6. Prsteni i polja

Question 1

Šta su prsteni i polja?

Answer 1

Prsteni i polja su algebarske strukture sa dve binarne operacije, od kojih se jedna označava aditivno sa +, a druga multiplikativno sa *

Question 2

Koja je poenta podele operacija u prstenskim izrazima na aditivnu i multiplikativnu?

Answer 2

Smanjuje se broj zagrada

Question 3

Kako glasi definicija prstena zadata u udžbeniku?

Answer 3

Uređena trojka (R,+,×) i gde je R neprazan skup ako važe sledeće tri aksiome:
1. (R,+) je Abelova grupa
2. (R,×) je asocijativni grupoid
3. Važi distributivni zakon × prema + :
x(y+z) = xy + xz
(y+z)x = yx + zx

Question 4

Šta znači da je (R,+) Abelova grupa? Kada to važi?

Answer 4

1. Operacija + je zatvorena u R
2. Operacija + je asocijativna (zagrade ne važe)
3. Postoji (levi) neutralni element: e+x=x
4. Postoji (levi) inverzni element:
   x’+x=e
5. Važi komutativnost

Question 5

Da li je asocijativni grupoid isto što i grupa?

Answer 5

Ne, isto je što i polugrupa. Do grupe fali još neutralni i inverzni element

Question 6

Koji je drugi naziv za polugrupu?

Answer 6

Asocijativni grupoid

Question 7

Šta znači da je (R,×) polugrupa?

Answer 7

Važe samo zatvorenost i asocijativnost

Question 8

Koja je razlika između grupa i sličnih struktura, i polja i prstena?

Answer 8

Kod grupa imamo jednu operaciju, a kod prstena i polja dve

Question 9

Kako se još naziva treća aksioma?

Answer 9

Distributivni zakon druge operacije × prema prvoj operaciji +

Question 10

Kako glasi leva distributivnost × prema +?

Answer 10

x(y+z) = xy

Question 11

Kako glasi desna distributivnost × prema +?

Answer 11

(y+z)x = yx+zx

Question 12

Koji je prvi primer prstena dat u knjizi?

Answer 12

({0},+,×)

Question 13

Navedi primer prstena koji nije konačan

Answer 13

(Z,+,×)

Question 14

Šta je nula prsten?

Answer 14

({0},+,×)

Question 15

Kako se zove prsten sa jednim elementom?

Answer 15

Jednoelementni prsten

Question 16

Da li je jednoelementni prsten isto što i nula prsten?

Answer 16

Jeste

Question 17

Koliko postoji jednoelementnih prstenova?

Answer 17

Samo jedan, nula prsten, jer mora sadržati neutralni element

Question 18

Šta je prsten sa jedinicom?

Answer 18

Prsten koji sadrži neutralni element multiplikativne operacije

Question 19

Šta je prsten sa jedinicom?

Answer 19

Prsten koji sadrži neutralni element multiplikativne operacije

Question 20

Kakvi specijalni prstenovi postoje?

Answer 20

Prsten sa jedinicom, komutativan prsten, domen integriteta, polje

Question 21

Šta znači da je prsten komutativan?

Answer 21

Operacija × je komutativna

Question 22

Šta je domen integriteta?

Answer 22

Komutativan prsten sa jedinicom koja:
1. Jedinica nije 0, neutral operacije +
2. Ne postoje delitelji nule:
a×b=0 => a=0 V b=0

Question 23

Kako se matematički zapisuje da ne postoje delitelji nule?

Answer 23

ab=0 => a=0 V b=0

Question 24

Šta znači da ne postoje delitelji nule?

Answer 24

Dva nenula elementa prstena pomnoženi ne mogu dati 0

Question 25

Šta je polje?

Answer 25

…