8. Reelle Zahlen Flashcards
Was sind reele Zahlen?
Die realen Zahlen umfassen alle Zahlen, die auf der Zahlengeraden dargestellt werden können. Dies schließt die rationalen Zahlen, irrationale Zahlen und die ganzen Zahlen ein. Die Menge der realen Zahlen wird oft mit dem Symbol R dargestellt.
Mathematisch ausgedrückt umfasst die Menge der realen Zahlen alle Zahlen, die als Dezimalzahlen (endlich oder unendlich wiederholend) oder als Wurzeln von nicht-negativen Zahlen dargestellt werden können.
Was sind Intervalle?
In der Mathematik bezeichnet ein Intervall einen zusammenhängenden Bereich von reellen Zahlen auf der Zahlengeraden.
Welche arten von Intervallen gibt es?
Arten von Intervallen:
Offenes Intervall:
Ein offenes Intervall (a,b) enthält alle reellen Zahlen x, für die a < x < b gilt. Die Endpunkte a und b sind nicht im Intervall enthalten.
Abgeschlossenes Intervall:
Ein abgeschlossenes Intervall [a,b] enthält alle reellen Zahlen x, für die a ≤ x ≤ b gilt. Die Endpunkte a und b sind im Intervall enthalten.
Halboffenes Intervall:
Ein halboffenes Intervall [a,b) enthält alle reellen Zahlen x, für die a ≤ x < b gilt.
Grenzenloses Intervall:
Ein grenzenloses Intervall hat mindestens einen unendlichen Rand.
(a,∞): Enthält alle Zahlen größer als a.
(−∞,b): Enthält alle Zahlen kleiner als b.
(−∞,∞): Enthält alle reellen Zahlen.
Was ist der Betrag bzw. Absolutbetrag einer reelen Zahl?
Der Betrag oder Absolutbetrag einer realen Zahl x, dargestellt als ∣x∣, ist die Distanz von x zum Ursprung 0 auf der Zahlengeraden.
Der Betrag einer Zahl gibt also an, wie weit diese Zahl vom Ursprung 0 entfernt ist, unabhängig von der Richtung auf der Zahlengeraden. Der Betrag ist immer nicht-negativ, und er ist gleich der Zahl selbst, wenn die Zahl nicht-negativ ist.
Wann heißt eine Menge nach oben beschränkt?
Eine Menge von reellen Zahlen heißt nach oben beschränkt, wenn es eine obere Schranke für die Elemente der Menge gibt. Eine Schranke ist eine Zahl, die größer ist oder gleich allen Elementen der Menge.
Eine Menge A von reellen Zahlen heißt nach oben beschränkt, wenn es eine reale Zahl M gibt, sodass
a ≤ M für alle a in A. Diese Zahl M wird als obere Schranke von A bezeichnet.
Beispiel: Die Menge A={1,2,3} ist nach oben beschränkt, da 4 eine obere Schranke für A ist.
Wann heißt eine Menge nach unten beschränkt?
Eine Menge von reellen Zahlen heißt nach unten beschränkt, wenn es eine unter Schranke für die Elemente der Menge gibt. Eine Schranke ist eine Zahl, die kleiner ist oder gleich allen Elementen der Menge.
Eine Menge A von reellen Zahlen heißt nach unten beschränkt, wenn es eine reale Zahl m gibt, sodass a ≥ m für alle a in A. Diese Zahl m wird als untere Schranke von A bezeichnet.
Beispiel: Die Menge B={−2,0,1} ist nach unten beschränkt, da −3 eine untere Schranke für B ist.
Wann ist eine Menge beschränkt?
Eine Menge heißt beschränkt wenn dies nach oben und nach unten beschränkt ist.
Was ist das Infimum einer Menge?
Das Infimum einer Menge von reellen Zahlen ist die größte untere Schranke dieser Menge. Eine untere Schranke ist eine Zahl, die kleiner oder gleich allen Elementen der Menge ist.
mathematisch Ausgedrückt: m = inf(A)
Es gelten zwei Bedingungen:
1. m ist eine untere Schranke für A, d.h., a ≥m für alle a in A. 2. Wenn m′ eine andere untere Schranke für A ist, dann gilt m′ ≥ m.
Das Infimum ist das größte Element in der Menge der unteren Schranken von A. Beachte, dass das Infimum nicht unbedingt ein Element der Menge A selbst sein muss.
Ist das Infimum in A enthalten wird es Minimum genannt.
Was ist das Supremum einer Menge?
Das Supremum einer Menge von reellen Zahlen ist die kleinste obere Schranke dieser Menge. Eine obere Schranke ist eine Zahl, die größer oder gleich allen Elementen der Menge ist.
Mathematisch ausgedrückt: M = sup(A)
Es gelten zwei Bedingungen:
1. M ist eine obere Schranke für A, d.h., a ≤ M für alle a in A. 2. Wenn M′ eine andere obere Schranke für A ist, dann gilt M′ ≤ M.
Das Supremum ist das kleinste Element in der Menge der oberen Schranken von A. Beachte, dass das Supremum nicht unbedingt ein Element der Menge A selbst sein muss.
Ist das Supremum in A enthalten wird es Maximum genannt.
