4. Relationen und Abbildungen Flashcards
Was ist eine Relation?
In der Mathematik bezieht sich der Begriff “Relation” auf eine Verbindung oder Zuordnung zwischen Elementen zweier Mengen. Eine Relation gibt an, welche Paare von Elementen miteinander in Beziehung stehen. Man könnte sagen, dass eine Relation eine gewisse Art von Beziehung oder Verbindung zwischen den Elementen zweier Mengen beschreibt.
Eine formale Definition einer binären Relation R zwischen zwei Mengen A und B ist eine Teilmenge des kartesischen Produkts A×B. Das bedeutet, dass RR aus geordneten Paaren (a,b) besteht, wobei a∈A und b∈B.
Mathematisch ausgedrückt:
R⊆A×B
Wann ist eine Relation reflexiv?
Eine Relation R auf einer Menge A ist reflexiv, wenn jedes Element der Menge in Beziehung zu sich selbst steht. Formal ausgedrückt, für jedes Element a in A muss das Paar (a,a) in der Relation R enthalten sein.
Mathematisch ausgedrückt:
∀a∈A:(a,a)∈R
Mit anderen Worten, eine Relation ist reflexiv, wenn jedes Element der Menge in Beziehung zu sich selbst steht.
Wann ist eien Ralation symmetrisch?
Eine Relation R auf einer Menge A ist symmetrisch, wenn für jedes Paar (a,b) in R auch das Paar (b,a) in R enthalten ist. Mit anderen Worten, wenn a in Beziehung zu b steht, dann steht auch b in Beziehung zu a.
Mathematisch ausgedrückt:
∀a,b∈A:(a,b)∈R⇒(b,a)∈R
Wenn jedes Paar in R in beide Richtungen gültig ist, ist die Relation symmetrisch.
Wann ist eine Relation transitiv?
Eine Relation R auf einer Menge A ist transitiv, wenn aus (a,b)∈R und (b,c)∈R folgt, dass auch (a,c)∈R Mit anderen Worten, wenn a in Beziehung zu b steht und b in Beziehung zu c steht, dann steht auch a in Beziehung zu c.
Mathematisch ausgedrückt:
∀a,b,c∈A:(a,b)∈R∧(b,c)∈R => (a,c) ∈R
Wenn die Transitiveigenschaft für alle Paare in R erfüllt ist, ist die Relation transitiv.
Was ist eine Äquivalenzrelation?
Eine Äquivalenzrelation ist eine spezielle Art von binärer Relation auf einer Menge, die drei wichtige Eigenschaften erfüllt: Reflexivität, Symmetrie und Transitivität. Äquivalenzrelationen werden oft verwendet, um “Äquivalenzklassen” von Elementen zu bilden, die in gewisser Weise ähnlich oder gleich sind.
Was sind Äquivalenzklassen?
Wenn R eine Äquivalenzrelation auf einer Menge A ist, dann ist die Äquivalenzklasse eines Elements a (bezüglich R) die Menge aller Elemente, die zu a in Beziehung stehen. Formal ausgedrückt:
[a]R={x∈A∣(a,x)∈R}
Hierbei steht [a]R für die Äquivalenzklasse von a bezüglich R. Diese Klasse enthält alle Elemente, die in Beziehung zu a stehen. a ist hier der Repräsentant der Äquivalenzklasse
Was sind wichtige Eigenschaften von Äquivalenzklassen?
a) Zwei verschiedene Äquivalenzklassen sind disjunkt zueinander.
b) Die Summe aller Äquivalenzklassen ist die Äquivalenzmenge selbst.
c) Jedes Element der Äquivalenzrelation kann eine Äquivalenzklasse bilden.
Wie ist die Schriebweise für einen Teiler?
Die Schreibweise für einen Teiler wird durch das Symbol “|” (senkrechter Strich) dargestellt. Wenn eine Zahl a ohne Rest durch eine andere Zahl b teilbar ist, dann schreibt man dies als b|a.
Hierbei bedeutet b|a, dass a ohne Rest durch b teilbar ist. In anderen Worten, es gibt eine ganze Zahl k, so dass a=b⋅k. Man liest dies als “b teilt a” oder “b ist ein Teiler von a”.
Was ist eine Abbildung?
In der Mathematik bezeichnet der Begriff “Abbildung” den allgemeinen Prozess oder die allgemeine Funktion des Zuordnens von Elementen aus einer Menge zu Elementen einer anderen Menge. Eine Abbildung wird auch als “Funktion” bezeichnet.
Formal ausgedrückt: Eine Abbildung f von einer Menge A in eine Menge B ist eine Regel, die jedem Element a aus A genau ein Element b aus B zuordnet. Dies wird oft durch die Schreibweise f: A→B dargestellt.
Was ist eine Zuordnungsvorschrift?
Eine Zuordnungsvorschrift ist eine beschreibende Regel oder eine mathematische Formel, die angibt, wie jedem Element aus einer Ausgangsmenge (Definitionsmenge) genau ein Element in einer Zielmenge (Wertemenge) zugeordnet wird. Diese Regel wird häufig durch eine mathematische Funktion oder Abbildung repräsentiert.
Was ist die Definitionsmenge?
Die Definitionsmenge ist die Menge der Werte, die in die Funktion eingesetzt werden können. Also alle Eingabe Werte.
Die Definitionsmenge wird oft durch das Symbol D oder Dom repräsentiert.
Was ist die Wertemenge?
Die Wertemenge ist die Menge der Funktionswerte, die durch die Funktion erzeugt werden. Also alle Ausgabewerte.
Die Wertemenge wird oft durch das Symbol WW oder ImIm repräsentiert.
Wann ist eine Abblidung injektiv?
Eine Abbildung f:A→Bist injektiv (auch als “injektive Funktion” bezeichnet), wenn jedem verschiedenen Element der Definitionsmenge A ein verschiedenes Element der Zielmenge B zugeordnet wird. Anders ausgedrückt, keine zwei verschiedenen Elemente aus der Definitionsmenge werden auf dasselbe Element in der Zielmenge abgebildet.
Wann ist eine Abbildung surjektiv?
Eine Abbildung f: A→B ist surjektiv (auch als “surjektive Funktion” bezeichnet), wenn jedes Element in der Zielmenge B mindestens einmal als Funktionswert für ein Element in der Definitionsmenge A auftritt. Anders ausgedrückt, es gibt keine Elemente in der Zielmenge, die nicht durch die Funktion erreicht werden.
Formal ausgedrückt: Eine Funktion f ist surjektiv, wenn für jedes b in B mindestens ein a in A existiert, so dass f(a) = b.
Wann ist eine Abbildung bijektiv?
Eine Abblidung ist bijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv zugleich ist.
