6. Natürliche und ganze Zahlen Flashcards
Was sind die Natürlichen Zahlen?
Die natürlichen Zahlen sind eine grundlegende Menge von Zahlen, die zur Zählung und Ordnung verwendet werden. Sie sind normalerweise als N dargestellt und umfassen die nicht-negativen ganzen Zahlen, beginnend mit 0 oder 1, je nach Konvention:
Konvention mit 0 als erster natürlicher Zahl:
N0={0, 1, 2, 3, 4,…}
Konvention mit 1 als erster natürlicher Zahl:
N+={1, 2, 3, 4,…}
Was sind die ganzen Zahlen?
Die ganzen Zahlen umfassen die natürlichen Zahlen und ihre negativen Entsprechungen sowie die Zahl 0. Sie werden oft als Z dargestellt und umfassen die Menge:
Z={…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …}
Wann ist eine Menge eine endliche Menge?
Eine Menge A ist endlich, wenn es eine nicht-negative ganze Zahl n gibt, so dass die Anzahl der Elemente in A gleich n ist. Mathematisch wird dies oft wie folgt geschrieben: ∣A∣=n, wobei ∣A∣ die Kardinalität (Anzahl der Elemente) von A ist.
Wenn dies nicht der Fall ist, wird die Menge als unendlich bezeichnet.
Wann ist eine Menge abzählbar unendlich?
Eine Menge wird als abzählbar unendlich bezeichnet, wenn ihre Elemente in einer bestimmten Reihenfolge aufgezählt oder nummeriert werden können, wobei jedes Element durch eine natürliche Zahl repräsentiert wird. Anders ausgedrückt, es besteht eine bijektive Abbildung zwischen den natürlichen Zahlen
N = {1, 2, 3, …} und den Elementen der Menge.
Die Menge der reellen Zahlen ist unendlich aber nicht abzählbar.
Wie ist die Schreibweise für Summen und Produkte von endlich vielen Zahlen?
Die Schreibweise für die Summe und das Produkt von endlich vielen Zahlen wird oft mit dem griechischen Großbuchstaben Sigma (Σ) für die Summe und dem griechischen Großbuchstaben Pi (Π) für das Produkt dargestellt.
Was ist Fakultät?
Die Fakultät einer nicht-negativen ganzen Zahl nn, dargestellt als n!, ist das Produkt aller positiven ganzen Zahlen von 1 bis n. Formal ausgedrückt:
n!=n⋅(n−1)⋅(n−2)⋅…⋅3⋅2⋅1
Die Fakultät ist eine mathematische Funktion, die in der Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitstheorie häufig vorkommt. Sie wird verwendet, um die Anzahl der möglichen Permutationen von n Elementen zu berechnen. Zum Beispiel ist die Fakultät von 5 (5!) gleich 5⋅4⋅3⋅2⋅1=120
Was ist der Binamalkoeffizient?
Der Binomialkoeffizient, oft als “n über k” geschrieben, ist eine Funktion in der Kombinatorik. Er gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, k Elemente aus einer Menge mit n Elementen auszuwählen, unabhängig von der Reihenfolge. Der Binomialkoeffizient wird auch als “n choose k” oder “n über k” ausgesprochen.
Die Formel für den Binomialkoeffizienten lautet:
(nk)=n! / k! * (n-k)!
Hierbei ist n! die Fakultät von n. Die Division durch k!(n−k)! im Nenner stellt sicher, dass die Anzahl der möglichen Reihenfolgen der Auswahl eliminiert wird, da die Reihenfolge bei der Kombination keine Rolle spielt.
Was ist die vollständige Induktion?
Die vollständige Induktion ist eine mathematische Beweismethode, die verwendet wird, um Aussagen für alle natürlichen Zahlen zu beweisen. Der Beweis erfolgt in zwei Schritten: der Induktionsanfang und der Induktionsschritt.
Formell wird die vollständige Induktion in den folgenden Schritten durchgeführt:
1. Induktionsanfang: Zeige, dass die Aussage für n=0 oder n=1 gilt. 2. Induktionsannahme: Nehme an, dass die Aussage für ein beliebiges, aber festes k gilt. 3. Induktionsschritt: Zeige, dass die Aussage dann auch für k+1 gilt. 4. Schlussfolgerung: Folgere, dass die Aussage für alle natürlichen Zahlen gilt, da sie für n=0 oder n=1 gilt und für k+1 aus der Annahme für k folgt.
Was ist die geometrische Summenformel?
Die geometrische Summenformel gibt die Summe einer endlichen geometrischen Reihe an. Eine geometrische Reihe ist eine Reihe von Zahlen, bei der jedes Glied das vorherige mit einem konstanten Verhältnis multipliziert.
Formel: Sn = a * (r hoch n - 1 / r -1)
Sn die Summe der ersten nn Glieder, a ist der erste Term der Reihe, r ist das Verhältnis zwischen aufeinanderfolgenden Gliedern, und n ist die Anzahl der Glieder.
Es ist wichtig zu beachten, dass die Formel nur für ∣r∣ ≠ 1 gilt. Wenn ∣r∣ = 1 ist, divergiert die Reihe (es gibt keine endliche Summe).
Was ist der binomische Lehrsatz?
Der binomische Lehrsatz ist eine Formel, die es ermöglicht, Potenzen von Binomen (Ausdrücken der Form a+b) zu entwickeln. Der Lehrsatz lautet:
(a + b) hoch (n) = (n) = a^(n-k) * b^(k)
(k) = n über k (Binomalkoeffizient von n über k)
Beispiel: binomischen Lehrsatzes für n = 2 lautet:
(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
und für n = 3:
(a+b)^3 = a^3 + 3a^2 * b + 3ab^2 + b^3
und so weiter.
Was ist die Bennoullische Ungleichung?
Für jede reale Zahl a ≥ −1, a ≠ 0 und jede positive ganze Zahl n gilt:
(1 + a)^n ≥ 1 + na
Diese Ungleichung zeigt, dass das Quadrat (n = 2), der Kubik (n = 3) und so weiter von 1+x immer größer oder gleich 1+nx ist, wenn x größer oder gleich -1 ist.
