1.10 Fläche

Question 1

Definition 1.10.5: Aufgespanntes Parallelogramm

Answer 1

Drei nicht kollineare Punkte A, B und C bilden ein Dreieck. Sei M der Streckenmittelpunkt der Strecke BD und sei C der Bildpunkt von A unter der Drehung mit Zentrum M und Drehwinkel 180 Grad. Dann bilden die Punkte A, B, C und D ein Parallelogramm: Wir nennen es das vom Winkel (BAD) aufgespannte Parallelogramm.

Question 2

Definition 1.10.1: Quadrat

Answer 2

Ein Rechteck mit vier gleich langen Seiten heißt Quadrat.

Question 3

Ausgangspunkt 9: Fläche

Answer 3

Voraussetzungen:

1. Die leere Menge, Punkte und Strecken haben immer Fläche 0
2. Das Quadrat mit der Seitenlänge 1 hat Fläche 1
3. Bewegungen der Ebene verändern den Flächeninhalt nicht, d.h. für jede Bewegung ς der Ebene gilt: [[ς(O)]] = [[O]]
4. Wenn ein geometrisches Objekt O als Vereinigung von zwei geometrischen Objekten O1, O2 erscheint, dann gilt: [[O]] = [[O1]] + [[O2]] - [[O1 vereinigt mit O2]]

Question 4

Definition 1.10.6: Parallelepiped

Answer 4

Der geometrische Körper im Raum, der durch 3 Paare verschiedener paralleler Ebenen begrenzt wird, heißt Parallelepiped. Sämtliche Flächen eines Parallelepipeds sind Parallelogramme.

Ein Parallelepiped, bei dem alle Flächen Rechtecke sind, heißt Quader. In diesem Fall treten 3 Seitenlängen bei den Flächen auf, die üblicherweise als Länge, Breite und Höhe des Quaders bezeichnet werden.

Ein Quader, bei dem alle Flächen Quadrate sind, hießt ein Würfel. In diesem Fall haben alle Flächen (Quadrate) dieselbe Seitenlänge, die auch als Seitenlänge des Würfels bezeichnet wird.

Question 5

Satz 1.11.1: Strahlensatz

Answer 5

Die Geraden u und v sind parallel genau dann wenn für die orientierten Verhältnisse folgende Gleichung gilt:

[SA : SC] = [SB : SD]

Wenn u || v gilt und die Geraden “kompatibel orientiert” (vgl. 1.3.11) sind, so gilt überdies:

[SA : SC] = [SB : SD] = [AB : CD]

Question 6

Definition 1.11.2: Ähnliche Dreiecke

Answer 6

Zwei Dreiecke ABC und DEF heißen ähnlich, wenn die (absoluten, d.h. nicht orientierten) Winkel in entsprechenden Eckpunkten gleich sind also wenn

Winkel (BAC) | = | Winkel (EDF) | und | Winkel (CBA) | = | Winkel (FED) | und | Winkel (ACB) | = | Winkel (DFE) |

Question 7

Definition 1.11.3: Zentrische Streckung

Answer 7

Sei Z ein Punkt der Ebene und f != 0. Die Abbildung, die Z auf Z abbildet und jeden Punkt P != Z auf jenen (eindeutig bestimmten) Punkt P’, der auf der Trägergeraden von PZ liegt, mit

ZP’ = f * ZP

heißt zentrische Streckung mit Zentrum Z und Streckungsfaktor f.