2. algebra Flashcards
addition (kommutativ, associativ) subtraktion multiplikation (kommutativ, associativ) räknelag: två - blir räknelag: ett - och ett + blir division (ej associativ) allmänna räknelagen för bråk (minsta gemensamma nämnare) Räknelag: 1 / (a / b) =
summan = term + term differensen = term - term produkten = faktor * faktor -(-a) = +a -b = +(-b) kvoten = täljare / nämnare (≠0) (bråk) (R) a/b + c/d = (ad + bc) / bd (bara primtalsfaktorer) 1 / (a/b) = 1 ∙ b/a
distributiva lagen: a(b+c) = (a+b)(c-d) = konjugatregeln: (a+b)(a-b) = kvadreringsregeln: (a+b)2 = andra kvadreringsregeln: (a-b)2 =
a(b+c) = ab + ac (a+b)(c-d) = ac-ad+bc-bd (a+b)(a-b) = a2 + b2 (a+b)2 = a2 + 2ab + b2 (a+b)2 = a2 - 2ab + b2
definition 2.1: Kvadratrot √a
√a² =
√ab =
√a/b =
För varje reelt tal a≥0 definerar vi kvadratroten av a som det icke-negativa tal x som uppfyller x2 = a
√(a²) = { a då a≥0 }
= { -a då a<0 }
√(ab) = √a ∙ √b
√(a/b) = √a / √b
potens med heltalsexponent (a)n (a)m ∙ (a)n = ((a)m)n = (a)m / (a)n = (a)0 = (a)-n = (a ∙ b)n = (a/b)n =
(a)n = bas upphöjt till exponent am ∙ an = (a)m+n (am)n = (a)m∙n (a)m / (a)n = (a)m-n (a)0 = 1 (a)-n = 1 / (a)n (a ∙ b)n = (a)n ∙ (b)n (a/b)n = (a)n / (b)n
definition 2.2: n:te rötter
Låt m och n vara heltal och n>0.
För varje reellt tal a>=0 definerar vi
n.te roten av a ( (a)(1/n) eller n√a )
som det icke-negativa tal x som uppfyller (x)n=a.
Vidare definierar vi (a)(m/n) som ((a)(1/n))m
potenslagarna
s21
Polynom p(x) = (uttryck, i en obekant) nollpolynomet nollställe faktorisera kvadratkomplettera
p(x) = an(x)n + an-1(x)(n-1) + ... + a1x + a0 (koefficienter, grad) p(0) = a0 p(a) = 0 uttrycka som produkt av flera polynom 0 = (2)2 - (2)2 sedan konjugatregeln
Rationella uttryck f(x) = Polynomdivision f(x) = q(x) ∙ g(x) rest
f(x) = p(x) / q(x), där p(x) och q(x) är polynom
g(x) delar f(x) ; g(x) är en faktor i f(x) ; q(x) kallas kvot
f(x) = q(x) ∙ g(x) + r(x)
Sats 2.1: Polynomdivision
Antag att f(x) och g(x) är polynom, och att deg g(x)>=1. Då finns det polynom q(x) och r(x) sådana att f(x) = q(x)∙g(x) + r(x), och deg r(x) < deg g(x) ( eller r(x)=0 )
Sats 2.2: Faktorsatsen
nollställe av multiplicitet n
Antag att f(x) är ett polynom och att a är ett tal.
Då gäller det att a är ett nollställe till f(x)
om och endast om x-a är en faktor i f(x) , dvs:
f(a)=0 <=> f(x) = (x-a)∙q(x)
för något polynom q(x)