1. Aussagenlogik

Question 1

Was ist eine Aussage?

Answer 1

Ein feststehender Satz der entweder wahr oder falsch ist.

Question 2

Was ist ein Satz?

Answer 2

Eine Aussage die einen mathematischen Sachverhalt beschreibt und wahr ist.

Question 3

Wofür stehen diese Symbole? ¬, ∧, ∨, ⇒, ⇔

Answer 3

Negation, Konjunktion, Disjunktion, Implikation und Äquivalenz

Question 4

Was ist eine Tautologie?

Answer 4

Eine Tautologie ist eine mathematische Aussage, die unabhängig vom Wahrheitswert der Teilaussagen, immer wahr ist.

Question 5

Was ist eine Kontralektion?

Answer 5

Eine Kontralektion ist eine mathematische Aussage, welche unabhängig vom Wahrheitswert der Teilaussagen, stets wahr ist.

Question 6

Was ist das Kommutativgesetz?

Answer 6

Das Kommutativgesetz besagt, dass die Reihenfolge der Operanden das Ergebnis einer mathematischen Operation nicht beeinflusst. Es gilt sowohl für die Addition als auch für die Multiplikation.

A∧B⇔B∧A (logisches UND)
A∨B⇔B∨A (logisches ODER)

Question 7

Was ist das Assoziativgesetz?

Answer 7

Das Assoziativgesetz besagt, dass die Klammersetzung bei einer mathematischen Operation nicht das Ergebnis beeinflusst. Es gilt sowohl für die Addition als auch für die Multiplikation.

A∧(B∧C) ⇔ (A∧B)∧C (logisches UND)
A∨(B∨C)⇔(A∨B)∨C (logisches ODER)

Question 9

Was ist das Distributivgesetz?

Answer 9

In der Aussagenlogik bezieht sich das Distributivgesetz auf die Verteilung von logischen Operatoren über andere logische Operatoren. Es gibt zwei Hauptformen des Distributivgesetzes in der Aussagenlogik:

Distributivgesetz für die Konjunktion über die Disjunktion:
A∧(B∨C)⇔(A∧B)∨(A∧C)

Das bedeutet, dass die Konjunktion (∧) über die Disjunktion (∨) verteilt werden kann.

Distributivgesetz für die Disjunktion über die Konjunktion:
A∨(B∧C)⇔(A∨B)∧(A∨C)

Das bedeutet, dass die Disjunktion (∨) über die Konjunktion (∧) verteilt werden kann.

Question 10

Was passiert bei einer Negation einer Negation: ¬(¬A)

Answer 10

Die Negation wird aufgelöst: ¬(¬A) ⇔ A

Question 11

Was ist die Regel von de Morgan?

Answer 11

Die deMorganschen Regeln sind wichtige Gesetze in der Aussagenlogik, die die Negation von Verknüpfungen von Aussagen betreffen. Es gibt zwei Hauptregeln:

deMorgansche Regel für die Negation der Konjunktion:
¬(A∧B)⇔¬A∨¬B

Das bedeutet, dass die Negation einer Konjunktion gleich der Disjunktion der negierten Aussagen ist.

deMorgansche Regel für die Negation der Disjunktion:
¬(A∨B)⇔¬A∧¬B

Das bedeutet, dass die Negation einer Disjunktion gleich der Konjunktion der negierten Aussagen ist.

Question 12

Was ist die Kontraposition der Implikation?

Answer 12

A⇒B ⇔ ¬B⇒¬A

Question 13

Was ist die Kontraposition der Äquivalenz?

Answer 13

(A⇔B)⇔(¬A⇔¬B)

Question 14

Was ist ein Syllogismus?

Answer 14

(A⇒B)∧(B⇒C) ⇒ (A⇒C)

A impliziert B und B impilziert C, daraus lässt sich schließen A impliziert C.

Question 15

Was ist die Abtrennungsregel?

Answer 15

((A⇒B)∧A) ⇒ B

Question 16

Was ist der Modus tollendo ponens?

Answer 16

Umgekehrte Abtrennungsregel:

((A⇒B)∧¬B) ⇒ ¬A

Question 17

Was ist eine Aussageform?

Answer 17

Eine Aussageform ist eine abstrakte Darstellung einer Aussage, bei der bestimmte Teile durch Platzhalter ersetzt werden. Diese Platzhalter repräsentieren allgemeine Aussagen oder Aussageelemente, und die Aussageform wird zu einer konkreten Aussage, wenn diesen Platzhaltern spezifische Aussagen zugewiesen werden.

Besispiel: Aussageform: Q(a,b) = “a>b”

Hier ist Q(a,b) eine Aussageform, die durch die Platzhalter a und b repräsentiert wird. Wenn konkrete Zahlen für a und b eingesetzt werden, wird Q(a,b) zu einer konkreten Aussage. Zum Beispiel: Q(5,3) wäre “5 ist größer als 3”, was ebenfalls wahr ist.

Question 18

Was ist der Allquantor?

Answer 18

Allquantor (∀):

Der Allquantor wird verwendet, um auszudrücken, dass eine Aussage für alle Elemente einer gegebenen Menge wahr ist. Zum Beispiel: ∀xP(x) bedeutet, dass die Aussage P(x) für jedes Element x wahr ist.

Question 19

Was ist der Existenzquantor?

Answer 19

Existenzquantor (∃):

Der Existenzquantor wird verwendet, um auszudrücken, dass es mindestens ein Element in einer gegebenen Menge gibt, für das eine Aussage wahr ist. Zum Beispiel: ∃xP(x) bedeutet, dass es mindestens ein Element x gibt, für das die Aussage P(x) wahr ist.

Question 20

Was ist das Verneinungsgesetz in der Prädikatlogik?

Answer 20

Die Negation eines Allquantors (∀) ist ein Existenzquantor (∃) über die Negation der Aussage.
¬(∀xP(x)) ⇔ ∃x¬P(x)

Die Negation eines Existenzquantors (∃) ist ein Allquantor (∀) über die Negation der Aussage.
¬(∃xP(x)) ⇔ ∀x¬P(x)