4. summor och talföljder Flashcards
Summatecken, termer, summationsindex, startvärde, slutvärde
Aritmetisk summa (aritmetiskt medelvärde)
Geometrisk summa (geometriskt medelvärde)
∑ , k=1 , 100 , k²
differensen mellan två på varandra följande termer är konstant = (n∙(n+1)) / 2
kvoten av tvp på varandra följande tal är konstant
= (x↑(n+1) - 1) / (x-1)
k-fakultet (antalet sätt att välja k element från en mängd, där ordningen spelar roll)
k! = k ∙ (k-1) ∙ ... ∙ 2 ∙ 1 då k>1 0! = 1
Definition 4.1 : Binomialkoefficient
(antalet sätt att välja ut k objekt bland n möjliga, utan hänsyn till ordning). Heltal
För heltal n, k>=0 med n≥k definieras
(n över k) = n! / ((k! (n-k!)
(n över k) = ( n över (n-k) )
Sats 4.3: Binomialsatsen
Bevis…
för varje heltal n>=0 gäller (a+b)↑n = a↑n \+ (n över 1) ∙ a↑(n-1) ∙ b↑1 \+ (n över 2) ∙ a↑(n-2) ∙ b↑2 \+ ... \+ (n över (n-1))*a↑(n-1)*b↑(n-1) \+ b↑n
= k=0, n, ∑ (n över k) ∙ a↑(n-k) ∙ b↑k
sats 4.4 (n över k) =
(välj k element ur en mängd med n)
Bevis
(n över k) = (n-1 över k) + (n-1 över k-1)
Pascals triangel
Talföljd
aritmetisk talföljd
geometrisk talföljd
Fibonacciföljden
(sekvens av reella tal)
(k )↑∞↓k=0
(5 ∙ (-2↑k) )↑∞↓k=0
F↓0 = 0, F↓1 = 1, ( F↓k+2 = F↓k+1 + F↓k ), k>=0
summaföljd
summan av elementen i en talföljd upp till index
Induktionsprincipen (om vi antar att det är sant för ett godtyckligt naturligt tal, visa att det då är sant för nästa också)
(induktionsantagandet)
(används för att verifiera påståenden, som beror av heltal)
Låt P(n) vara ett påstående som beror av heltalet n, och antag att vi kan visa att:
_ P(n↓0) är sant för något startvärde n↓0
_ om P(p) är sant så är även P(p+1) sant, för alla p>=n↓0
Då är påståendet P(n) sant för alla heltal n>=n↓0