso startet es nicht bei 0, das Spektrum?
Da bei der Energie von Null keine Strahlung entsteht (auch keine Elektronen die Anode erreichen)
Wie würde es aussehen ohne ein abgeschlossenes System aus Glas um die Kathode/Anosde zu nutzen?
Damit die Elektronen nicht gebremst werden, also beschleunigen können, ist die Kathode und Anode mit Vakuum in einer Glasröntgenröhre umgeben.
Wie rekonstruiert man bei CT?
Hauptsächlich mit FBP (Filterung (bei der Aufnahme schon?) und dann Rückprojektion) , da ART zu langsam (zu viel Rechenaufwand für PCs) und die einfache Rückprojektion zu unscharfen Bildern führen würde (auch zu lange mit Layergram-Methode (erst Rückprojektion und dann Filterung), da alle Projektionen von allen Winkeln aufgenommen werden müssen bevor die Rekonstruktion beginnen kann)
Wie kommt die Filterung zustande und wozu braucht man diese
Durch Jacobian (KS-Wechsel), als Gewichtung (der Punkte auf der Linie) genutzt (gewichtetes Integratzionsintegral)
Wie kann man FST zur Rekonstruktion verwenden und welche Probleme enstehen dabei
—> Probleme umgehen?
Nutzung, um eine direkte Rekonstruktion zu erhalten.
FST: die Fourier-Repräsentation der 1D-Projektionen, die der Fourier-Repräsentation des gewünschten Bildes entsprechen, auf einer Linie durch den Anfang mit dem erfassten Winkel (gamma)
F(u,v) = Pgamma(q)
q:
die Fourier-Repräsentative der Xi Koordinate, eine Verbindung der
Polar/Rotationkoordinaten zwischen x,y im Fourierraum —> u,v
und die Polarkoordinate ist dann der Radius q im Frequenzraum (in Richtung Xi
zeigend) (räumliche Koordinate des Detektors)
- Radius q: die Frequenzvariable der Detektorwerte
- Q ist die Repräsentative im Fourierraum des Schatten unter einem Winkel gamma
- x,y sind verbunden mit Xi (Hessische Normalform der Linie)
und u,v (Frequenzvariablen von
x,y), um die Linie durch die Werte des Fourier-Raumes des gewünschten Bildes zu
identifizieren
Problem:
Die direkte inverse Radontransformation mit FST könnte Artefakte produzieren durch die inhomogene verteilte Sampling-Punkte im Fourierraum des gewünschten Bildes f(x,y) —> Regridding Problem führt zu interpolations Fehler bei hohen Frequenzen (schnell sich ändernde Infos: Ränder der Organe)
- Interpolation produziert Artefakte
—>Lösungsstrategie: Wir könnten eine Sampling-Geometrie finden, die Interpolation verhindert.
Umgehen mit Linogramm
FBP
Erst Filterschritt und dann Rückprojektion
- FT des Projektionsintegrals —> Fourierraum
- Filtern im Fourierraum (Multiplikation mit Betrag von q
- Rücktransformieren —> h(gamma)(Xi)
- Rückprojektion mit Xi= xcos(gamma)+ysin(gamma)
Bild f(x,y)= Integral von h(gamma)(Xi) über 0-Pi
Verlauf im Detail:
1.)
Wechsel zwischen kart.Koordinaten zu Polarkoordinaten angucken, um FT in Koordinaten darzustellen, die in die Abtastgeometrie passen—> inverse FT von F(u,v) in Polarkooordinaten und dabei Jacobian berechnen, sodass das Flächenintegral angepasst wird, da sich im PolarKS Fläche mit Distanz ändert —> Jacobian=q
—> ..F(q,gamma)..
2.)
Integral teilen 0-Pi, Pi-2Pi und Verschiebung der Phase im 2. Teil ins Argument von F ziehen.
3.)
Symmetrieeig. Der FT von Realem (:gerade) und Imaginärem(ungerade)
F(q,gamma) ist komplex hermetisch
—> f(x,y)=…
4.)
FST: identifiziere FT einer Projektion mit einer Linie (Xi als hessische Normalform vom Röntgenstrahl) in der FT des gesuchten Bildes: F(q,gamma)
F(q,gamma)=Pgamma(q)
5.)
Zusammenhang aufschreiben: f(x,y)=…
6.)
Für das Integral über q schreibt man kurz: h(gamma)(Xi) = Filterung
Für einen festen Punkt r und einen festen Projektionswinkel gamma ist Xi die Projektionskoordinate des Punktes F
Hochpassfilter q: stärkere Wichtung des Spektrums Pgamma(Xi) bei höheren Ortsfrequenzen durch die linear ansteigende Gewichtung (Fläche in Polarkoordinaten wird größer)
Filterung: Rauschen des Argumentes im Exponenten: Projektionsintegral
—> 1D FT entlang Xi (gewichtet mit Rampfunktion: Hochpassfilter) —> Rücktransformation führt zu hochpassgefiltertem Sinogramm
Wie sieht q im Frequenzraum aus?
Filter im Frequenzraum zeichnen?
Also den Hochpassfilter (nur positiv)
Warum muss man den Filter q abschneiden?
Wegen der periodischen Wiederholung durch Abtastung mit einem Diraqkamm
??
Was passiert beim geraden Abschneiden des Filters?
Anders lösbar?
Abschneiden (truncation) —> da wir keine kontinuierlichen Signale haben mit
Integration von -Q bis Q
Bei realen (mit Rauschen) Signalen wird das Rausachen stark angehoben durch den Hochpassfilter —> die scharfe Begrenzung im Frequenzraum liefert oszillierende Intensitätswerte in Regionen mit starken Kontrastunterschieden —> Artefakte = Gibbs-Phänomen —> entstandenen Überschwinger kontaminieren die zu rekonstruierende Stelle mit benachbarten Punkten der Rekonstriuktion
Nicht so hart abschneiden (Faltungskerne) : Filter an den Seiten langsam auslaufen lassen.
Wie sieht die Projektion aus?
Realteil gerade und Imaginärteil ungerade —> komplex hermetisch
Was sind Metallartefakte und was ist das Problem?
Auslöschungsartefakte, Aufhärtungsartefakte
Ein weiteres Problem sind sogenannte Aufha ̈rtungsartefakte. Das Spektrum einer Ro ̈ntgen- ro ̈hre ist nicht monochromatisch. Die Strahlenabsorption ist von Energie abha ̈ngig, wobei niederenergetische Strahlen sta ̈rker absorbiert werden als ho ̈her energetische Strahlen, was zu einer Erho ̈hung der mittleren Energie des Gesamtspektrums fu ̈hrt. Dieser Vorgang tritt bei allen Gewebearten auf, ist jedoch bei Metallen um ein Vielfaches versta ̈rkt.
Ebenfalls problematisch sind starke Kanten, welche zwischen dem Metallobjekt und seiner Umgebung typischerweise existieren. Die Änderung des Abschwa ̈chungsgradsnimmt in diesen Bereich besonders hohe Werte an. Sollte diese Region durch ein gemeinsames Detektorelement erfasst werden, so geschieht eine Mittelung aller involvierten Koeffizienten μ und der resultierende Wert wird dem Element zugewiesen. Der Logarithmus einer linearen Mittelung stimmt jedoch nicht mit der Summe der Logarithmen u ̈berein. Dadurch ergibt sich ein mittleres μ ̄, welches nicht zu den mittleren Intensita ̈ten I(s) passt. Dieser Vorgang wird als Partialvolumeneffekt bezeichnet.
Wie sieht das Spektrum nach dem Patienten aus?
Es ist in die höheren Energien verschoben, durch beam hardening.
Es werden die schwächeren ganz absorbiert.
Warum ist es ein Problem, dass die Daten im Fourierraum radial angeordnet sind ?
Regridding Problem
Und da man wenig Projektionen hat.
Radial angeordnet: Abstände der Punkte werden größer, je weiter man vom Ursprung sich weg bewegt. —> zu wenig Samplingpunkten an den Stellen.
Kartesisches Gitter: andere Gitteranordnung
Bremsspektrum: Warum messen wir in der Realität keinen genauen linearen Zusammenhang?
Filter Prozesse des Glases
Glas filtert schon niedrige Energien raus
Wsl ist gleichverteilt bei wie viel Energie das Elektron abgibt bei Interaktion —> Zusammenhang ist linear
