Cours 8 : Relations entre variables numériques = corrélation

Question 1

Quelles sont les deux types d’hypothèses étudiées en statistique inférentielle?

Answer 1

1. D’une part, on s’intéresse à savoir s’il y a une différence entre des groupes de données;
2. D’autre part, on désire étudier s’il y a une relation entre deux ou plusieurs variables.

Question 2

Qui-suis-je? « tests statistiques utilisé pour évaluer les différences entre des groupes de données et qu’on applique aux proportions d’échantillons factoriels »

Answer 2

Le test d’ajustement du χ2

Question 3

Qui-suis-je? « tests statistiques utilisé pour évaluer les différences entre des groupes de données et pour comparer les moyennes d’échantillons numériques »

Answer 3

Le t-test

Question 4

Qui-suis-je? « tests statistiques utilisé pour évaluer les différences entre des groupes de données et pour comparer la distribution d’un échantillon numérique à une loi de distribution Normale »

Answer 4

Le test de shapiro-wilk

Question 5

Qui-suis-je? « tests statistiques utilisé pour évaluer les différences entre des groupes de données et pour comparer les moyennes de deux échantillons numériques qui ne respectent pas les conditions d’application d’un t-test »

Answer 5

Le test des rangs signés de Wilcoxon

Question 6

Qui-suis-je? « tests statistiques utilisé pour évaluer les différences entre des groupes de données et à un facteur pour comparer les moyennes de > 2 échantillons numériques »

Answer 6

Le test d’ANOVA

Question 7

Qu’est-ce qu’une série statistique double?

Answer 7

Il s’agit de l’analyse simultanée de deux variables numériques mesurées sur les mêmes éléments.

Question 8

Quelle condition doit-on respecter pour avoir une série statistique?

Answer 8

il faut qu’au moins une des deux variables soit aléatoire (2 variables aléatoires est aussi possible)

Question 9

Qui-suis-je? « représente la moyenne des carrés des écarts de chaque élément de l’échantillon par rapport à la moyenne du groupe. »

Answer 9

Variance

Question 10

Qui-suis-je? « Elle permet de quantifier la force et la direction (positive ou négative) de l’association entre deux variables numériques. »

Answer 10

Co-variance

Question 11

Quelle est la différence principale entre la variance et la co-variance?

Answer 11

Dans la co-variance, qu’on fait la somme du produit des écarts de chacune des variables de la série double (X et Y) à sa propre moyenne (X¯et Y¯), au lieu de prendre le carré des écarts d’une seule variable.

Question 12

Quels sont les autres particularités de la covariance?

Answer 12

• La covariance est commutative
• X¯ et Y¯ représentent les moyennes des deux échantillons de même taille qui recensent les mesures de la série double;
• La covariance sera élevée et positive si les déviations des valeurs à la moyenne en X et en Y varient ensemble;
• À l’inverse, la covariance sera élevée et négative si les déviations des valeurs à la moyenne en X et en Y varient de façon opposée;
• La covariance sera nulle si X et Y varient de façon indépendante l’une de l’autre.

Question 13

Qui-suis-je? « standardisation de la covariance par les écarts-types des échantillons, SX et SY »

Answer 13

coefficient de corrélation de Pearson rxy

Question 14

Dans quel intervalle le coefficient de Pearson varie-t-il?

Answer 14

-1 < 0 < 1

Question 15

Qu’implique un coefficient de Pearson de -1?
de 0 ?
de 1 ?

Answer 15

a) lorsque X et Y varient dans des proportions exactement opposées, c’est-à-dire que la corrélation est parfaite et négative entre les deux variables;
b) lorsque X et Y sont parfaitement indépendants, c’est-à-dire qu’il n’y a aucune corrélation entre les deux variables;
c) lorsque X et Y varient exactement dans les mêmes proportions (varient ensemble), c’est-à-dire que la corrélation est parfaite et positive entre les deux variables.

Question 16

Vrai ou faux? Le coefficient de corrélation est une mesure de dépendance linéaire

Answer 16

Vrai

Question 17

Vrai ou faux? rxy quantifie à quel point X et Y varient ensemble linéairement mais aussi de combien varie Y selon X

Answer 17

Faux, ça prend la régression linéaire pour savoir de combien Y varie selon X

Question 18

Quelles sont les possibles hypothèses statistiques pour le test de corrélation de Pearson?

Answer 18

H0: il n’y a pas de lien/pas de relation entre les variables ⟹ρ=0

H1 : il y a un lien/une relation entre les variables ⟹ρ≠0
pour un test bilatéral;

ou

H1 : les variables varient ensemble (de façon opposée) ⟹ρ>0 (ρ<0) pour un test unilatéral, possible puisque −1≤ρ≤1
.

Question 19

Vrai ou faux? La statistique de test nous permettant de calculer la p-value du coefficient de corrélation de Pearson est une valeur de t

Answer 19

Vrai

Question 20

Quel est le degré de liberté pour le coefficient de correlation de Pearson?

Answer 20

dl = n − 2

Question 21

Quelles sont les conditions (4) d’application à respecter pour pouvoir calculer le coefficient de corrélation de Pearson et effectuer un test de significativité?

Answer 21

1. L’échantillonnage de la série de données double est indépendant et aléatoire;
2. Les mesures de X et Y suivent une distribution Normale bivariée :
3. Les valeurs de X et Y sont chacune distribuées normalement
4. la relation entre X et Y est linéaire

Question 22

Vrai ou faux? « Ces conditions d’application à respecter pour pouvoir calculer le coefficient de corrélation de Pearson et effectuer un test de significativité sont très sensibles à la présence de valeurs extrêmes (outliers)

Answer 22

vrai

Question 23

Dans le cas où, après un test de Shapiro-Wilk, on constate que X et Y ne sont pas distribués normalement, quelles sont les options (2) qui s’offrent à nous?

Answer 23

1. Si on décide d’appliquer une transformation, il est dans ce cas tout à fait possible de n’en transformer qu’une seule des deux.
2. Sinon il existe une statistique et un test équivalents non-paramétriques : le coefficient de corrélation de Spearman.

Question 24

Il est vrai de dire que le coefficient de Spearman est beaucoup moins sensible aux valeurs extrêmes.

Answer 24

oui true

Question 25

Quelle est la seule différence entre le coefficient de Pearson et celui de Spearman?

Answer 25

Le coefficient de Spearman se calcule comme le coefficient de Pearson, mais sur les rangs des valeurs :

Question 26

Quelles sont les hypothèses statistiques possibles pour le test du coefficient de Spearman?

Answer 26

H0 : il n’y a pas de lien/pas de relation entre les variables (ρS = 0)

H1 : il y a un lien/une relation entre les variables (ρS≠0) pour un test bilatéral;
ou
H1 : les variables varient ensemble (de façon opposée) [ρS>0 (ρS<0)] pour un test unilatéral, possible puisque −1≤ρS≤1
.

Question 27

Quelle est la statistique de test de Spearman à effectuer si n > 100 ?

Answer 27

on utilise la même procédure que celle utilisée pour le coefficient de Pearson et on calcule une statistique de t, mais avec la valeur de rS

Question 28

Quelle est la statistique de test de Spearman à effectuer si n < 100 ?

Answer 28

on doit comparer rS calculé à une valeur critique issue de la table de Spearman correspondant au nombre d’observations n

Question 29

Vrai ou faux : la conclusion d’un test de Spearman ne se fait jamais à l’aide d’un intervalle de confiance.

Answer 29

Vrai, La conclusion du test s’obtient donc en comparant notre statistique de test appropriée à la situation (soit rS si n<100, soit tcalculée si n>100) à une valeur critique correspondante, ou bien en utilisant la fonction cor.test(…, method = “spearman” ) dans R pour obtenir une p-value… mais pas d’intervalle de confiance !

Question 30

Qui-suis-je? « recense les valeurs des coefficients de corrélations (Pearson ou Spearman, peu importe !) entre chacune des variables mesurées conjointement lors d’un échantillonnage »

Answer 30

Matrice des corrélations

Question 31

Vrai ou faux : La matrice de corrélation est symétrique

Answer 31

Vrai, on analyse seulement sa partie supérieure ou inférieure, car elles sont égales.

Question 32

Vrai ou faux : La diagonale d’une matrice de corrélation représente le coefficient de corrélation d’une variable avec elle même, donc il sera de 1;

Answer 32

Vrai

Question 33

Dans quelle situation précise les matrices de corrélation sont-elles utilisées?

Answer 33

lors d’analyses de régression multiples pour lesquelles la colinéarité entre les diverses variables explicatives est un sérieux problème

Question 34

Vrai ou faux : une corrélation a un pouvoir explicatif ou prédictif sur la relation entre deux variables.

Answer 34

FAUX : ne corrélation n’a AUCUN pouvoir explicatif ou prédictif sur la relation entre deux variables.

Question 35

Vrai ou faux : une corrélation ne renseigne pas sur la causalité entre deux variables

Answer 35

vrai

Question 36

Quels sont les éléments (4) nécessaires pour démontrer une relation cause à effet (la causalité) entre 2 variables?

Answer 36

il faut pouvoir :

1. Manipuler la cause (faire/répéter des expériences);
2. Mesurer les effets;
3. Contrôler les autres variables;
4. Tester les probabilités que les résultats aient pu résulter simplement du hasard.

Question 37

Quand un test statistique nous indique une corrélation entre X et Y , il y a généralement 3 possibilités, quelles sont-elles?

Answer 37

1. X cause Y
2. Y cause X
3. X et Y sont causées par un troisième facteur : Z, il s’agit de corrélation partielle.

Question 38

Qui-suis-je? « cas où deux variables semblent fortement liées, alors que cette liaison repose en fait sur l’intervention d’une troisième variable »

Answer 38

Corrélation partielle

Question 39

Que fait une analyse de corrélation partielle?

Answer 39

L’analyse de corrélation partielle corrige ce problème : elle mesure la liaison en annulant l’effet de la troisième variable, dite « variable de contrôle »

Question 40

Quelle est la notation du coefficient de corrélation partielle?

Answer 40

rAB,C

Question 41

Comment faire pour calculer rAB,C?

Answer 41

on doit calculer les coefficients de corrélation entre les différentes variables. Pour ce faire, on peut utiliser le coefficient de Pearson ou de Spearman, mais on ne doit pas « mélanger » les deux !