CT Flashcards
Wie entsteht Röntgenstrahlung?
Röntgenstrahlung besteht aus elektromagnetischen Wellen (Lamda= 10^(-6 bis -13)m)
Erzeugt beim Eintritt schneller Elektronen in ein Metall (Anode)
Von Kathode —> hohe Spannung anlegen —> aufgeheiztes Filament —> Elektronen bewegen sich/ werden beschleunigt —> Anode mit elektrischen Feldern der Atome) —> Prozesse an Anodenoberfläche: Ablenkung und Abbremsung der Elektronen —> Entstehung eines Photons wenn entschleunigt/gebremst durch Atome
Ladung wird gebremst: Energie wird frei (Elektro.mag. Wellen), schrittweise Energieverlust des Elektrons —> Erhalt eines breiten Energiespektrums von X-Rays
Warum müssen wir die Bindungsenergie /Workfunktion überkommen?
Zwei Effekte
- Entstehung eines Dipol-layers —> Dipol Workfunktion W(D)
- Entstehung einer mirror-image-Force W(M) (beinhaltet Coulomb Kraft)
E= W(M)+W(D) < Ekin —> kin. Energie muss größer sein als E, heißt Elektronen müssen rausgekocht werden.
Was ist die minimale Wellenlänge/max. Energie des Spektrums?
Umwandlung der gesamten kin. Energie e*U in ein einzelnes Photon —> Grenze, die max. Energie liefert
—> Spannung bestimmt Energie des Röntgenspektrums
—> Anodenstrom steuert die Intensität des Röntgenspektrums
Wie kommen die Peaks zustande?
Wie wird die Strahlung genannt?
Linienspektrum entsteht durch schnelle Elektronen, die mit inneren Hüllenelektronen wechselwirken
Auftreten von Linien im Röntgenspektrums entsteht durch Photonenaussendung beim Übergang von einem def. Ausgangsniveau in ein def. Endniveau (Grundzustand K-Schale).
—> Die Photonenenergie und Lage der char. Linien sind char. Für das verwendete Anodenmaterial.
Anregung —> Elektron von K-Schale wird (niedrigerer Energie) wird auf ein noch freies Niveau gehoben (N-Schale) —> Entstehung einer Lücke in K-Schale —> Atom geht nach best. Zeit wieder in energetisch günstigeren Zustand —> mehrere Möglichkeiten:
1. K(gamma) Strahlung: von N nach K —> sehr niedrige Wsl
2 Photonen:
2. K(beta) Strahlung: von M nach K und von N nach M (M(alpha))
3. K(alpha) Strahlung: von L nach K und von N nach L
- Möglichkeit am wahrscheinlichsten
3 Photonen:
K(alpha), L(alpha) und M(alpha)
Photon: hv
Was entsteht zusätzlich durch den niedrigen Wirkungsgrad von 1% (Energieumwandlung in Röntgenstrahlung)
Hitzeentstehung an der Anode —> durch Kühlung mit Einsatz von Drehanoden
BrennFleckBahn:
Abgeschrägte Bahn —> Verteilung der Energie des Elektronenstrahls
Je größer der optische Brennfleck, desto unschärfer wird die Abb., da alle Objekte von einem Halbschattensaum umgeben sind —> Modulationstransferfunktion
Wie wird die Richtungscharakteristik beeinflusst?
1.Verbiegung der Strahlencharakteristik eines Hertzschen Dipols bei Bremsung eines
relativistischen Elektrons
- Heel-Effect: Abnahme der Intensität der Röntgenstrahlung durch Selbstabsorption
Photoelektrische Absorption
Was für ein Prozesse treten selten dabei auf?
K-Grenze?
Ideale Absorption
Photon schlägt Elektron auch K-Schale —> wird aufgefüllt von Schale mit höherer Energie, dabei wird weiteres Photon frei (X-Ray- Fluoreszenz)
Diagnostisches Fenster: Knochen, Weichteile, …
- Sehr selten: Auger-Prozess: innerer Photoel.Effekt: Photon, dass durch Fall eines Elektron aus Schale höherer Energie in Schale niedriger Energie, ein weiteres Elektron (Auger Elektron) raus kickt.
- Direkte Kollision mit Kern, wobei ein Photon ausgestrahlt wird.
K-Grenze: plötzliche Erhöhung der X-Rays, wenn X-Ray Energie knapp über Bindungsenergie
Compton Streuung
Was für eine Streuung? Un/Elastisch
Photon kickt Elektron aus äußerer Schale und wird dabei in einem best. Winkel abgelenkt und verliert dabei Energie.
—> Absorption und Schwächung
Unelastisch
Rayleigh Streuung
In/elastisch ?
Atom schwingt mit gleicher Frequenz wie die kommende Welle (Photon) besitzt, aufgrund der hohen Bindungsenergie der Elektronen. —> geladene Teilchen
Die schwingenden Elektronen emittieren dabei die Energie wieder in Form von elektromagnetischer Strahlung, es entsteht also Streustrahlung. —> größte Strahlungsintesität senkrecht zur Oszillation
Elastisch
Schwächung ohne Absorption
Bremsstrahlung
Wenn geladenes Teilchen beschleunigt wird haben wir einen Dipol –> elektromag. Wellen
In der Anode der Röntgenröhre werden die auftreffenden schnellen Elektronen stark abgebremst. Dabei entsteht die Bremsstrahlung.
Die Elektronen werden im Anodenmaterial je nach Abstand zu einem Kern unterschiedlich stark beschleunigt, entsprechend enthält das Spektrum der Bremsstrahlung alle Photonenenergien bis zum Höchstwert.
Paar-Produktion
- Absorption
- in PET
- es entsteht nach voller Absorption des Photons (meist bei hnü>1,022 Mev) in einem starken Feld von schweren Partikeln (nahe zum Kern)) ein Paar von Positron und Elektron (mit 511KeV) –> Zusammenstoß mit freiem Elektron –> strahlt zwei Photonen aus, die 180° zueinander haben.
Was bewirkt der Heel-Effekt?
wie kann man ih verringern?
eine Strahlhärtung:
Anodenabsorption durch Erosionseffekte der Oberfläche der Anode Intensitätsverluste und Mittelwert der Energiespektrum bei kleinerem Winkel ist zur rechten Seite geshiftet
–> Source-Sided Filtervor der Strahlhärtung
Anforderungen an X-Ray-Röhren
hohe X-ray Intensität –> hohe Stromgeneratoren
schnelle Wärmezerstreuung –> großer Durchmesser, dicke Anodendisk mit schneller Rotation –> Kühlungszeit nach Patientendurchgang
Beer-Lambert Regel (Problem?) ?
Strahl Abschwächung mü abgeschwächter Strahl
Realität: mehrere Abschwächungen (mehrere Gewebe) –> Dicke UND Weg abhängig–> Mü integrieren
was ist das Projektionsintegral und Bild?
Projektionsintegral: Schatten unseres Objektes
Müs = Bild
Einflüsse auf Schwächung
Wellenlänge, Atomnummern (Ordnungszahl), Dichte, Dicke
Wie rekonstruiert man bei CT?
beliebteste methode (versus Radons lösung): FBP (gefilterte Rückprojektion) - mit Hilbert (lineare Integraltransformation)
CT bis zum Bild
Hierbei wird das Objekt innerhalb einer Schicht mit einer punktförmigen Röntgenquelle durchstrahlt. Man erhält dann auf dem gegenüberliegenden Detektor hinter dem Objekt eine perspektivische Projektion. Dreht man die Röntgenquelle und den Detektor um das Objekt, erhält man für jede Projektionsrichtung ein Profil P(r, Φ) senkrecht zur jeweiligen Projektionsachse. Um zur gewohnten zweidimensionalen Darstellung zurückzukehren, ist eine mit einer Wichtungsfunktion gefaltete Rücktransformation notwendig (Abb. d). Wird diese Filterung der Projektionen vor der Projektion weggelassen, führt dies zu stark verschmierten Strukturen
FST (Fourier-Slice-Theorem)? (Zentralschnitttheorem)
die Projektion einer Funktion f(x,y) in der Richtung Theta die eindimensionale Fourier-Transformation des Schnitts durch F(u,v) in der Richtung Theta ist, wobei u bzw. v die mit x bzw. y korrespondierenden Raumfrequenzen sind. Der Schnitt geht dabei stets durch den Ursprung im Fourier-Raum ({u=v=0}).
Warum muss man bei der Rekonstruktion filtern?
Sonst Problem beim Wechsel zwischen radial und kartesisch –> unterschiedliche Größe
Filter der FBP
|q|: Hochpassfilter (Rampfunktion?) –> Konsequenz der Jakobian
Detektortypen
Gasdetektor: (nur 70% Effizienz)
Erst: Scintillator Schicht —> X-Ray zu Licht zu Elektronen
Xenon gefüllt mit hohem Druck mit Kathode (zieht Ionen an) und Anode (Elektronen)—> Anode zählt Elektronen, die prop. Zur X-Ray Intensität sind.
Anti-Streuungsgerät: Nur X-Rays, die senkrecht kommenden nicht von der Seite werden aufgenommen
Solid-state Detektor mit Kadmium gefüllt
Scanner Entwicklungen
- First-Generation-Scanner: Pencil Beam
- EinzelStraldetektor
- Einzelbild Projektion pro Translation
- 5min. Bildzeit
- nur Kopf - second-gen. Scanner: Fächerform X-Ray-Strahl
- mehrere Strahldetektoren
- 30 sec.
- Kopf und Körper - third-gen. Scanner(heute)
- Fächerform —> bedenkt ganzen Patienten
- Detektorarray
- 360° Drehung von Detektor und X-ray-Quelle
- 1sec
- Kopf und Körper - fourth-gen. Scanner (sehr teuer)
- Fächerform
- Tausende individuelle Detektoren, die fest sind
- 1sec
- keine Ringartefakte
- höhere Dosis durch Zwischenraum der Detektoren
CT Technologien
ElektronenstrahlCT: X-Ray-Quelle ist keine X-Ray Röhre, sonder ein fokussierter gesteuerter Elektronenstrahl auf ein Wolfram Ring, was eine bewegende Quelle erzeugt. Hitzeentwicklung ist kein Problem Weniger als 50ms - Herzbildgebung
Slip-Ring-Technologie: - kein Zwischenstand Verspätung - kein Kabelband?? - Einzel Atemhalte-Bildgebungsprogrammen des Torsos —> hat SpiralCT möglich gemacht —> heute optische Slipringe
—>SpiralCT: keine Pausen/Stoppen, aber Artefakte durch Bewegung des Patienten durch Röhre
Erste Bildrekonstruktion in den 70-Iger Jahren
ART: Algebraic Reconstruction: einfaches lineares Gleichungssystem (LGS)
- diskretes Sampling
- Bestimmung der Größe und Anzahl der Pixel im FOV: 2x2 Bild = 4 Elementvektor
- fj als unbekannte Schwächungskoeff. (Mü j)
- pi als gemessene Projektionen
- aij als Gewichte in Systemmatrix A
p=Af —> Inverse finden
—> brauchen ein überdef. System, heißt dass A keine quadr. Matrix mehr ist
Wir brauchen ein überbestimmtes System (wegen des Rauschens, das wir haben)
Dafür brauchen wir ein passendere Inversion —> durch SVD berechnet
Das System könnte riesig werden mit vielen Detektorenelementen —> Alternative: iterative Methode: Kaczmarz Methode
Pseudoinverse/ Penroseinverse
die Moore-Penrose-Inverse A ^ {+} einer Matrix A die bekannteste Verallgemeinerung der inversen Matrix.
Verallgemeinerung der inversen Matrix auf singuläre und nichtquadratische Matrizen
Moore-Penrose-Inverse (auch einfach Pseudoinverse) einer Matrix A\^{{mxn}} ist die eindeutig bestimmte Matrix A^{+}^{{nxm}}
Singulärwertzerlegung (SVD)
Eine Singulärwertzerlegung (Abk.: SWZ oder SVD für Singular Value Decomposition) einer Matrix bezeichnet deren Darstellung als Produkt dreier spezieller Matrizen. Daraus kann man die Singulärwerte der Matrix ablesen. Diese charakterisieren, ähnlich den Eigenwerten, Eigenschaften der Matrix.
A=USigmaV^T
U (spannt Datenraum auf) und V (spannt Lösungsraum auf: quadr. Matrizen
Sigma: Rechteckmatrix (diagonal) mit singulären Werten
Problem in realen CT:
Was ist nicht möglich, wenn Matrix A rechteckig, nicht quadratisch (mehr Gleichungen als Unbekannte) ?
Und was ist die Lösung dafür?
- Wir brauchen ein überbestimmtes System (wegen des Rauschens, das wir haben)
- Dafür brauchen wir ein passendere Inversion : durch SVD berechnet
- Das System könnte riesig werden mit vielen Detektorenelementen
—> Alternative:
iterative Methode!
—> Kaczmarz Methode
Wir brauchen ganz viele Detektorelemente:
Bildmaterial, die rekonstruiert wird: 512x512 Pixel
N unbekannte Mengen und M Gleichungen —> M>N
—> Eine direkte Umkehrung (Invertierung) der Matrix A durch Nutzung der SVD-Berechnung ist nicht praktizierbar.
—> iterative Rekonstruktion
Iterative Rekonstruktion
Warum benötigt man die Iteration?
Wie sieht eine Iteration aus?
Wie heißt eine dieser bekannten Methode?
Nutzung: Da keine direkte invertierung von A (Systemmatrix, rechteckig) möglich ist
- Mit einem Anfangsbild starten (pm): Schwächungskoeff. Sind null f(0)
- Vorwärtspeojektion ps= Af(0)
- Korrekturschritt: Rückprojektion pm-ps
- Wiederholen mit anderen Perspektiven
Eine Sequenz von Bildern nähert sich an das erwünschte tomografische Bild
Eine iteration: f(1): A^T(pm-ps)
pm-ps : Rückprojektion
—> Kaczmarz Methode
Kaczmarz Methode
- Wann ist die Iteration in einem einzigen Schritt fertig?
- Wann würde die Iteration niemals enden?
Vorwärts-, Rückprojektion und Korrektur
-Vergleich zwischen der gemessenen Projektion p und der simulierten Vorwärtsprojektion p(n)= A*f(n) führt zu einer Verbesserung des Bildes f(n+1)
Bis zur Kreuzung der X-Ray Linien/Projektionen p(n)
Kreuzung am Punkt f(Schlange) als Näherung der penrose Inversen
- wenn die Linien senkrecht zueinander liegen würden
- wenn die Linien parallel zueinander sind liegt der Kreuzpunkt in der Unendlichkeit
- initiales Bild bestimmen
- Vorwärtsprojektion berechnen basierend auf der n-ten Schätzung: p(n)=Af(n)
- Korrekturschritt (minus vor Bruch) der Schätzung: Projektionsindex ist zufällig gewählt: Formel f(n)=f(n-1)-…
- Stoppkriterium: Iteration stoppen, wenn keine Veränderung (die größer als fixer Grenzwert ist) in den aufeinanderfolgenden Bildwerten passiert.
Radon Transformation
Eine Integraltransformation einer Funktion in zwei Variablen. Es wird ein Linienintegral der Funktion f(x,y) längs aller Geraden der x,y-Ebene bestimmt. Für jede dieser Geraden kann man sich die Radontransformierte als eine Projektion der Fkt. f(x,y) auf eine dazu senkrechte Gerade vorstellen.
—> inneres Produkt zwischen einer bestimmten Reihe der Systemmatrix A definieren
Objekt kann anhand aller Linienintegrale bestimmt werden.
Transformation von f(x,y) nach p(Teta, s) durch Radontransformation
Hesse-Normalform
Eine Integration über alle Punkte und Richtungen kann somit die ganze Fläche des Objektes darstellen. Dabei sind einige Linienintegrale jedoch identisch, was zu Problemen führt. Um diese Herausforderung zu bewältigen wurde ein neues Ordnungsschema gewählt, bei dem alle Linienintegrale nur einmal vorkommen: Die sogenannte Hesse-Normalform.
—> Annahme, dass manche Projektionen unter beliebigen Winkeln bekannt
Was ist bei der Iteration zu beachten?
Es muss ein überbetontes System sein: mehr Strahlen, als Koordinaten f
Rauschen könnte auftreten —> heißt es gibt nicht nur ein Kreuzpunkt aller Geraden, wodurch man in einem Dreieck gefangen ist am Ende —> Kompromiss: mit Fehler berechnen
Diskretisierung des Bildes mit Nutzung von Blobs:
f(r) wird angenähert mit lin. Kombi. Der Basis Funktionen
f(r): kontinuierliche räumliche Verteilung der Schwächungswerte
Idee: f(r) annähern mit f=(f1,…fN)^T
N: Anzahl der Basisfunktionen
Iteration:
Wie gelangen wir schneller zum finalen Ergebnis?
Durch die Relaxationstechnik mit Lamda ungleich 1 (konvergiert gegen 1) vor Bruch
Klare Grenzen der Pixel machen Probleme —> Wie kann man dies verhindern?
Blobs anwenden —> Pixel überlappen
Basisfunktion: Phi(j)
rj: Zentrum der Basisfunktion
r: aktuelle Position
Basisfunktion mit Vektor (r-rj) multiplizieren
Signalverarbeitung
Wie werden die Signale analysiert?
Annäherungen des analogen Signals
Signaltransformation
—> System durch fundamentale Signale analysieren:
Da zb. Recht. Fkt besser zu verstehen als komplexe: Annäherung
Mit rect Fkt. Ein Gatter unter Signal erstellen: Summe von rect.Fkt.
Jede einzelne rect.Fkt. Hat einen Ort nX0
—> je kleiner die Funktion, desto akkurater die Annäherung —> Konzept der Delta-Verteilung mit limes gegen Null —> wird Strich
Analoges Signal Abtasten—> Dirac-Kamm
Was wird bei der Signalübertragung genutzt?
S(x) —> h(x) —> g(x)
- h(x): Impulsantwort
- Delta als Hammer nutzen
- output Fkt kann beschrieben werden durch input signal in Faltung mit h(x), gemessen mit Hammerfunktion … L(s(x)): lin.Operator
g(x)= s(x)* h(x) —> substituieren durch Delta(Xsi)
Signalverarbeitung:
Was wird anstatt der Hammerfunktion genommen?
Eine sinusförmige Fkt. Und Frequenz mit Funktionsgenerator durchsuchen
Nehme Eulerrelation: allg. Def. On Sinus/Kosinus
Wie nennt man das Muster einer räumlichen 3D Frequenz?
Stickmuster
Hermitische Fkt.
Bei welcher Funktion ist die FT komplex und hermetisch?
Sie sind ein sehr gutes Beispiel für die Definition (Erzeugung) einer orthonormalen Basis, ähnlich der Sinus-/Kosinusfunktionen. Während letztere in der Lage sind, mittels der Spektralanalyse (Fourieranalyse) ein periodisches Signal in ein Frequenzspektrum zu zerlegen, erlauben die Hermiteschen Funktionen die Beschreibung singulärer Ereignisse.
Bei realen und unsymmetrische Fkt.en
Hilbert-Transformation?
Cauchy Fundamentaltheorem?
Eine lin. Integraltransformation, eine Abbildung aus der Systemtheorie. Stellt eine Beziehung zwischen Betrag und Phase her. —> 4 mal Hilbert angewendet auf Funktion f(x)= f(x)
Anwendung bei Umformung eines reellen Signals in ein analytisches.
Sie erweitert reelles Signal zum komplexen (analytisches Signal)
- Sie ist eine Faltung der Fkt. Mit 1/Pix
Gegensatz zu FT und Laplace (Abb. von Zeit und Frequenzbereich aufeinander) :
Hilbert wechselt nicht den Bereich (beides Zeitfunktionen?)
Welche zwei KS werden genutzt?
Welches gehört zum Samplingsystem und wo sind die Messungen gefordert?
- ein festes PatientenKS (x,y)
- ein rotierendes um Patient: sampling System —> Messungen
Wodurch können die Punkte des X-Ray Strahls auf den Detektor projiziert werden?
Alle Punkte, die den Detektor an der Stelle xi treffen, kann durch das innere Produkt von r und u(xeta) auf den Detektorpunkt xi projiziert werden.
Was bedeutet Sampling?
Summierungsprinzip?
Das Summieren von allen Punkten auf der Strahllinie L.
Ganze Ebene: Mit Radon Transformation: Bestimmung eines Linienintegrals der Funktion f längs aller Geraden in x-y-Ebene.
Bildpunkte f(x,y) —> Projektionslinie p(gamma, Xi)
wo werden die Rohdaten gesammelt?
Von Aufnahme bis Projektionsintegral?
In eines Sinogramm —> der Shift einer Detektorlinie ist sinusförmig
Intensitätsplot (beer-lambert-law) —> Log(intensitätsplot), um Argument der e-Fkt zu bekommen —> Projektionsintegral(Radonraum)
Bildrekonstruktion aus komplexem Sinogramm im Radonraum
Methode?
Analytische Rekonstruktion (Fourier-basiert)
- mit Radons Lösung
- FST
- Regridding
Radons Lösung
Berechnung der Werte von f(x,y) (Schwächung), die durch den Mittel-Projektionswert pr(R)komplett bestimmt. —> f(r)
Mittel-Projektionswert pr(R) geformt (mit (p(Xi,gamma))) für die Tangentenlinien der Kreise mit dem Zentrum r und Radius R
Wann wird das Fourier Slice Theorem genutzt?
Bei der inversen Radontransformation: Beziehung zwischen Bild und FT vom Bild und Projektion und FT von Projektiion respektiv.
Das Bild und die Projektion wird durch das FST gegeben
Gemessene Projektion p —> FT —> P —> ?—>F—> FT^-1 —> Bild f
FST: bestimmt die Beziehung zwischen Radontransformation p( und Diagonale des Wellenzahlen Spektrums P(kx, 0)
Was ist q in dem Projektionsintegral
Radius q: die Frequenzvariable der Detektorwerte
Q: Repräsentative im Fourierraum des Schattens unter Winkel gamma
Die Fourier-Repräsentative der Xi Koordinate, eine Verbindung der Polar/Rotationskoordinaten zwischen x,y im Fourierraum u,v
—> Polarkoordinate ist der Radius q im Frequenzraum (Richtung Xi zeigend)
Gibt es eine Veränderung des INtegralelemetes bei der analytischen Rekonstruktion mit FST?
Für die Substitution: die Verzerrung ist nur eine Rotation —> keine Veränderung des Integralelementes —> Jacobian=1
Wie wird eine direkte Rekonstruktion erreicht? (Analytisch)
Durch die Gleichheit von Pgamma(q), fourierrepräsentationen der gemessenen Projektionswerte, mit F(u,v), Fourierwerte des gewünschten Bildes, in einem Plot
Pgamma(q) —> FST —> F(u,v)
Wozu benötigen wir das kartesische Regridding und bei welcher Rekonstruktion ist die nötige Anwendung ein Problem?
Was passiert bei hohen Frequenzen
Nötig, da die Winkel schrittweise erfasst sind —> Lücken zwischen Winkeln
Bei der direkten Rekonstruktion durch FST
—> bei hohen Frequenzen entstehen größere Lücken, wodurch die Interpolation viel ungenauer wird -> Fehler/Artefakte
Lösungsstrategie für das Problem der Interpolation beim Regridding?
Sampling-Geometrie finden , die Interpolation verhindert:
Nutzung der reziproken Beziehung zwischen Fourierraum und Radonraum
—> Linogram Sampling
Was ist Aliasing? Und wie kann man es verhindern?
Überlappung der Signale
Durch sampling Theorem (Nyquist)
Wie erreicht man ein Samplingschema, in dem wir die Datenpunkte exakt an der Position eines regulären Gitters gemessen haben, sodass keine Interpolation mehr nötig ist?
Eine Verschiebung im Frequenzraum zu höheren Frequenzen (dass reguläres Gitter entsteht: um konzentrische Quadrate im Fourierraum zu erhalten) heißt, eine Verkleinerung der Abstände im Ortsraum
Was ist ein Linogram?
Was wäre die Alternative und warum zieht man lieber diese in Erwägung?
Sampling-Geometrie finden , die Interpolation verhindert:
Nutzung der reziproken Beziehung zwischen Fourierraum und Radonraum
Rückprojektionsmethoden, da es zu teuer wäre mit zwei festen Detektoren
Alternative zum Linogramm?
Einfache Rückprojektion: Projektion zurück schmieren.
Auch mit Radontransformation und inversen
g(x,y) = f(x,y) Faltung mit PSF h(x)
f(x,y)= Delta(x,y) : ein Punkt
Was definiert die PSF Punktspreizfunktion
Definiert wie ein Punkt sich in der Nachbarschaft ausbreitet
Was macht ein Punkt?
Wenn ein Punkt in die Nachbarschaft mit 1/r(Distanz vom Ursprung) gestreut wird, dann ist die Rekonstruktion immer möglich —> da wir mit Überlagerung der Infos über 180° am Ende eine Grenze nehmen können und das Maximum des geschmierten Bildes als das originale Punktbild definieren.
Einfache Rückprojektion Problem
Lösung
Unscharfe Rekonstruktion
—> PSF bekannt —> scharf durch Entfaltung mit Layergram Methode
g(x,y)gemessen(unscharf)=f(x,y)*h(x,y)
Entfaltungsschritt mit linearen Variable q (q in der FT der PSF h(x,y))
H(u,v)=F (1/Wurzel(x^2+y^2) in Polarkoordinaten wegen der radialen Symmetrie
Wie rekonstruiert man bei CT –> FBP
Berechnung der Fouriertransformierten p_γ (ξ)= P_γ (q)
Rücktransformation des hochpassgefilterten P_γ (q) |q|P_γ (q)=h_γ (ξ)
Rückprojektion mit ξ=xcos(γ)+ysin(γ):f(x,y)= ∫_0^π▒〖h_γ (ξ)dγ〗
Betrachte den Wechsel von kartesischen zu Polarkoordinaten. Wie sieht die inverse FT von F(u,v) in Polarkoordinaten aus? –> FT in Koordinaten darstellen, die zu Abtastgeometrie passen
Das Flächenelement dudv ist bei Koordinatenwechsel durch J dqdγ gegebenen –> Jacobi Identität
Die Elemente du dv haben im kartesischen System immer dieselbe Fläche
In Polarkoordinaten: Fläche ändert sich mit Distanz –> Wähle korrekte Verwendung des neuen Flächenelements in Polarkoordinaten
Teilen des Integrals (Projektionen von 0- pi und von pi- 2pi getrennt betrachten)
Die Verschiebung der Phase im 2. Integralterm kann man ins Argument von F ziehen.
Nutze Symmetrieeigenschaften der FT –> f(x,y) ist real, nicht symmetrisch –> F(q,γ) komplex, hermitisch (real: gerade, imaginär: ungerade)
FST anwenden (Identifizieren einer FT einer Projektion mit einer Linie in der FT des gesuchten Bildes)
–> F(q,γ) ist Linie in der FT des gesuchten Bildes
Für einen festen Punkt und einen festen Projektionswinkel ist ξ die Projektionskoordinate des Punktes r –> h_γ (ξ) ist die gefilterte Projektion p_γ (ξ), die durch Multiplikation im Frequenzraum zustande kommt
Ohne die Multiplikation mit Betrag von q würde die Gleichung nur die inverse FT von P_γ (q) ergeben
Durch Multiplikation mit Betrag von q –> Hochpassfilterung, da durch die linear ansteigende Gewichtung das Spektrum p_γ (ξ) stärker gewichtet wird
Was macht Betrag von q?
Hochpassfilterung, da durch die linear ansteigende Gewichtung das Spektrum p_γ (ξ) stärker gewichtet wird
Zeichnen Sie den Rampenfilter mit Achsenbeschriftung
was ist das für ein Filter?
P_γ (q) über q aufgetragen
Hochpassfilter als Gewichtung (Konsequenz der Jakobian)
Was macht man gegen Rauschen im Bild?
–> Nyquist und Shepp Logan –> Nuk
Nyquist: die Samlingfrequenz sollte größer gleich 2 mal die höchste vorkommende Frequenz sein –> die Samplingfrequenz ist das inverse der Samplingdistnaz r –> dann kann die höchste Frequenz, die aufgenommen werden kann höchstens : v=1/(2*dr) sein
Aber: Die radiale Abtastung dr impliziert eine obere Grenze für den Ramp Filter→ Cut-Off
Wann nutzt man die Besselfunktion?
bei Problemen mit radialer Symmetrie und Analyse des Frequenzspektrums frequenzmodulierter Signale
Was kann man mit der Layergram Methode erreichen?
Was ist der NAchteil?
Was ist eine schnellere Methode?
die einfache Rückprojektion reparieren (scharfes Bild)
nachteil: Projektionen aus allen Blickwinkeln müssen erfasst werden bevor Rekonstruktion begonnen werden kann.
- -> FBP
FBP: in welchem Raum ändern sich die Integrationselemente?
im Polarraum, im Kartesischen nicht
FBP: Warum splitten wir die Integration?
Durch den Fakt, dass die Projektionen in den Intervallen (0-Pi) und (Pi-2Pi) dieselben Informationen haben
wir nutzen die Phasenverschiebungen in den Argumenten im zweiten Teil.
FBP - Schritte
- Filterschritt
2. Rückprojektionsschritt, Diskretisierung auswählen
Was ist ein Vorteil der FBP gegenüber der direkten Rückprojektion (einfachen Rückp.)?
- bei der FBP haben wir gleichverteilte Informationen in allen Teilen des Bildes
- Alle 180° X-Rays haben Muster mit gleichen Dichten –> Anzahl der Rückprojektionen ist gleich in allen Regionen
FBP: Filter im Bildraum?
Filter Kernel mit versch. Betas
–> je niedrieger Beta, desto schärfer der Kernel
Was passiert durch den Detektor/die Detektorelemente und was müssen wir bei dem Sampling beachten?
Wir bekommen eine Diskretisierung durch die Xi-breiten Detektorelemente
Müssen beim Samplen Nyquist Frequenzen anwenden, um Aliasing zu verhindern
- Samplingrate: 1/Xi
- Frequenzen, die größer als 1/2 der Samplingrate sind stoppen
- Abschneiden (Truncation), da wir keine kontinuierlichen Signale haben: Integration von Frequenz -Q bis Q —> mehrere Schnitte
Das Abschneiden ist ein Filter: eine rechteckfkt im Fourierraum und im Ortsraum eine Sincfkt. (Der Shepp-Logan-Filter ist ein Mittelweg zwischen den beiden vorigen. Weiche Filter erzeugen größere, gleichmäßige Strukturen, harte Filter feine, aber unruhige)
—> Dämpfen, um scharfe Rekonstruktionen zu bekommen —> aber räumlich Auflösung wird kleiner —> TradeOff
Also haben wir am Ende eine Summe über Projektionsschritte N —> Bsp. 180 Projektionen in 1°-Schritten
Was ist der Detektor-Quarter-Shift?
Bei Detektorelementen mit flachem Intensitätsprofil einzusetzen!
Gemessenes Signal ist nicht Bandlimitiert (durch sinc.Fkt) —> Bandüberlappungsprobleme —> Shannon-sampling-theorem besagt, der Abstand zwischen Abtastpunkten muss Delta(Xi)/2 sein, was aber durch die Konstruktion nicht möglich ist. —> können den Abstand der Detektorelemente ja nicht halbieren
Lösung: Verschieben des Detektors, sodass X-Ray Abstände Delta(Xi)/2 sind. —> Messungen im Sinogramm nach 180° nicht mehr gleich, sondern genau dazwischen aufgenommen.
Höhere Quarter-Detector Verschiebung: höherer Sampling in der Mitte als Außen
Reicht eine 180° Drehung bei einem Fächerstrahl, um 180° zu bestrahlen?
Und was macht man bei der Rekonstruktion?
Nein, man muss 180° + Fächerwinkel drehen!
Da bei nur einer 180°-Drehung ein paar Winkel/Punkte ausgelassen wurden
Rebinning/umlagern zu einer Pencil-Beam Geometrie —> Parallele Strahlen finden.
Implementation: Rekonstruktion bei einer Fan-Beam-Situation
Umsamplen zu paralleler Strahlgeometrie
mapping vom realen gebogenen Detektor zum virtuellen geraden Detektor. Für jeden Teta von Zeta (beides Winkel) einen
bestimmten Punkt auf dem virtuellen Detektor finden. Für jeden Projektionswinkel und
bestimmten Winkel.
Was ist die Feldkamp-Methode?
3D - Rekonstruktionsschema:
Gefilterte Projektionssignale sind durch das Volumen zurück verfolgt —> Werte werden mit quadratisch reziproken Abständen gewichtet
—> nur eine Annäherung, da die Methode Fehler macht
Was ist der Vorteil der Spiral berechneten Topografie (Spiral-CT)?
Diskontinuierliche Verschiebung macht weiße Striche (Artefakte)
Pitch= Tischbewegung/Schichtdicke
Was gehört zur statistischen Rekonstruktion? Und welche Rekonstruktion benutzt man lieber bei CT
X-Ray Photonen Statistik —> Wissen in Max likelihood reconstruction nutzen
Beliebter: FBP
Was besagt die X-Ray Quanta Generation Statistik?
Jedes Elektron, das in einem Zeitfenster (0,T) am aktiven Fokusvolumen (Anode) ankommt, hat eine Wahrscheinlichkeit p, dass es im gleichen Zeitintervall mit einem Zielatom interagiert, sodass ein X-Ray auftaucht.
—> Jeder Kollisionsprozess ist statistisch unabhängig
—> heißt, dass die Anzahl an X-Ray Quanten N eine binomial verteilte willkürliche Variable mit n(0,…N)
—-> Bernoulli Verteilung (eine diskrete): N über n
Wenn Anzahl an hohen Eventen N kann die Verteilung der X-Ray Photonen in einem best. Zeitfenr durch Poisson Verteilung (kontinuierlich) modelliert werden.
Was ist das Sinogramm?
Eine Zusammenfassung der gemessenen Projektionswerte des Projektionsintegrals in einem kartesischen KS (Xi,gamma).
—> Das Diagramm wird Sinogramm oder Radonraum genannt
Max. Likelyhood Rekonstruktion
Die Wahrscheinlichkeit eines Absorption’s-/Streuungs- Event ist proportional zum Schwächungskoeffizienten.
Die absolute Anzahl an Röntgenstrahlen —> Poisson-Statistik —> Erwartungswert von Anzahl der erzeugten Quanten (poissonverteilt)
Mit Beer-Lambert-Gesetz
Intensität der Strahlung ist Proportional zum Erwartungswert der Anzahl an erzeugten Quanten
Also —> die Wsl der Messung einer bestimmten Anzahl an Quanten ni mit einem erwarteten Wert ni* kann als Poissonverteilung modelliert werden.
ni ist statistisch unabhängig
—> Mit einer gewissen Wsl (Poissonverteilung) messen wir eine bestimmte Anzahl an Quanten mit einem Erwartungswert.
Wit messen bets. Anzahl an Photonen ni obwohl wir ni* erwartet haben und die Wsl, dass der erwartete Wert eintritt ist poisson-verteilt.
Die Wsl ni zu messen ist gegeben durch Poissonstatistik.
—> Beerlamberlaw ist nicht in Nuk. Gebraucht (e^…)
Max.Likelihood.Expectation max.
Ist eine Optimierung/Maximierung der log-likelyhood Funktion l(f*)
Hinreichende und notwendige Bed.:
- Ableitung =0
- die Konkavität der Funktio l zeigen mit Hessische Matrix (zweite Ableitungen): negativ-semi-definit
—> dann Fixpunktiteration
