Brainscape's Knowledge GenomeTM

Browse over 1 million classes created by top students, professors, publishers, and experts.


See full index

FTN Algebra 1 > 4. Bulove algebre > Flashcards

4. Bulove algebre Flashcards

1
Q

Šta je Bulova algebra?

A

Bulova algebra je uređena šestorka (B, +,*,’, 0,1) gde su:
- 0 i 1 različiti elementi skupa B
- + i * binarne operacije nad skupom B
- ‘ je unarna operacija nad skupom B
i za koju baže sledeći aksiomi:
B1 (komutativnost) B2 (distributivnost) B3 (def neutralnog elementa) i B4 (def inverznog elementa)

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
2
Q

Koliko ima aksioma koje određuju Bulovu algebru?

A

4 aksiome

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
3
Q

O čemu su, zapravo, te četiri aksiome Bulove algebre?

A

B1: komutativnost sabiranja i množenja
B2: distributivnost sabiranja nad množenjem i obrnuto
B3: 0 je neutral za sabiranje (a 1 za množenje)
B4: inverzni elementi

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
4
Q

Kako glasi aksioma B1?

A

a + b = b + a
a * b = b * a

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
5
Q

Kako glasi aksioma B2?

A

a(b + c) = (a * b) + (0 * c)
a + (b * c) = (a + b) * (a +c)

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
6
Q

Kako glasi aksioma B3?

A

a + 0 = a
a*1 = a

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
7
Q

Kako glasi aksioma B4?

A

a + a’ = 1
a * a’ = 0

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
8
Q

Kako se zapravo zapravo zove aksioma B4?

A

Komplementarnost - a+a’=1, a*a’=0

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
9
Q

Kako se pravilno nazivaju ove 4 aksiome Bulove algebre?

A

B1: komutativnost
B2: distributivnost
B3: postojanje neutralnih elemenata
B4: komplementarnost

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
10
Q

Postoje li beskonačne Bulove algebre?

A

Najverovatnije da, ali sa njima nećemo raditi

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
11
Q

Koji su osnovni primeri (modeli) Bulove algebre?

A

Iskazna algebra, algebra skupova, algebra delitelja nekog broja

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
12
Q

Kako izgleda definicija iskazne Bulove algebre?

A

v. primer 4.2

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
13
Q

Kako izgleda definicija Bulove algebre skupova?

A

v. primer 4.3

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
14
Q

Kako izgleda Bulova algebra delitelja nekog skupa?

A

v.primer 4.4

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
15
Q

Šta je dualnost?

A

Dualnost je osobina koja se primećuje u osmočlanom skupu svih aksioma Bulove algebre - ako + i * i 0 i 1 zamene mesta, dobiće se opet aksioma Bulove algebre. Zbog toga će i skup teorema Bulove algebre biti dualan: ako se dokaže neka teorema, time je njoj dualna teorema automatski dokazana - ne treba je dokazivati

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
16
Q

Zašto B4 nije pogrešna, iako su 0 i 1 ‘‘zamenili mesta’’?

A

Greška je u tome što se algebra tumači kao grupa (polje realnih brojeva). Pogledaj B2 (distribuciju, koja važi u oba smera) Ona takođe ‘‘nema smisla’’, ali stvar je u tome što ovo nisu ‘‘prava sabiranja i oduzimanja’’. Još bolji savet: tumači sve preko teorije skupova (ili iskazne algebre)

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
17
Q

Kako se definiše iskazna Bulova algebra?

A

({tačno, netačno}, i, ili, negacija, netačno, tačno)

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
18
Q

Kako se definiše Bulova algebra skupova?

A

Uređena šestorka
(partitivni skup od A, unija, presek, komplement, prazan skup, skup A)

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
19
Q

Kako glase aksiome iskazne Bulove algebre?

A

B1 (komutativnost) :
a i b = b i a
a ili b = b ili a
B2 (distributivnost):
a i (b ili c) = (a i b) ili (a i c)
a ili (b i c) = (a ili b) i (a ili c)
B3 (neutral):
a i tačno = a
a ili netačno = a
B4 (inverz):
a i (ne)a = netačno
a ili (ne)a = tačno

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
20
Q

Kako da zapamtim: da li je ‘i’ + ili je ‘ili’ + ? Odnosno, da li je unija + ili je presek + …?

A

Unija je sabiranje! Presek je množenje
(ne pitaj me zašto)

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
21
Q

Kako glase aksiome Bulove algebre u algebri skupova?

A

B1 (komutativnost)
X U Y = Y U X
B2 (distributivnost)
X unija (Y presek Z) = (X unija Y) presek (X unija Z)
X presek (Y unija Z) = (X presek Y) unija (X presek Z)
B3 (neutral)
X unija prazan skup = X
X presek ceo skup A = X
B4 (inverz)
X unija X^c = A
X presek X^c = prazan skup

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
22
Q

Kako glase aksiome Bulove algebre delitelja

A

B1 (komutativnost) : nzd(a,b) = nzd(b,a) (isto za nzs)
B2 (distributivnost): a*(a+b) =
… Dopuni!

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
23
Q

Kako se dokazuju aksiome Bulove algebre delitelja broja?

A

Ako je, npr. Bulova algebra delitelja broja 30, onda ćemo 30 predstaviti u obliku p1^a1 * p2^a2 …P_n ^a_n tj. faktorišemo. I onda nzd i nzs se predstavljaju preko funkcija min i max (vidi vežbe)

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
24
Q

Koje su osnovne teoreme Bulove algebre?

A

Idempotentnost, ograničenost, apsorpcija, asocijatovnost, Demorganovi zakoni
(+teoremice: 4.8, 4.10, 4.11 msm da je to to)

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
25
Q

Kako glasi zakon idempotencije?

A

a+a=a odnosno aa=a

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
26
Q

Kako se dokazuje idempotentnost?

A
27
Q

Kako glasi zakon apsorbcije?

A

a+ab=a odnosno a(a+b)=a

28
Q

Kako se dokazuje zakon apsorbcije?

A
29
Q

Koji je smisao idempotentnosti?

A

Binarne operacije a i a daju a:
a+a=a i aa=a

30
Q

Koji je smisao zakona apsorbcije?

A

Jedna operacija ‘‘apsorbuje’’ drugu:
a+ab=a i a*(a+b)=a

31
Q

Kako glasi teorema 4.8?

A

a+a’b=a+b i a(a’+b)=ab

32
Q

Koji je smisao teoreme 4.8?

A

Srodna je sa apsorbcijom…čudna teorema. Jeste kao apsorbcija u smislu da ‘a’ menja ‘a i b’ u ‘a’, ali u ovom slučaju menja “a’ i b” u ‘a i b’. Zapamti je takvom kakva jeste.
a+a’b=a+b
a(a’+b)=ab

33
Q

Kako se dokazuje teorema 4.8?

A
34
Q

Kako glasi zakon asocijativnosti?

A

(a+b)+c = a+(b+c)
(ab)c = a(bc)

35
Q

Kako se dokazuje zakon asocijativnosti?

A
36
Q

Koji je smisao zakona asocijativnosti?

A

Ja kažem: zagrade nisu bitne. Korektniji odgovor bio bi da redosled operacija nije bitan

37
Q

Kako glasi teorema 4.10?

A

Sistem jednačina a+x=1 i a*x=0 po nepoznatoj x, ima jedinstveno rešenje za sve vrednosti parametra a iz skupa B

38
Q

Kako se dokazuje teorema 4.10?
(Sistem jednačina a+x=1 i a*x=0 po nepoznatoj x, ima jedinstveno rešenje za sve vrednosti parametra a iz skupa B)

A
39
Q

Koji je smisao teoreme 4.10?
(Sistem jednačina a+x=1 i a*x=0 po nepoznatoj x, ima jedinstveno rešenje za sve vrednosti parametra a iz skupa b)

A

Jedinstvenost inverza!

40
Q

Kako glasi teorema 4.11?

A

0’=1 i 1’=0

41
Q

Koji je smisao teoreme 4.11?

A

Neutrali su inverzi jedan drugom

42
Q

Kako se dokazuje teorema 4.11?

A

Upotrebljavajući teoremu 4.10…

43
Q

Da li je u Bulovoj algebri funkcija f(x)=x’ bijektivna?

A

Da, vidi dokaz teoreme 4.12

44
Q

Kako glasi teorema 4.12?

A

(a’)’=a

45
Q

Kako se zovu funkcije za koje važi f(f(x))=x?

A

Involucije

46
Q

Da li je uslov da funkcija bude involucija da bude bijektivna?

A

Da

47
Q

Koji je smisao teoreme 4.12?

A

Inverz inverza elementa je taj element

48
Q

Kako se dokazuje teorema 4.12?

A
49
Q

Kako glase Demorganovi zakoni?

A

(a+b)’=a’b’ i (ab)’=a’+b’

50
Q

Kako se dokazuju Demorganovi zakoni?

A
51
Q

Kako glase uopštenja Demorganovih zakona?

A

(a1+a2+…a_n)=a1’a2’…a_n’
i
(a1a2…a_n)’=a1’+a2’+…a_n’

52
Q

Koji je smisao Demorganovih zakona?

A

Inverz zbira je proizvod inverza.
Takođe, inverz proizvoda je zbir inverza

53
Q

Šta je podalgebra?

A

Algebra čiji je skup (‘‘osnova’’) podskup ‘‘nadalgebre’’, a operacije nad njim su restrikcije originalnih funkcija

54
Q

Šta znači zatvorenost?

A

Za svaka dva elementa, rezultat operacija nad njima mora pripadati istom skupu i inverz svakog elementa pripada skupu

55
Q

Koji je smisao teoreme 4.15?

A

To je tvrđenje ekvivalentno definiciji Bulove podalgebre. Kaže da je C podalgebra Bulove algebre B ako je C podskup od B i obe operacije definisane nad B su zatvorene i u skupu C

56
Q

Da li je moguće da u Bulovoj podalgebri ne važi zatvorenost?

A

Nikako

57
Q

Kako glasi teorema 4.15?

A

Bulova algebra C = (C, +, ,’ , 0,1) jeste podalgebra Bulove algebre B = (B, +,,’, 0,1) akko je C podskup od B, i operacije iz C su restrikcije operacija iz B.

58
Q

Kako se dokazuje teorema 4.15?

A
59
Q

Šta je ona binarna relacija ‘‘iskrivljeno manje jednako’’?

A
60
Q

Kako se matematički definiše ‘‘iskrivljeno manje-jednako’’?

A

(Za svako x iz A)(postoji y iz B) x __<__y <=> x+y=y

61
Q

Da li je ‘‘iskrivljeno manje jednako’’ relacija ekvivalencije?

A

Ne

62
Q

Da li je ‘‘iskrivljeno manje-jednako’’ relacija poretka?

A

Da

63
Q

Koliko elemenata ima podalgebra?

A

2^n

FTN Algebra 1 (7 decks)

Brainscape helps you reach your goals faster, through stronger study habits.
© 2024 Bold Learning Solutions. Terms and Conditions