3. Mengen Flashcards
Was ist eine Menge?
In der Mathematik ist eine Menge eine Sammlung von wohlunterschiedenen Objekten, die als Elemente der Menge bezeichnet werden. Die Elemente können Zahlen, Buchstaben, Symbole oder sogar andere Mengen sein. Eine Menge wird durch geschweifte Klammern dargestellt, und die Elemente werden durch Kommas getrennt.
Beispiel einer Menge von Zahlen:
A={1,2,3,4,5}
Wie ist die Schreibweise dafür das ein Element in der Menge M vorhanden ist?
Die Schreibweise, um auszudrücken, dass ein Element x zu einer Menge M gehört, wird durch das Symbol ∈ dargestellt. Man schreibt x∈M, was als “x ist ein Element von M” ausgesprochen wird.
Beispiel:
Wenn A={1,2,3}, dann ist 2∈A, was bedeutet, dass 2 ein Element der Menge A ist.
Welche Arten gibt es eine Menge darzustellen?
Aufzählungsmethode: Die Elemente werden direkt aufgelistet.
Beispiel: A={1,2,3,4,5}
Beschreibende Methode: Die Eigenschaften, die die Elemente erfüllen müssen, werden beschrieben. Zum Beispiel: B={x | x ist eine gerade Zahl} repräsentiert die Menge aller geraden Zahlen.
Wie heißt eine Menge die keine Elemente beinhaltet?
Eine Menge ohne Elemente heißt “leere Menge” und wird entweder mit leeren geschweiften Klammern dargestellt { } oder mit dem Symbol ∅.
Was ist eine Teilmenge?
Wenn alle Elemente einer Menge A auch in einer anderen Menge B enthalten sind, ist A eine Teilmenge von B (symbolisiert als A⊆B). Wenn Menge A in Menge B enthalten ist aber B nicht in A, dann ist A eine echte Teilmenge von B (symbolisiert als A⊂B, mathematisch Ausgedrückt ∀x(x∈A⇒x∈B)).
Jede Menge ist auch eine Teilmenge von sich selbst A⊆A und die leere Menge ist auch Teilmenge jeder Menge ∅⊂A.
Was ist die Vereinigung von zwei Mengen?
Die Vereinigung zweier Mengen A und B ist die Menge aller Elemente, die entweder in A oder in B (oder in beiden) enthalten sind (symbolisiert durch A∪B = {x | (x∈A) ∨ (x∈B)} ).
Was ist der Durchschnitt von zwei Mengen?
Der Durchschnitt von zwei Mengen ist eine grundlegende Operation in der Mengenlehre, bei der eine neue Menge erstellt wird, die alle Elemente enthält, die in beiden Ausgangsmengen vorhanden sind. Der Durchschnitt wird oft durch das Symbol ∩ dargestellt.
Für zwei Mengen A und B ist der Durchschnitt A∩B definiert als die Menge aller Elemente, die sowohl in A als auch in B enthalten sind.
Mathematisch ausgedrückt:
A∩B = {x | (x∈A)(x∈B)}
Wann sind zwei Mengen disjunkt?
Zwei Mengen sind disjunkt, wenn sie keine gemeinsamen Elemente haben, das heißt, die Schnittmenge der beiden Mengen ist die leere Menge. Mathematisch ausgedrückt:
A∩B=∅
Was ist die Differenzmenge?
Die Differenzmenge von zwei Mengen ist eine Menge, die alle Elemente der ersten Menge enthält, die nicht in der zweiten Menge enthalten sind. Die Differenzmenge wird durch das Symbol ∖ dargestellt.
Für zwei Mengen A und B ist die Differenzmenge A∖B definiert als die Menge aller Elemente, die in A enthalten sind, aber nicht in B:
A\B = {x | (x∈A)∧(x∉B)}
Was ist das Komplement einer Menge?
Das Komplement einer Menge in Bezug auf eine bestimmte Grundmenge ist die Menge aller Elemente, die zur Grundmenge gehören, aber nicht zur gegebenen Menge. Das Komplement wird oft durch das Symbol A′ oder Aˉ dargestellt.
Mathematisch ausgedrückt, wenn UU die Grundmenge ist:
A′ = {x | x∈U∧x∉A}
Was ist die Potenzmenge?
Die Potenzmenge einer Menge A ist die Menge aller Teilmengen von A, einschließlich der leeren Menge und der Menge A selbst. Die Potenzmenge wird oft durch P(A) dargestellt.
Mathematisch ausgedrückt, wenn A eine Menge ist, dann ist die Potenzmenge P(A):
P(A) = {X | X⊆A}
Was ist die Kardinalität einer Menge?
Die Anzahl aller Elemente in einer endlichen Menge heißt Kardinalität.
Schreibweise: |M| oder #M
Was ist die Kardinalität der Potenzmege?
Die Kardinalität der Potenzmenge einer Menge A ist 2 hoch ∣A∣, wobei ∣A∣ die Kardinalität von A ist, d.h., die Anzahl der Elemente in A.
Das bedeutet, dass die Anzahl der Elemente in der Potenzmenge gleich 2 hoch der Anzahl der Elemente in der ursprünglichen Menge ist.
Was ist das karthesiche Produkt zweier Mengen?
Das kartesische Produkt zweier Mengen A und B, oft als A×B geschrieben, ist die Menge aller geordneten Paare, bei denen das erste Element aus A stammt und das zweite Element aus B.
Mathematisch ausgedrückt:
A×B={(a,b)∣a∈A ∧ b∈B}
Hierbei steht (a,b) für ein geordnetes Paar, wobei a das erste Element aus A und b das zweite Element aus B ist.
