1.7 Kongruenz

Question 1

Definition 1.7.1.: Kongruenz

Answer 1

Zwei geometrische Objekte 0₁ 0₂ heißen kongruent, wenn 0₂ durch Hintereinanderausführung einer (endlichen) Folge von Bewegungen auf 0₁ erhalten werden kann. Wir bezeichnen die Kongruenzrelation mit ≡, schreiben also 0₁ ≡ 0₂; ganz offensichtlich handelt es sich dabei um eine Äquivalenzrelation.

Question 2

Proposition 1.7.3: Isometrien der Ebene

Answer 2

Eine Isometrie der Ebene f: ε → ε,die nicht die identische Abbildung ist, ist eine der folgenden Abbildungen:

1. eine Translation, parallel zu einer orientierten Geraden t um eine Strecke mit Länge ≠ 0
2. eine Spiegelung an einer Geraden s
3. eine Drehung um den Winkel φ ∈ (0,2π) mit Drehzentrum m
4. eine Gleitspiegelung (also eine Translation parallel zu t gefolgt von einer Spiegelung an einer Geraden g || t).

Question 3

Proposition 1.7.9: Winkelsymmetrale

Answer 3

Seien g ∦ h zwei Geraden mit g ∩ h = {O}. Dann ist die Menge M aller Punkte, die von g und h denselben Normalabstand haben, also

M := { X ∈ ε |X⊥g| = |X⊥h|},

die Vereinigung von zwei Geraden w₁,w₂, die aufeinander normal stehen und einander im Punkt O schneiden.

Diese beiden Geraden halbieren die entsprechenden Winkel, die die Geraden g und h miteinander einschließen.

Question 4

Korollar 1.7.11: Inkreismittelpunkt

Answer 4

Sei △ABC ein Dreieck. Dann schneiden einander die drei Winkelsymmetralen der Innenwinkel bei A, B und C in einem Punkt I.

Question 5

Definition 1.7.16

Ankreis

Answer 5

Sei ABC ein Dreieck. Die drei Winkelsymmetralen der Innenwinkel bei A und der Außenwinkel bei B und C schneiden im Ankreismittelpunkt J. Sein Normalabstand r von einer der drei Dreiecksseiten heißt Ankreisradius, und der Kreis k (J, r) heißt der Ankreis an die Seite BC.

Question 6

Definition 1.7.17: Parallelogramm

Answer 6

Ein konvexes Viereck, bei dem die gegenüberliegenden Winkel gleich sind, heißt Parallelogramm, d.h. ein konvexes Viereck heißt Parallelogramm genau dann wenn α = γ und β = δ.

Question 7

Satz 1.14.5: Sinussatz

Answer 7

Sei ABC ein beliebiges Dreieck. Dann gilt:

2 · [[ABC]] / a · b · c = sin (α) / a = sin (β) / b = sin (γ) / c

Question 8

Satz 1.14.7: Cosinussatz

Answer 8

Sei ABC ein beliebiges Dreieck, dann gilt:

a² = b² + c² - 2 * b * c * cos (alpha)

b² = c² + a² - 2 * c * a * cos (beta)

c² = a² + b² - 2 * a * b * cos (gamma)

Question 9

Satz 1.14.8: Summensätze für Winkelfunktionen

Answer 9

Für reelle alpha, beta gilt:

sin (alpha + beta) = sin (alpha) * cos (beta) + cos (alpha) * sin (beta)

cos (alpha + beta) = cos (alpha) + cos (beta) - sin (alpha) * sin (beta)