1.12. Sätze über das Dreieck

Question 1

Definition 1.12.1 Schwerlinie

Answer 1

Sei ABC ein Dreieck, seien

• M_c der Streckenmittelpunkt von AB
• M_a der Streckenmittelpunkt von BC
• M_b der Streckenmittelpunkt von AC.

Dann heißen AM_a, BM_b und CM_c die Schwerlinien des Dreiecks.

Question 2

Proposition 1.12.2 Schwerpunkt

Answer 2

Sei ABC ein Dreieck.

Die drei Schwerlinien des Dreiecks schneiden einander in einem Punkt S, dieser Schwerpunkt teilt die Schwerlinien jeweils im Verhältnis [2 : 1], d.h. | AS | = 2 * | M_aS | und analog für die beiden anderen Schwerlinien.

Question 3

Definition 1.12.4 Eulersche Gerade

Answer 3

In einem nicht gleichseitigen Dreieck bestimmen der Umkreismittelpunkt U und der Schwerpunkt S eine eindeutige Gerade US. Diese heißt Eulersche Gerade.

Question 4

Proposition 1.12.5 Höhenschnittpunkt

Answer 4

Sei ABC ein nicht gleichseitiges Dreieck.

Die drei Höhen des Dreiecks schneiden einander in einem Punkt H; und der Höhenschnittpunkt liegt auf der Eulerschen Gerade (Definition 1.12.4.).

Question 5

Definition 1.12.6 Höhenfußpunktdreieck

Answer 5

Sei ABC ein Dreieck, seien H_A, H_B und H_C die Fußpunkte der Höhen. Dann heißt das Dreieck H_AH_BH_C das Höhenfußpunktdreieck.

Falls ABC nicht rechtwinkelig ist, dann ist das Höhenfußpunktdreieck ein echtes Dreieck, andernfalls ist es ein degeneriertes rechtwinkeliges Dreieck.

Question 6

Definition 1.12.7 Feuerbachkreis / Neunpunkt-Kreis

Answer 6

Sei ABC ein Dreieck mit Höhenschnittpunkt H, Umkreismittelpunkt U und Umkreisradius r. Sei n der Streckenmittelpunkt der Strecke HU. Dann heißt der Kreis k ( N, r/2 ) Feuerbachkreis bzw. Neunpunkt-Kreis des Dreiecks.