Funkcie Flashcards
Funkcia
funkciou nazývame množinu usporiadaných dvojíc [x,y] , pre ktoré platí, že pre všetky x existuje
práve jedno y Є R , platí: y = f (x)
Postupnosť
funkcia, ktorej definičný obor je množina ∀ prirodzených čísel {1, 2, …, ∞} - nekonečná,
alebo jej ľubovoľná podmnožina {1, 2, …, k} - konečná
Funkčná hodnota
hodnota y, ktorú nadobúda funkcia v bode x
Člen postupnosti
každá hodnota funkcie postupnosti
Definíčný obor
množina tých x, pre ktoré má rovnica udávajúca funkciu zmysel
Obor hodnôt funkcie
množina ∀ y, pre ktoré ∃ také x Є D, že [x,y] Є f
Graf funkcie
rastúca–funkciasanazývarastúca,keďpre∀x1,x2 ЄD:x1 <x2 =>f(x1)<f(x2 ) –klesajúca–funkciasanazývaklesajúca,keďpre∀x1,x2 ЄD:x1 <x2 =>f(x1)>f(x2 ) –nerastúca–funkciasanazývanerastúca,keďpre∀x1,x2 ЄD:x1 <x2 =>f(x1)≥f(x2 ) –neklesajúca–funkciasanazývaneklesajúca,keďpre∀x1,x2 ЄD:x1 <x2 =>f(x1)≤f(x2 )
– monotónna – ak je rastúca, klesajúca, nerastúca, alebo neklesajúca na celom definičnom obore – maximum – funkcia má maximum v bode a, ak pre ∀ x Є D: f (x) ≤ f (a)
– minimum – funkcia má minimum v bode b, ak pre ∀ x Є D: f (x) ≥ f (b)
– ostré maximum – funkcia má ostré maximum v bode a, ak pre ∀ x Є D, x ≠ a: f (x) < f (a)
– ostré minimum – funkcia má ostré minimum v bode b, ak pre ∀ x Є D, x ≠ b: f (x) > f (b)
– lokálne maximum – funkcia má maximum na množine M v bode a, ak pre ∀ x Є M: f (x) ≤ f (a) – lokálne minimum – funkcia má minimum na množine M v bode b, ak pre ∀ x Є M: f (x) ≥ f (b) – zhora ohraničená – funkcia sa nazýva zhora ohraničená, ak pre ∀ x Є D ∃ h Є R: f (x) ≤ h
– zdola ohraničená – funkcia sa nazýva zdola ohraničená, ak pre ∀ x Є D ∃ d Є R: f (x) ≥ d
– ohraničená – funkcia sa nazýva ohraničená, ak je ohraničená zhora aj zdola –konštantná–funkciasanazývakonštantná,keďpre∀x1,x2 ЄD:x1 ≠x2 =>f(x1)=f(x2 )
–prostá–funkciasanazývaprostá,keďpre∀x1,x2 ЄD:x1 ≠x2 =>f(x1)≠f(x2 )
– periodická funkcia – funkcia sa nazýva periodická <=> ∃ p > 0: ∀ x Є Z: 1. x Є D(f) => x + k.p Є D(f)
2. f (x) = f (x + k.p)
– párna – funkcia sa nazýva párnou práve vtedy, ak súčasne platí:
1.prekaždéxЄD(f)aj -xЄD(f)
2. pre každé x Є D(f) platí: f (-x) = f (x) – graf párnej funkcie je súmerný podľa osi y
– nepárna – funkcia sa nazýva nepárnou práve vtedy, ak súčasne platí: 1.prekaždéxЄD(f)aj -xЄD(f)
2. pre každé x Є D(f) platí: f (-x) = -f (x)
– graf nepárnej funkcie je súmerný podľa počiatku sústavy súradní
Inverzná
funkcia súmerná s danou funkciou podľa priamky y = x – funkcia v ktorej sa zamenia premenné x a y
Lineárna funkcia
funkcia s predpisom y=a.x+b; a=tgφ=>a>0–rastúca,a<0–klesajúca – grafom je priamka rovnobežná s priamkou y = a.x
– os y pretína v bode [0,b]
– je jednoznačne určená predpisom, grafom, alebo dvoma bodmi
Smernica priamky
tg φ, udáva tangens uhla, ktorý zviera priamka s osou x
Kvadratická funkcia
funkcia s predpisom y = a.x2 + b.x + c
– členy: a – kvadratický; b – lineárny; c – absolútny – grafom je parabola s osou rovnobežnou s osou y
Aritmetická postupnosť
postupnosť{a }∞ sa nazýva aritmetická ak ∃ také číslo d(diferencia),dЄR, n n=1
že pre ∀ nЄN a =a +d
Mnohoclen
Je výraz ktorý obsahuje viac premenných
Lineárna lomena funkcia
funkcia s predpisom y=ax + b /cx + d
a,b,c,dЄR;c≠0;ad–bc≠0
grafom je rovnoosá hyperbola
– lomená funkcia
Exponencionalna funkcia
funkcia daná predpisom y = a x(x je mocnina)
a > 0 , a ≠ 1 a – základ funkcie
Graf a>1 graf rastie
Graf a(0,1) graf klesá
Logaritmicka funkcia
inverzná funkcia k exponenciálnej y = loga x
a Є (0,1) ∪ (1, ∞)
Graf a>1 rastie
A€(0,1) klesá
Prirodzený logaritmus y=logeX
So základom a y=logaX
Vety o logaritmickom sucine podielu a súčinu
Geometrická postupnosť
postupnosť{a }∞ sa nazýva geometrická ak ∃ také číslo q(kvocient),qЄR,
že pre ∀ nЄN a =a ⋅q
Radián
uhol, ktorého ramená na kružnici s polomerom 1 vytnú oblúk, ktorý má dĺžku 1
Sinus
x Є R, M[X , Y ] je bod jednotkovej kružnice, ktorý je priradený číslu x v zobrazení U, funkcia MM
sin x je funkcia, ktorá každému číslu x priradí YM
– pomer protiľahlej odvesny ku prepone – vlastnosti: D(f) = R
H(f) = 〈-1,1〉
nie je prostá
nepárna => sin(-x) = -sin x
ohraničená: h = 1; d = -1
max: x= pi/2+2kπ ; min: x=− pi/2+2kπ
periodická s p = 2π
Kosinus
x Є R, M[X , Y ] je bod jednotkovej kružnice, ktorý je priradený číslu x v zobrazení U, funkcia MM
cos x je funkcia, ktorá každému číslu x priradí XM
– pomer priľahlej odvesny ku prepone – vlastnosti: D(f) = R
H(f) = 〈-1,1〉
nie je prostá
párna => cos(-x) = cos x
R: x Є (π + 2kπ),(2π + 2kπ) K:xЄ 0+2kπ;π+2kπ
ohraničená: h = 1; d = -1
max: x = 2kπ ; min: x = (2k +1)π periodická s p = 2π
Tangens
pod tangensom čísla x rozumieme y-ovú súradnicu bodu K, ktorý vznikne ako priesečník priamok p: x = 1 a ramena uhla α
– pomer protiľahlej odvesny ku priľahlej odvesne π
– vlastnosti: D(f) = R - + kπ 2
H(f) = R
nepárna s periódou π rastúca na celom D(f)
Cotangens
pod cotangensom čísla x rozumieme x-ovú súradnicu bodu K, ktorý vznikne ako priesečník priamok p: y = 1 a ramena uhla α
– pomer priľahlej odvesny ku protiľahlej odvesne
– vlastnosti: D(f) = R - {π + kπ}
H(f) = R
nepárna s periódou π klesajúca na celom D(f)
Mocnina
Kvadraticka rovnica
