Analitička geometrija prostora

Question 1

Čime je jednoznačno određena svaka ravnina?

Answer 1

Jednom svojom točkom i vektorom normale.

Question 2

Što je to vektor normale?

Answer 2

Bilo koji vektor okomit na ravninu (onda je on vektor normale te ravnine).

Question 3

Izvedi (na papiru) opći oblik jednadžbe ravnine koristeći vektor normale n i vektor ToT koji pripada toj ravnini.

Answer 3

• insert izvod

pi. .. Ax + By + Cz + D = 0

Question 4

Kako izgleda segmentni oblik jednadžbe ravnine?

Answer 4

x/m + y/n + z/l = 1

Question 5

Čime sve može biti određena ravnina u prostoru?

Answer 5

1. S 3 nekolinearne točke (ne leže na istom pravcu)
2. Pravcem i točkom, uz uvijet da točka ne leži na pravcu
3. 2 pravca koji se sijeku
4. 2 paralelna pravca koji se ne podudaraju

Question 6

Koji su mogući međusobni položaji dvije ravnine?

Answer 6

1. mogu se sjeći (presjek im je PRAVAC zvan PRESJEČNICA)
2. mogu biti paralelne (nemaju ni jednu zajedničku točku)
3. podudaraju se (sve su im točke zajedničke)

Question 7

Koji je uvijet paralelnosti dvije ravnine?

Answer 7

n2 = λn1 –> A2 = λA1, B2 = λB1, C2 = λC1;

UVIJET: A2/A1 = B2/B1 = C2/C1

Question 8

Koja je formula za udaljenost dvije ravnine –> d(π1, π2)?

Answer 8

d(π1, π2) = |D2 - D1| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2)

Question 9

Koja je formula za udaljenost točke od ravnine –> d(To, π)?

Answer 9

d(To, π) = |Axo + Byo + Czo + D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2)

Question 10

Kako računamo kut između dvije ravnine?

Answer 10

Taj kut jednak je kutu njihovih vektora normale.

Question 11

Kako izgleda kanonski oblik jednadžbe pravca u prostoru? Izvedi ga koristeći točke i vektor s koji leži na njemu.

Answer 11

p… (x-xo)/a = (y-yo)/b = (z-zo)/c

Question 12

Kako glasi parametarski oblik jedndžbe pravca u prostoru?

Answer 12

x = xo + at
y = yo + bt
z = zo + ct

Question 13

U kojim međusobnim položajima mogu biti dva pravca?

Answer 13

1. paralelni (nemaju niti jednu zajedničku točku)
2. sijeku se (jedna zajednička točka)
3. mimoilazni su (ne sijeku se i nisu paralelni - svojstvo prostora)

Question 14

Kako dobiti ortogonalnu projekciju točke T na pravac p?

Answer 14

Konsturiramo ravninu tako da je T element od Pi i da je Pi okomita na pravac p. Nakon toga zaključujemo da je presjek ravnine Pi i pravca p točka T’, tj. ortogonalna projekcija točke T na pravac p.

Question 15

Kako odrediti udaljenost dvaju paralelnih pravaca?

Answer 15

Proizvoljno izaberemo točku T1 na pravcu p1, odredimo njezinu ortog. projekciju na pravac p2 i po formuli za udaljenost dvije točke nađemo udaljenost pravaca.

Question 16

Kako odrediti udaljenost mimosmjernih pravaca?

Answer 16

Potrebno je konstruirati dvije ravnine Pi1 i Pi2 koje su paralelne i sadrže pravce p1 i p2. Tada je udaljenost između te dvije ravnine jednaka udaljenosti mimosmjernih pravaca.

Question 17

Kako odrediti ortogonalnu projekciju točke T na ravninu Pi?

Answer 17

Potrebno je pronaći pravac q koji prolazi točkom T i okomit je na ravninu Pi. Onda zaključujemo da je ortog. projekcija T’ zapravo presjek pravca q i ravnine Pi.

Question 18

Kako odrediti ortogonalnu projekciju pravca p na ravninu Pi?

Answer 18

1. Ako pravac p leži u ravnini Pi onda je on sam ortog. projekcija na tu ravninu.
2. Ako je pravac p okomit na ravninu Pi onda je njegova ortog. projekcija točka, tj. presjek pravca p i ravnine Pi.
3. Ako pravac p siječe ravninu Pi, ali nije okomit na nju onda na pravcu p odaberemo točku T i pronađemo njezinu ortogonalnu projekciju T’ na ravninu Pi. Potom pronađemo probodište S pravca p i ravnine pi. Ortogonalna projekcija pravca p, pravac p’, je pravac koji prolazi točkama S i T’ .
4. ako je pravac p paralelan s ravninom pi proizvoljno odabiremo točke T1 i T2 na tom pravcu te pronađemo njihove ortog. projekcije na ravninu pi. pravac p’ tada je pravac koji prolazi točkama T1’ i T2’. Ili brže: vektori smjera pravaca p i p’ su jednaki te je dovoljno pronaći ortogonalnu projekciju samo jedne točke.

Question 19

Čemu je jednak kut između dva pravca?

Answer 19

Jednak je kutu između njihovih vektora smjera.

Question 20

čemu je jednak kut između pravca i ravnine?

Answer 20

jednak je kutu između pravca i njegove ortog. prjekcije na tu ravninu. Brži način je da nađemo kut između vektora smjera pravca i vektora normale (npr kut a) te je naš traženi kut (npr. b): b=|90-a|.

Question 21

Koja je formula za udaljenost dvije točke?

Answer 21

d(T1, T2) = sqrt((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2 + (z2-z1)^2)