Zákaldy Matematiky Flashcards
Výrok
oznamovacia veta s jednoznačnou pravdivostnou hodnotou
Oznamovacia veta, o ktorej môžme uvažovať či je pravdivá
Axióma
základná poučka, výrok matematickej teórie, ktorý sa v jej rámci považuje za správny bez toho,
aby sa jeho správnosť dokazovala
Napr. Strany štvorca sú rovnako dlhé.
Matematická veta
vymedzuje a určuje vlastnosti
Výrok dokázateľný v danej teórií jeho pravdivosť bola dokázaná
Hypotéza
tvrdenie, o ktorom v čase jeho formulovania nemožno rozhodnúť, či je pravdivé alebo nepravdivé.
Overovanie=testovanie
Úsudok
Rozhodnutie o pravdivosti výroku
Pravdivostná hodnota
pravdivostnú hodnotu výroku rozumieme jeho pravdivosť alebo nepravdivosť
- pravdivosť – označujeme číslom 1
- nepravdivosť – označujeme symbolom 0
Konjukcia
A ∧ B
A zároveň B
Prišiel a zvíťazil
1
0
0
0
Negácia A’ ∨ B’
Neprišiel alebo nezvíťazil
Disjunkcia
A ∨ B
A alebo B
Pôjdem domov alebo do kina
1
1
1
0
Negácia A’ ∧ B’
Nepôjdem domov ani do kina
Implikácia
A =>B ak platí A bude platiť B
Ak zmaturujem, tak si kúpim auto
1
0
1
1
Negácia A ∧ B’ Zmaturujem a nekúpim si auto
Ekvivalencia
A <=> B A práve vtedy keď B
Kúpim si počítač práve vtedy keď príde výplata
1
0
0
1
Negácia A ∧ B’ ∨ A’ ∧ B kúpim si počítač a nepríde výplata alebo nekúpim si počítač a príde výplata.
Množina
základný pojem, je to súbor / skupina nejakých objektov, ktoré nazývame prvky množiny
- množiny označujeme veľkými písmenami abecedy A, B, C, …
- prvky množiny označujeme malými písmenami a, b, c, …
- skutočnosť objekt patrí do množiny zapisujeme: a Є A
- skutočnosť že objekt nepatrí do množiny: a ∉ A
- množina môže byť určená:
1. vymenovaním ∀ prvkov
2. charakteristickou vlastnosťou
- množina môže byť:
1. konečná – má konečný počet prvkov
2. nekonečná – má nekonečný počet prvkov
Podmnožina
hovoríme, že množina A je podmnožinou množiny B, každý prvok množiny A patrí aj B - zapisujeme – A ⊂ B – inklúzia množiny A na množine B
Zjednotenie
zjednotením dvoch množín A a B nazývame množinu C = A ∪ B , ktorá obsahuje práve tie
prvky zo základnej množiny Z, ktoré sú prvkami množiny A alebo množiny B
Prienik
prienik dvoch množín A a B nazývame množinu C, ktorá obsahuje práve tie prvky zo základnej
množiny Z, ktoré patria A a zároveň B
Rozdiel množín
rozdiel dvoch množín A a B nazývame množinu C, ktorá obsahuje práve tie prvky zo základnej
množiny Z, ktoré patria A a zároveň nepatria B
Doplnok
– doplnok množiny A k základnej množine Z nazývame množinu A′, ktorá obsahuje práve tie
prvky zo základnej množiny Z, ktoré nepatria do množiny A
Prázdna množina
Množina, ktorá neobsahuje ani jeden prvok
A = {} = ∅
Vennove diagramy
znázornenie množiny pomocou geometrických útvarov
- Pr: zjednotenie prienik dvoch kruhov
Konštanta
pojem pre taký symbol, ktorý označuje jediný objekt, teda nemení svoju hodnotu
Premenná
– pojem pre taký symbol, ktorý označuje ľubovoľný objekt z daného súhrnu
Rovnosť výrazov
výrazy sa rovnajú práve vtedy, keď pre ∀ hodnoty z definičného oboru tohto výrazu
majú výrazy rovnaké hodnoty
Hodnota výrazu
Je funkčná hodnota v bode x€D
Prirodzené čísla
N
1, 2, 3, 4…
Celé čísla
Z
{-∞, …, -1, 0, 1, …, ∞}
Nezaporne čísla
N0 (dole taká mala 0)
;N0 = {0, 1, 2, …, ∞}
Záporné čísla
Z−
Z− = {-∞, …, -2, -1}
Racionálne čísla
Q
Q – všetky čísla ktoré sa dajú zapísať v tvare zlomku zloženého z dvoch celých čísel
Iracionálne čísla
I
Nedajú sa zapísať v tvare zlomku
Reálne čísla
R
Všetky Racionálne a iracionálne cisla
Komutatívny zákon
týkasa sčítania a násobenia
zákon zameniteľnosti nezáleží na poradí
a + b = b + a
a.b = b.a
Asociativny zákon
zákon združovania (a + b) + c = a + (b + c) ; (a.b).c = a.(b.c)
Distributivny zákon
zákon roznásobenia súčtu a.(b + c) = a.b + a.c
Absolútna hodnota
Vzdialenosť cisla od nuly na číselnej osi
Deliteľ
– je každé celé číslo, pre ktoré platí, že pri delení daného čísla týmto číslom nedostaneme zvyšok
Násobok
je každé číslo, ktoré sa dá zapísať v tvare: n = k.x ; n – násobok; k Є Z
Delitelnost
– číslo a je deliteľné číslom b, ak pri delení čísla a číslom b nedostaneme zvyšok
Najväčší spoločný deliteľ
NSD(a,b) – je to najväčšie celé číslo d, ktoré delí bez zvyšku čísla a a b - súčin spoločných prvočiniteľov čísel a a b
Najmenší spoločný násobok
nsn(a,b) – spoločný násobok čísel a,b, ktorý je deliteľom každého iného ich spoločného násobku
- súčin všetkých prvočiniteľov a a b, ktoré sa vyskytujú aspoň v jednom rozklade, pričom berieme prvočiniteľa s najväčším mocniteľom
Prvočíslo
je každé prirodzené číslo, ktoré má len nevlastné delitele
- každé číslo, ktoré sa dá deliť bez zvyšku len sebou samým a jednotkou
- je ich nekonečne veľa
-číslo 1 nie je prvočíslo
Zložené číslo
je každé číslo rôzne od nuly, ktoré má aspoň jedného vlastného deliteľa
Okrem 1 a seba samého ma ešte iného delitela
Kritéria delitelnosti
2- posledná cifra 0,2,4,6,8
3- ciferny súčet deliteľny 3
4- posledné dvojčísle delitelne 4
5- posledné miesto 0,5
6- delitelne 2 a zároveň 3
8- posledné trojcislie delitelne 8
9- cifetny súčet delitelny 9
Prvocisleny rozklad
každé zložené číslo a Є N sa dá jednoznačne rozložiť na súčin n prvočísel; n Є N
Rovnica
Rozumieme pod ňou vzťah: f(x) = g(x), riešiť rovnicu znamená určiť ∀ x pre ktoré sa z rovnice stáva pravdivá rovnosť
Nerovnica
rozumieme pod ňou vzťah: f(x) N g(x), pričom N môže byť {>, ≥, <, ≤, ≠}; riešiť nerovnicu znamená určiť ∀ x pre ktoré sa z nerovnice stáva pravdivá nerovnosť
Sústava rovníc
súbor niekoľkých rovníc s niekoľkými neznámymi, kde platí (okrem špec. prípadov), že
počet neznámych sa rovná počtu rovníc
- riešiť takéto rovnice môžme spôsobmi:
1.substitučnou metódou – sčítacou metódou
2.pomocou matíc
3.graficky
Koreň
– číselná hodnota, ktorú keď dosadíme do rovnice/nerovnice, tak dostaneme pravdivý výrok
Kvadratická rovnica
rovnica s predpisom: ax2 + bx + c = 0 ; a ≠ 0
- ax2 – kvadratický člen; a – koeficient pri kvadratickom člene
- bx – lineárny člen; b – koeficient pri lineárnom člene
- c – absolútny člen
Substitúcia
spôsob riešenia rovnice pri ktorom sa časť výrazu nahradí jednoduchším výrazom/premennou
Úpravy rovníc
– 1. ekvivalentné – úpravy, ktoré nemenia korene rovnice - ani kvalitu, ani kvantitu
– 2. neekvivalentné – úpravy, ktoré menia korene rovnice – kvalitu, alebo kvantitu
Kvantifikované výroky
∀ – všeobecný kvantifikátor – čítame pre všetky , pre ľubovolné , každé .
Príklad: A(x): x2≥0 je výroková forma
Vsteky mačky sú čierne
Negácia Existuje aspoň jedna mačka ktorá nie je čierna
∃ – existenčný kvantifikátor – čítame existujú .
Príklad: A(x): x – 1 > 0 je výroková forma.
∃x ∈ R:x – 1 > 0 je pravdivy
Existuje nesmrteľný človek
Negácia Každý človek je smrteľný
